6 files changed, 327 insertions, 48 deletions
diff --git a/buch/papers/dreieck/main.tex b/buch/papers/dreieck/main.tex
index 75ba410..d7bc769 100644
--- a/buch/papers/dreieck/main.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/main.tex
@@ -3,19 +3,21 @@
 %
 % (c) 2020 Hochschule Rapperswil
 %
-\chapter{Dreieckstest und Beta-Funktion\label{chapter:dreieck}}
-\lhead{Dreieckstest und Beta-Funktion}
+\chapter{$\int P(t) e^{-t^2} \,dt$ in geschlossener Form?
+\label{chapter:dreieck}}
+\lhead{Integrierbarkeit in geschlossener Form}
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Andreas Müller}
 
 \noindent
-Mit dem Dreieckstest kann man feststellen, wie gut ein Geruchs-
-oder Geschmackstester verschiedene Gerüche oder Geschmäcker
-unterscheiden kann.
-Seine wahrscheinlichkeitstheoretische Erklärung benötigt die Beta-Funktion,
-man kann die Beta-Funktion als durchaus als die mathematische Grundlage
-der Weindegustation
-bezeichnen.
+Der Risch-Algorithmus erlaubt, eine definitive Antwort darauf zu geben,
+\index{Risch-Algorithmus}%
+\index{elementare Stammfunktion}%
+ob eine elementare Funktion eine Stammfunktion in geschlossener Form hat.
+Der Algorithmus ist jedoch ziemlich kompliziert.
+In diesem Kapitel soll ein spezieller Fall mit Hilfe der Theorie der
+orthogonale Polynome, speziell der Hermite-Polynome, behandelt werden,
+wie er in der Arbeit \cite{dreieck:polint} untersucht wurde.
 
 \input{papers/dreieck/teil0.tex}
 \input{papers/dreieck/teil1.tex}
diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib
index d2bbe08..47bd865 100644
--- a/buch/papers/dreieck/references.bib
+++ b/buch/papers/dreieck/references.bib
@@ -4,32 +4,12 @@
 % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
 %
 
-@online{dreieck:bibtex,
-	title = {BibTeX},
-	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
-	date = {2020-02-06},
-	year = {2020},
-	month = {2},
-	day = {6}
+@article{dreieck:polint,
+	author = { George Stoica },
+	title = { Polynomials and Integration in Finite Terms },
+	journal = { Amer. Math. Monthly },
+	volume = 129,
+	year = 2022,
+	number = 1,
+	pages = {80--81}
 }
-
-@book{dreieck:numerical-analysis,
-	title = {Numerical Analysis},
-	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
-	publisher = {American Mathematical Society},
-	year = {2002},
-	isbn = {978-8-8218-4788-6},
-	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
-	volume = {2}
-}
-
-@article{dreieck:mendezmueller,
-        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
-        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
-        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
-        year = 2019,
-        volume = 47,
-        pages = {607--627},
-        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
-}
-
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
index bcf2cf8..f9affe7 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil0.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
@@ -3,7 +3,48 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Testprinzip\label{dreieck:section:testprinzip}}
-\rhead{Testprinzip}
+\section{Problemstellung\label{dreieck:section:problemstellung}}
+\rhead{Problemstellung}
+Es ist bekannt, dass das Fehlerintegral
+\[
+\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2\sigma}}\,dt
+\]
+nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann.
+Mit der in Kapitel~\ref{buch:chapter:integral} skizzierten Theorie von
+Liouville und dem Risch-Algorithmus kann dies strengt gezeigt werden.
 
+Andererseits gibt es durchaus Integranden, die $e^{-t^2}$ enthalten,
+für die eine Stammfunktion in geschlossener Form gefunden werden kann.
+Zum Beispiel folgt aus der Ableitung
+\[
+\frac{d}{dt} e^{-t^2}
+=
+-2te^{-t^2}
+\]
+die Stammfunktion
+\[
+\int te^{-t^2}\,dt
+=
+-\frac12 e^{-t^2}.
+\]
+Leitet man $e^{-t^2}$ zweimal ab, erhält man
+\[
+\frac{d^2}{dt^2} e^{-t^2}
+=
+(4t^2-2) e^{-t^2}
+\qquad\Rightarrow\qquad
+\int (t^2-{\textstyle\frac12}) e^{-t^2}\,dt
+=
+{\textstyle\frac14}
+e^{-t^2}.
+\]
+Es gibt also viele weitere Polynome $P(t)$, für die der Integrand
+$P(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener Form hat.
+Damit stellt sich jetzt das folgende allgemeine Problem.
+
+\begin{problem}
+\label{dreieck:problem}
+Für welche Polynome $P(t)$ hat der Integrand $P(t)e^{-t^2}$
+eine elementare Stammfunktion?
+\end{problem}
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
index 4abe2e1..45c1a23 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil1.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -3,9 +3,92 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
-\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
-\rhead{}
+\section{Hermite-Polynome
+\label{dreieck:section:hermite-polynome}}
+\rhead{Hermite-Polyome}
+In Abschnitt~\ref{dreieck:section:problemstellung} hat sich schon angedeutet,
+dass die Polynome, die man durch Ableiten von $e^{-t^2}$ erhalten
+kann, bezüglich des gestellten Problems besondere Eigenschaften
+haben.
+Zunächst halten wir fest, dass die Ableitung einer Funktion der Form
+$P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$ 
+\begin{equation}
+\frac{d}{dt} P(t)e^{-t^2}
+=
+P'(t)e^{-t^2} -2tP(t)e^{-t^2}
+=
+(P'(t)-2tP(t)) e^{-t^2}
+\label{dreieck:eqn:ableitung}
+\end{equation}
+ist.
+Insbesondere hat die Ableitung wieder die Form $Q(t)e^{-t^2}$
+mit einem Polynome $Q(t)$, welches man auch als
+\[
+Q(t)
+=
+e^{t^2}\frac{d}{dt}P(t)e^{-t^2}
+\]
+erhalten kann.
 
+Die Polynome, die man aus der Funktion $H_0(t)=e^{-t^2}$ durch
+Ableiten erhalten kann, wurden bereits in
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonalitaet:section:rodrigues}
+bis auf ein Vorzeichen hergeleitet, sie heissen die Hermite-Polynome 
+\index{Hermite-Polynome}%
+und es gilt
+\[
+H_n(t) 
+=
+(-1)^n
+e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} e^{-t^2}.
+\]
+Das Vorzeichen dient dazu sicherzustellen, dass der Leitkoeffizient
+immer $1$ ist.
+Das Polynom $H_n(t)$ hat den Grad $n$.
+
+In Abschnitt wurde auch gezeigt, dass die Polynome $H_n(t)$
+bezüglich des Skalarproduktes
+\[
+\langle f,g\rangle_{w}
+=
+\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t)e^{-t^2}\,dt,
+\qquad
+w(t)=e^{-t^2},
+\]
+orthogonal sind.
+Ausserdem folgt aus \eqref{dreieck:eqn:ableitung}
+die Rekursionsbeziehung
+\begin{equation}
+H_{n}(t)
+=
+2tH_{n-1}(t)
+-
+H_{n-1}'(t)
+\label{dreieck:eqn:rekursion}
+\end{equation}
+für $n>0$.
+
+Im Hinblick auf die Problemstellung ist jetzt die Frage interessant,
+ob die Integranden $H_n(t)e^{-t^2}$ eine Stammfunktion in geschlossener
+Form haben.
+Mit Hilfe der Rekursionsbeziehung~\eqref{dreieck:eqn:rekursion}
+kann man für $n>0$ unmittelbar verifizieren, dass
+\begin{align*}
+\int H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+&=
+\int \bigl( 2tH_{n-1}(t) - H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt
+\\
+&=
+-\int \bigl( \exp'(-t^2) H_{n-1}(t) + H'_{n-1}(t)\bigr)e^{-t^2}\,dt
+\\
+&=
+-\int \bigl( e^{-t^2}H_{n-1}(t)\bigr)' \,dt
+=
+-e^{-t^2}H_{n-1}(t)
+\end{align*}
+ist.
+Für $n>0$ hat also $H_n(t)e^{-t^2}$ eine elementare Stammfunktion.
+Die Hermite-Polynome sind also Lösungen für das
+Problem~\ref{dreieck:problem}.
 
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
index 83ea3cb..8e89f6a 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil2.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
@@ -3,7 +3,113 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Wahrscheinlichkeiten im Dreieckstest
-\label{dreieck:section:wahrscheinlichkeiten}}
-\rhead{Wahrscheinlichkeiten}
+\section{Beliebige Polynome
+\label{dreieck:section:beliebig}}
+\rhead{Beliebige Polynome}
+Im Abschnitt~\ref{dreieck:section:hermite-polynome} wurden die
+Hermite-Polynome $H_n(t)$ mit $n>0$ als Lösungen des gestellten
+Problems erkannt.
+Eine Linearkombination von solchen Polynomen hat natürlich
+ebenfalls eine elementare Stammfunktion.
+Das Problem kann daher neu formuliert werden:
+
+\begin{problem}
+\label{dreieck:problem2}
+Welche Polynome $P(t)$ lassen sich aus den Hermite-Polynomen
+$H_n(t)$ mit $n>0$ linear kombinieren?
+\end{problem}
+
+Sei also
+\[
+P(t) = p_0 + p_1t + \ldots + p_{n-1}t^{n-1} + p_nt^n
+\]
+ein beliebiges Polynom vom Grad $n$.
+Eine elementare Stammfunktion von $P(t)e^{-t^2}$ existiert sicher,
+wenn sich $P(t)$ aus den Funktionen $H_n(t)$ mit $n>0$ linear
+kombinieren lässt.
+Gesucht ist also zunächst eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination
+von Hermite-Polynomen.
+
+\begin{lemma}
+Jedes Polynome $P(t)$ vom Grad $n$ lässt sich auf eindeutige Art und
+Weise als Linearkombination
+\begin{equation}
+P(t) = a_0H_0(t) + a_1H_1(t) + \ldots + a_nH_n(t)
+=
+\sum_{k=0}^n a_nH_n(t)
+\label{dreieck:lemma}
+\end{equation}
+von Hermite-Polynomen schreiben.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Zunächst halten wir fest, dass aus der
+Rekursionsformel~\eqref{dreieck:eqn:rekursion}
+folgt, dass der Leitkoeffizient bei jedem Rekursionsschnitt
+mit $2$ multipliziert wird.
+Der Leitkoeffizient von $H_n(t)$ ist also $2^n$.
+
+Wir führen den Beweis mit vollständiger Induktion.
+Für $n=0$ ist $P(t)=p_0 = p_0 H_0(t)$ als Linearkombination von
+Hermite-Polynomen darstellbar, dies ist die Induktionsverankerung.
+
+Wir nehmen jetzt im Sinne der Induktionsannahme an,
+dass sich ein Polynom vom Grad $n-1$ als
+Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$ schreiben
+lässt und untersuchen ein Polynom $P(t)$ vom Grad $n$.
+Da der Leitkoeffizient des Polynoms $H_n(t)$ ist $2^n$, ist zerlegen
+wir
+\[
+P(t)
+=
+\underbrace{\biggl(P(t) - \frac{p_n}{2^n} H_n(t)\biggr)}_{\displaystyle = Q(t)}
++
+\frac{p_n}{2^n} H_n(t).
+\]
+Das Polynom $Q(t)$ hat Grad $n-1$, besitzt also nach Induktionsannahme
+eine Darstellung
+\[
+Q(t) = a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t)
+\]
+als Linearkombination der Polynome $H_0(t),\dots,H_{n-1}(t)$.
+Somit ist
+\[
+P(t)
+= a_0H_0(t)+a_1H_1(t)+\ldots+a_{n-1}H_{n-1}(t) +
+\frac{p_n}{2^n} H_n(t)
+\]
+eine Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination der Polynome
+$H_0(t),\dots,H_n(t)$.
+Damit ist der Induktionsschritt vollzogen und das Lemma für alle
+$n$ bewiesen.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+\label{dreieck:satz1}
+Die Funktion $P(t)e^{-t^2}$ hat genau dann eine elementare Stammfunktion,
+wenn in der Darstellung~\eqref{dreieck:lemma}
+von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen $a_0=0$ gilt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis]
+Es ist
+\begin{align*}
+\int P(t)e^{-t^2}\,dt
+&=
+a_0\int e^{-t^2}\,dt
++
+\int
+\sum_{k=1} a_kH_k(t)\,dt
+\\
+&=
+a_0
+\frac{\sqrt{\pi}}2
+\operatorname{erf}(t)
++
+\sum_{k=1} a_k\int H_k(t)\,dt.
+\end{align*}
+Da die Integrale in der Summe alle elementar darstellbar sind,
+ist das Integral genau dann elementar, wenn $a_0=0$ ist.
+\end{proof}
+
 
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
index e2dfd6b..c0c046a 100644
--- a/buch/papers/dreieck/teil3.tex
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -3,8 +3,75 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Erweiterungen
-\label{dreieck:section:erweiterungen}}
-\rhead{Erweiterungen}
+\section{Integralbedingung
+\label{dreieck:section:integralbedingung}}
+\rhead{Lösung}
+Die Tatsache, dass die Hermite-Polynome orthogonal sind, erlaubt, das
+Kriterium von Satz~\ref{dreieck:satz1} in einer besonders attraktiven
+Integralform zu formulieren.
+
+Aus den Polynomen $H_n(t)$ lassen sich durch Normierung die
+\index{orthogonale Polynome}%
+\index{Polynome, orthogonale}%
+orthonormierten Polynome
+\[
+\tilde{H}_n(t)
+=
+\frac{1}{\| H_n\|_w} H_n(t)
+\qquad\text{mit}\quad
+\|H_n\|_w^2
+=
+\int_{-\infty}^\infty H_n(t)e^{-t^2}\,dt
+\]
+bilden.
+Da diese Polynome eine orthonormierte Basis des Vektorraums der Polynome
+bilden, kann die gesuchte Zerlegung eines Polynoms $P(t)$ auch mit
+Hilfe des Skalarproduktes gefunden werden:
+\begin{align*}
+P(t)
+&=
+\sum_{k=1}^n
+\langle \tilde{H}_k, P\rangle_w
+\tilde{H}_k(t)
+=
+\sum_{k=1}^n
+\biggl\langle \frac{H_k}{\|H_k\|_w}, P\biggr\rangle_w
+\frac{H_k(t)}{\|H_k\|_w}
+=
+\sum_{k=1}^n
+\underbrace{
+\frac{ \langle H_k, P\rangle_w }{\|H_k\|_w^2}
+}_{\displaystyle =a_k}
+H_k(t).
+\end{align*}
+Die Darstellung von $P(t)$ als Linearkombination von Hermite-Polynomen
+hat somit die Koeffizienten
+\[
+a_k = \frac{\langle H_k,P\rangle_w}{\|H_k\|_w^2}.
+\]
+Aus dem Kriterium $a_0=0$ dafür, dass eine elementare Stammfunktion
+von $P(t)e^{-t^2}$ existiert, wird daher die Bedingung, dass
+$\langle H_0,P\rangle_w=0$ ist.
+Da $H_0(t)=1$ ist, folgt als Bedingung
+\[
+a_0
+=
+\langle H_0,P\rangle_w
+=
+\int_{-\infty}^\infty P(t) e^{-t^2}\,dt
+=
+0.
+\]
+
+\begin{satz}
+Ein Integrand der Form $P(t)e^{-t^2}$ mit einem Polynom $P(t)$
+hat genau dann eine elementare Stammfunktion, wenn
+\[
+\int_{-\infty}^\infty P(t)e^{-t^2}\,dt = 0
+\]
+ist.
+\end{satz}
+
+