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 \section{Einleitung}
 
-Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik.
+Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elemente in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik.
 Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter.
-Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
-Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence
-Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben.
-Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
+Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englisch \textit{time-invariant system}).
+Durch die Linearität werden beim Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern.
+Diese Eigenschaft macht es sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben.
+Die Übertragungsfunktion $H(\Omega)$ eines linearen Filters im Frequenzbereich ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
 Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit.
-Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
+Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplexkonjugierte Nullstellen.
 
-Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen.
+Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt, alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen.
 Der Rest soll dabei unverändert passieren.
-Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden.
+Aus dem Tiefpassfilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden.
 Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort
 \begin{equation}
     H(\Omega) =
@@ -32,7 +32,7 @@ Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht.
 Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen.
 Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt.
 Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen:
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{ellfilter:eq:quadratic_transfer}
     | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p},
 \end{equation}
 wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert.
@@ -40,8 +40,9 @@ Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbeben
 $w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben.
 Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$.
 $N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
-Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich.
-Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
+Je höher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang im Sperrbereich.
+Grössere $N$ erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
+
 Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$.
 Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
 \begin{figure}
@@ -62,12 +63,15 @@ Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Ti
 \end{align}
 Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
 Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft.
+Es scheint so, als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
 Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
-Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
-Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
+In vielen Anwendung sind Filter mit einem steilen Übergang gewünscht.
+Da es technisch nicht möglich ist, mit einer rationalen Funktion mit begrenzter Anzahl Pole eine steile Flanke zu erreichen, während der Durchlass- und Sperrbereich flach und monoton sind, gibt es Filtertypen, die absichtlich Welligkeiten in der Frequenzantwort aufweisen.
+Besonders effizient sind Filter mit Equiripple-Verhalten, wessen Welligkeit optimal definiert wird für eine maximal steile Flanke, während die maximale Abweichung zum idealen Filter begrenzt ist.
+Die Welligkeit beansprucht dabei einen begrenzen Verstärkungsintervall und nützt diesen vollständig aus, indem sie periodisch die Grenzen des Intervalls berührt.
+Das Tschebyscheff-1 Filter, zum Beispiel, hat Equiripple-Verhalten im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
+Beim Tschebyscheff-2 Filter ist es umgekehrt.
 
 Dieses Paper betrachtet die Theorie hinter dem elliptischen Filter, dem wohl exotischsten dieser Auswahl.
-Es weist sich aus durch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation.
+Es hat Equiripple-Verhalten im Durchlass und Sperrbereich und hat dadurch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation.
 Des weiteren kann es als Verallgemeinerung des Tschebyscheff-Filters angesehen werden.
-
-% wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?