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diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
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index 0000000..ae7127f
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+\section{Einleitung}
+
+Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik.
+Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter.
+Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}).
+Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence
+Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben.
+Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen.
+Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit.
+Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen.
+
+Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen.
+Der Rest soll dabei unverändert passieren.
+Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden.
+Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort
+\begin{equation}
+    H(\Omega) =
+    \begin{cases}
+        1  & \Omega < \Omega_p \\
+        0  & \Omega < \Omega_p
+    \end{cases},
+\end{equation}
+wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:lp}
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex}
+    \caption{Frequenzantwort eines Tiefpassfilters.}
+    \label{ellfilter:fig:lp}
+\end{figure}
+Leider ist eine solche Funktion nicht als rationale Funktion darstellbar.
+Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht.
+Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen.
+Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt.
+Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen:
+\begin{equation}
+    | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p},
+\end{equation}
+wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert.
+Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbebene liegen, damit das Filter implementierbar und stabil ist.
+$w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben.
+Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$.
+$N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen.
+Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich.
+Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung.
+Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$.
+Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \input{papers/ellfilter/python/F_N_butterworth.pgf}
+    \caption{$F_N$ für Butterworth filter. Der grüne und gelbe Bereich definiert die erlaubten Werte für alle $F_N$-Funktionen.}
+    \label{ellfilter:fig:butterworth}
+\end{figure}
+Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Tiefpassfilter\-approximationen mit unterschiedlichen Eigenschaften zu erhalten:
+\begin{align}
+    F_N(w) & =
+    \begin{cases}
+        w^N                            & \text{Butterworth} \\
+        T_N(w)                         & \text{Tschebyscheff, Typ 1}  \\
+        [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2}  \\
+        R_N(w, \xi)                    & \text{Elliptisch}    \\
+    \end{cases}
+\end{align}
+Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt.
+Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft.
+Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich.
+Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist.
+Es scheint so als sind gewisse Eigenschaften dieser speziellen Funktionen verantwortlich für die Optimalität dieser Filter.
+
+Dieses Paper betrachtet die Theorie hinter dem elliptischen Filter, dem wohl exotischsten dieser Auswahl.
+Es weist sich aus durch den steilsten Übergangsbereich für eine gegebene Filterdesignspezifikation.
+Des weiteren kann es als Verallgemeinerung des Tschebyscheff-Filters angesehen werden.
+
+% wenn $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, ist auch $H(\Omega)$ eine rationale Funktion und daher ein lineares Filter. %proof?