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diff --git a/buch/papers/fm/03_bessel.tex b/buch/papers/fm/03_bessel.tex new file mode 100644 index 0000000..760cdc4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/fm/03_bessel.tex @@ -0,0 +1,164 @@ +% +% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{FM und Besselfunktion +\label{fm:section:proof}} +\rhead{Herleitung} +Die momentane Trägerkreisfrequenz \(\omega_i\) wie schon in (ref) beschrieben ist, bringt die Vorigen Kapittel beschreiben. (Ableitung \(\frac{d \varphi(t)}{dt}\) mit sich). +Diese wiederum kann durch \(\beta\sin(\omega_mt)\) ausgedrückt werden, wobei es das Modulierende Signal \(m(t)\) ist. +Somit haben wir unser \(x_c\) welches +\[ +\cos(\omega_c t+\beta\sin(\omega_mt)) +\] +ist. + +\subsection{Herleitung} +Das Ziel ist es unser moduliertes Signal mit der Besselfunktion so auszudrücken: +\begin{align} + x_c(t) + = + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + &= + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t) + \label{fm:eq:proof} +\end{align} +\subsubsection{Hilfsmittel} +Doch dazu brauchen wir die Hilfe der Additionsthoerme +\begin{align} + \cos(A + B) + &= + \cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B) + \label{fm:eq:addth1} + \\ + 2\cos (A)\cos (B) + &= + \cos(A-B)+\cos(A+B) + \label{fm:eq:addth2} + \\ + 2\sin(A)\sin(B) + &= + \cos(A-B)-\cos(A+B) + \label{fm:eq:addth3} +\end{align} +und die drei Besselfunktions indentitäten, +\begin{align} + \cos(\beta\sin\phi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos(2k\phi) + \label{fm:eq:besselid1} + \\ + \sin(\beta\sin\phi) + &= + J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \cos((2k+1)\phi) + \label{fm:eq:besselid2} + \\ + J_{-n}(\beta) &= (-1)^n J_n(\beta) + \label{fm:eq:besselid3} +\end{align} +welche man im Kapitel (ref), ref, ref findet. + +\subsubsection{Anwenden des Additionstheorem} +Mit dem \eqref{fm:eq:addth1} wird aus dem modulierten Signal +\[ + x_c(t) + = + \cos(\omega_c t + \beta\sin(\omega_mt)) + = + \cos(\omega_c t)\cos(\beta\sin(\omega_m t))-\sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). + \label{fm:eq:start} +\] +\subsubsection{Cos-Teil} +Zu beginn wird der Cos-Teil +\[ + \cos(\omega_c)\cos(\beta\sin(\omega_mt)) +\] +mit hilfe der Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid1} zum +\begin{align*} + \cos(\omega_c t) \cdot \bigg[\, J_0(\beta) + 2\sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \cos( 2k \omega_m t)\, \bigg] + &=\\ + J_0(\beta)\cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) + \underbrace{2\cos(\omega_c t)\cos(2k\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}} +\end{align*} +wobei mit dem Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth2} \(A = \omega_c t\) und \(B = 2k\omega_m t \) zum +\[ + J_0(\beta)\cdot \cos(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(\beta) \{ \cos((\omega_c - 2k \omega_m) t)+\cos((\omega_c + 2k \omega_m) t) \} +\] +wird. +Wenn dabei \(2k\) durch alle geraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert erhält man den vereinfachten Term +\[ + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t), + \label{fm:eq:gerade} +\] +dabei gehen nun die Terme von \(-\infty \to \infty\), dabei bleibt n Ganzzahlig. + +\subsubsection{Sin-Teil} +Nun zum zweiten Teil des Term \eqref{fm:eq:start}, den Sin-Teil +\[ + \sin(\omega_c)\sin(\beta\sin(\omega_m t)). +\] +Dieser wird mit der \eqref{fm:eq:besselid2} Besselindentität zu +\begin{align*} + \sin(\omega_c t) \cdot \bigg[ J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{ 2k + 1}(\beta) \cos(( 2k + 1) \omega_m t) \bigg] + &=\\ + J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c t) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \underbrace{2\sin(\omega_c t)\cos((2k+1)\omega_m t)}_{\text{Additionstheorem}}. +\end{align*} +Auch hier wird ein Additionstheorem \eqref{fm:eq:addth3} gebraucht, dabei ist \(A = \omega_c t\) und \(B = (2k+1)\omega_m t \), +somit wird daraus +\[ + J_0(\beta) \cdot \sin(\omega_c) + \sum_{k=1}^\infty J_{2k+1}(\beta) \{ \underbrace{\cos((\omega_c-(2k+1)\omega_m) t)}_{\text{neg.Teil}} - \cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t) \} +\]dieser Term. +Wenn dabei \(2k +1\) durch alle ungeraden Zahlen von \(-\infty \to \infty\) mit \(n\) substituiert. +Zusätzlich dabei noch die letzte Besselindentität \eqref{fm:eq:besselid3} brauchen, ist bei allen ungeraden negativen \(n : J_{-n}(\beta) = -1\cdot J_n(\beta)\). +Somit wird neg.Teil zum Term \(-\cos((\omega_c+(2k+1)\omega_m) t)\) und die Summe vereinfacht sich zu +\[ + \sum_{n\, \text{ungerade}} -1 \cdot J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t). + \label{fm:eq:ungerade} +\] +Substituiert man nun noch \(n \text{mit} -n \) so fällt das \(-1\) weg. + +\subsubsection{Summe Zusammenführen} +Beide Teile \eqref{fm:eq:gerade} Gerade +\[ + \sum_{n\, \text{gerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\]und \eqref{fm:eq:ungerade} Ungerade +\[ + \sum_{n\, \text{ungerade}} J_{n}(\beta) \cos((\omega_c + n\omega_m) t) +\] +ergeben zusammen +\[ + \cos(\omega_ct+\beta\sin(\omega_mt)) + = + \sum_{k= -\infty}^\infty J_{k}(\beta) \cos((\omega_c+k\omega_m)t). +\] +Somit ist \eqref{fm:eq:proof} bewiesen. +\newpage + +%---------------------------------------------------------------------------- +\subsection{Bessel und Frequenzspektrum} +Um sich das ganze noch einwenig Bildlicher vorzustellenhier einmal die Besselfunktion \(J_{k}(\beta)\) in geplottet. +\begin{figure} + \centering +% \input{./PyPython animation/bessel.pgf} + \caption{Bessle Funktion \(J_{k}(\beta)\)} + \label{fig:bessel} +\end{figure} +TODO Grafik einfügen, +\newline +Nun einmal das Modulierte FM signal im Frequenzspektrum mit den einzelen Summen dargestellt + +TODO +Hier wird beschrieben wie die Bessel Funktion der FM im Frequenzspektrum hilft, wieso diese gebrauch wird und ihre Vorteile. +\begin{itemize} + \item Zuerest einmal die Herleitung von FM zu der Besselfunktion + \item Im Frequenzspektrum darstellen mit Farben, ersichtlich machen. + \item Parameter tuing der Trägerfrequenz, Modulierende frequenz und Beta. +\end{itemize} + + +%\subsection{De finibus bonorum et malorum +%\label{fm:subsection:bonorum}} + + + |