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-% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+% teil0.tex -- Definition
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\section{Teil 0\label{fresnel:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
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+\section{Definition\label{fresnel:section:teil0}}
+\rhead{Definition}
+Die Funktion $e^{x^2}$ hat bekanntermassen keine elementare Stammfunktion,
+weshalb die Fehlerfunktion als Stammfunktion definiert wurde.
+Die Funktionen $\cos x^2$ und $\sin x^2$ sind eng mit $e^{x^2}$
+verwandt, es ist daher nicht überraschend, dass sie ebenfalls
+keine elementare Stammfunktionen haben.
+Dies rechtfertigt die Definition der Fresnel-Integrale als neue spezielle
+Funktionen.
 
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+\begin{definition}
+Die Funktionen 
+\begin{align*}
+C(x) &= \int_0^x \cos\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt
+\\
+S(x) &= \int_0^x \sin\biggl(\frac{\pi}2 t^2\biggr)\,dt
+\end{align*}
+heissen die Fresnel-Integrale.
+\end{definition}
 
+Der Faktor $\frac{\pi}2$ ist einigermassen willkürlich, man könnte
+daher noch allgemeiner die Funktionen
+\begin{align*}
+C_a(x) &= \int_0^x \cos(at^2)\,dt
+\\
+S_a(x) &= \int_0^x \sin(at^2)\,dt
+\end{align*}
+definieren, so dass die Funktionen $C(x)$ und $S(x)$ der Fall
+$a=\frac{\pi}2$ werden, also
+\[
+\begin{aligned}
+C(x) &= C_{\frac{\pi}2}(x),
+&
+S(x) &= S_{\frac{\pi}2}(x).
+\end{aligned}
+\]
+Durch eine Substitution $t=bs$ erhält man
+\begin{align*}
+C_a(x)
+&=
+\int_0^x \cos(at^2)\,dt
+=
+b
+\int_0^{\frac{x}b} \cos(ab^2s^2)\,ds
+=
+b
+C_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr)
+\\
+S_a(x)
+&=
+\int_0^x \sin(at^2)\,dt
+=
+b
+\int_0^{\frac{x}b} \sin(ab^2s^2)\,ds
+=
+b
+S_{ab^2}\biggl(\frac{x}b\biggr).
+\end{align*}
+Indem man $ab^2=\frac{\pi}2$ setzt, also
+\[
+b
+=
+\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
+,
+\]
+kann man die Funktionen $C_a(x)$ und $S_a(x)$ durch $C(x)$ und $S(x)$
+ausdrücken:
+\begin{align}
+C_a(x)
+&=
+\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
+C\biggl(x
+\sqrt{\frac{2a}{\pi}}
+\biggr)
+&&\text{und}&
+S_a(x)
+&=
+\sqrt{\frac{\pi}{2a}}
+S\biggl(x
+\sqrt{\frac{2a}{\pi}}
+\biggr).
+\label{fresnel:equation:arg}
+\end{align}
+Im Folgenden werden wir meistens nur den Fall $a=1$, also die Funktionen
+$C_1(x)$ und $S_1(x)$ betrachten, da in diesem Fall die Formeln einfacher
+werden.
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/fresnel/images/fresnelgraph.pdf}
+\caption{Graph der Funktionen $C(x)$ ({\color{red}rot}) 
+und $S(x)$ ({\color{blue}blau})
+\label{fresnel:figure:plot}}
+\end{figure}
+Die Abbildung~\ref{fresnel:figure:plot} zeigt die Graphen der
+Funktion $C(x)$ und $S(x)$.