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diff --git a/buch/papers/kra/Makefile.inc b/buch/papers/kra/Makefile.inc index f453e6e..a521e4b 100644 --- a/buch/papers/kra/Makefile.inc +++ b/buch/papers/kra/Makefile.inc @@ -4,11 +4,10 @@ # (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule # dependencies-kra = \ - papers/kra/packages.tex \ + papers/kra/packages.tex \ papers/kra/main.tex \ - papers/kra/references.bib \ - papers/kra/teil0.tex \ - papers/kra/teil1.tex \ - papers/kra/teil2.tex \ - papers/kra/teil3.tex + papers/kra/references.bib \ + papers/kra/einleitung.tex \ + papers/kra/loesung.tex \ + papers/kra/anwendung.tex \ diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex new file mode 100644 index 0000000..6383984 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -0,0 +1,215 @@ +\section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}} +\rhead{Anwendung} +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. + +\subsection{Feder-Masse-System} +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. +Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. +Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass + +\begin{equation*} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} +\end{equation*} +Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung +\begin{equation} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} +\end{equation} +\begin{figure} + % move image to standalone because the physics package is + % incompatible with underbrace + \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf} + %\input{papers/kra/images/simple_mass_spring.tex} + \caption{Einfaches Feder-Masse-System.} + \label{kra:fig:simple_mass_spring} +\end{figure} +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} + \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} + \label{kra:fig:multi_mass_spring} +\end{figure} + +\subsection{Hamilton-Funktion} +Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. +Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten +$q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. +\begin{equation} + \label{kra:harmonischer_oszillator} + \begin{split} + \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + \end{split} +\end{equation} +Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} +\end{equation} +daraus folgt +\[ + \dot{q} = \frac{p}{m} + \qquad + \dot{p} = -kq +\] +in Matrixschreibweise erhalten wir also +\[ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} +\] +Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. +Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. +Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. +\begin{align*} + \begin{split} + T &= T_1 + T_2 \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \end{split} + \\ + \begin{split} + V &= V_1 + V_c + V_2 \\ + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} +Die Hamilton-Funktion ist also +\begin{align*} + \begin{split} + \mathcal{H} &= T + V \\ + &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + \end{split} +\end{align*} +Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +\begin{align*} + \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{q_1} &= \frac{2p_1}{2m_1} &&= \frac{p_1}{m_1}\\ + \dot{q_2} &= \frac{2p_2}{2m_2} &&= \frac{p_2}{m_2} + \end{alignedat} + \right. + \\ + -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + \Rightarrow + \left\{ + \begin{alignedat}{2} + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \end{alignedat} + \right. +\end{align*} +In Matrixschreibweise erhalten wir +\begin{equation} + \label{kra:hamilton:multispringmass} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{G} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} +\end{equation} + +\subsection{Phasenraum} +Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. + +\subsubsection{Harmonischer Oszillator} +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +\begin{equation*} + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) +\end{equation*} +die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. +Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. +\begin{figure} + \input{papers/kra/images/phase_space.tex} + \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} + \label{kra:fig:phasenraum} +\end{figure} + +\subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} +Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. +Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +\begin{equation} + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\tilde{G}} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P + \end{pmatrix} +\end{equation} +Mit einsetzten folgt +\begin{align*} + \dot{Q} = AQ + BP \\ + \dot{P} = CQ + DP +\end{align*} +\begin{equation} + \begin{split} + \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ + &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C + DU - UA - UBU + \end{split} +\end{equation} +was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. + +% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? +% @TODO Fazit ? diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..cde2e66 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -0,0 +1,14 @@ +\section{Einleitung} \label{kra:section:einleitung} +\rhead{Einleitung} +Die riccatische Differentialgleichung ist eine nicht lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form +\begin{equation} + \label{kra:equation:riccati} + y' = f(x)y + g(x)y^2 + h(x) +\end{equation} +Sie ist benannt nach dem italienischen Grafen Jacopo Francesco Riccati (1676–1754) der sich mit der Klassifizierung von Differentialgleichungen befasste. +Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrixriccati} + \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t) +\end{equation} +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}. diff --git a/buch/papers/kra/images/Makefile b/buch/papers/kra/images/Makefile new file mode 100644 index 0000000..ef226a9 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/Makefile @@ -0,0 +1,9 @@ +# +# Makefile -- build standalone images +# +# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller +# +all: simple.pdf + +simple.pdf: simple.tex simple_mass_spring.tex + pdflatex simple.tex diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex new file mode 100644 index 0000000..f255cc8 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex @@ -0,0 +1,54 @@ +% create tikz drawing of a multi mass multi spring system + +\tikzstyle{vmline}=[red, dashed,line width=0.4,dash pattern=on 1pt off 1pt] +\tikzstyle{ground}=[pattern=north east lines] +\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] +\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] + +\begin{tikzpicture}[scale=2] + \newcommand{\ticks}[3] + { + % x, y coordinates + \draw[thick] (#1, #2 - 0.1 / 2) --++ (0, 0.1) node[scale=0.8,below=0.2] {#3}; + } + \tikzmath{ + \hWall = 1.2; + \wWall = 0.3; + \lWall = 5; + \hMass = 0.6; + \wMass = 1.1; + \xMass1 = 1.0; + \xMass2 = 3.0; + \xAxisYpos = 0; + \originX1 = 0; + \originY1 = 0.5; + \springscale=7; + } + + % create axis + \draw[->,thick] (0,\xAxisYpos) --+ (\xMass2 + \wMass, 0) node[right]{$q$}; + % create ticks on x / q axis + \ticks{\xMass1}{\xAxisYpos}{$q_{1}$} + \ticks{\xMass2}{\xAxisYpos}{$q_{2}$} + + % create non-moving backgrounds + \draw[ground] (\originX1, \originY1) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \hWall) + --+ (\lWall - \wWall, \hWall) --+(\lWall - \wWall, \wWall) --+ (\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle; + + % create masses + \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass1, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m_{1}$}; + \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m_{2}$}; + + % create springs + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k_1$}; + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\xMass1 + \wMass, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \xMass1 - \wMass, 0) node[midway,above=0.2] {$k_c$}; + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\xMass2 + \wMass, \wWall + \hMass / 2) --++ (\lWall - \xMass2 - \wMass - \wWall, 0) node[midway,above=0.2] {$k_2$}; + + % create vertical measurement line + \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); + \draw[vmline] (\xMass2, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); + +\end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex new file mode 100644 index 0000000..cd51ea4 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex @@ -0,0 +1,67 @@ +\colorlet{mypurple}{red!50!blue!90!black!80} + +% style to create arrows +\tikzset{ + traj/.style 2 args={thick, postaction={decorate},decoration={markings, + mark=at position #1 with {\arrow{<}}, + mark=at position #2 with {\arrow{<}}} + } +} + +\begin{tikzpicture}[scale=0.6] + % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA + \tikzmath{ + \axh = 5.2; + \axw1 = 4.2; + \axw2 = 4.8; + \d1 = 0.9; + \a0 = 1; + \b0 = 2; + \a1 = \a0 + \d1; + \b1 = \b0 + \d1; + \a2 = \a1 + \d1; + \b2 = \b1 + \d1; + \a3 = \a2 + \d1; + \b3 = \b2 + \d1; + \d2 = 0.75; + \aa0 = 2; + \bb0 = 1; + \aa1 = \aa0 + \d2; + \bb1 = \bb0 + \d2; + \aa2 = \aa1 + \d2; + \bb2 = \bb1 + \d2; + \aa3 = \aa2 + \d2; + \bb3 = \bb2 + \d2; + } + + \draw[->,thick] (-\axw1,0) -- (\axw1,0) node[right] {$q$}; + \draw[->,thick] (0,-\axh) -- (0,\axh) node[above] {$p$}; + + \draw[traj={0.375}{0.875},darkgreen] ellipse (\a0 and \b0); + \draw[traj={0.375}{0.875},blue] ellipse (\a1 and \b1); + \draw[traj={0.375}{0.875},cyan] ellipse (\a2 and \b2); + \draw[traj={0.375}{0.875},mypurple] ellipse (\a3 and \b3); + + \node[right,darkgreen] at (45:{\a0} and {\b0}) {$E_A$}; + \node[right, blue] at (45:{\a1} and {\b1}) {$E_B$}; + \node[right, cyan] at (45:{\a2} and {\b2}) {$E_C$}; + \node[right, mypurple] at (45:{\a3} and {\b3}) {$E_D$}; + \node[above left] at (110:\b3 + 0.1) {grosses $\omega$}; + + \begin{scope}[xshift=12cm] + \draw[->,thick] (-\axw2,0) -- (\axw2,0) node[right] {$q$}; + \draw[->,thick] (0,-\axh) -- (0,\axh) node[above] {$p$}; + + \draw[traj={0.375}{0.875},darkgreen] ellipse (\aa0 and \bb0); + \draw[traj={0.375}{0.875},blue] ellipse (\aa1 and \bb1); + \draw[traj={0.375}{0.875},cyan] ellipse (\aa2 and \bb2); + \draw[traj={0.375}{0.875},mypurple] ellipse (\aa3 and \bb3); + + \node[above, darkgreen] at (45:{\aa0} and {\bb0}) {$E_A$}; + \node[above, blue] at (45:{\aa1} and {\bb1}) {$E_B$}; + \node[above, cyan] at (45:{\aa2} and {\bb2}) {$E_C$}; + \node[above, mypurple] at (45:{\aa3} and {\bb3}) {$E_D$}; + + \node[above left] at (110:\b3 + 0.1) {kleines $\omega$}; + \end{scope} +\end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/images/simple.pdf b/buch/papers/kra/images/simple.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..4351518 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/simple.pdf diff --git a/buch/papers/kra/images/simple.tex b/buch/papers/kra/images/simple.tex new file mode 100644 index 0000000..3bdde27 --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/simple.tex @@ -0,0 +1,24 @@ +% +% tikztemplate.tex -- template for standalon tikz images +% +% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule +% +\documentclass[tikz]{standalone} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{times} +\usepackage{txfonts} +\usepackage{pgfplots} +\pgfplotsset{compat=1.16} +\usepackage[outline]{contour} +\usepackage{csvsimple} +\usepackage{physics} +\usetikzlibrary{arrows,intersections,math} +\usetikzlibrary{patterns} +\usetikzlibrary{snakes} +\usetikzlibrary{arrows.meta} +\usetikzlibrary{decorations} +\usetikzlibrary{decorations.markings} +\begin{document} +\input{simple_mass_spring.tex} +\end{document} + diff --git a/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex new file mode 100644 index 0000000..868362d --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/images/simple_mass_spring.tex @@ -0,0 +1,66 @@ +% create tikz drawing of a simple mass spring system + +\tikzstyle{hmline}=[{Latex[length=3.3,width=2.2]}-{Latex[length=3.3,width=2.2]},line width=0.3] +\tikzstyle{vmline}=[red, dashed,line width=0.4,dash pattern=on 1pt off 1pt] +\tikzstyle{ground}=[pattern=north east lines] +\tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] +\tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] + +\begin{tikzpicture}[scale=2,>=latex] + \newcommand{\ticks}[2] + { + % arguments: x, y coordinates + \draw[thick] (#1, #2 - 0.1 / 2) --++ (0, 0.1); + } + + \tikzmath{ + \hWall = 1.2; + \wWall = 0.3; + \lWall = 3.5; + \hMass = 0.6; + \wMass = 1.1; + \xMass1 = 1.2; + \xMass2 = 2.2; + \xAxisYpos = 0; + \originX1 = 0; + \originY1 = 0.5; + \originX2 = 0; + \originY2 = -2; + \springscale=7; + } + + % create x axis + \draw[->,thick] (0,\xAxisYpos) --+ (\lWall, 0) node[right]{$x$}; + + % create ticks on x axis + \ticks{\wWall}{\xAxisYpos} + \ticks{\xMass1}{\xAxisYpos} + \ticks{\xMass2}{\xAxisYpos} + + % create underground + \draw[ground] (\originX1, \originY1) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \wWall) --+(\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle; + \draw[ground] (\originX2, \originY2) ++ (0, 0) --+(\lWall,0) --+(\lWall, \wWall) --+(\wWall, \wWall) --+(\wWall, \hWall) --+(0, \hWall) -- cycle; + + % create masses + \draw[mass] (\originX1, \originY1) ++ (\xMass1, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$}; + \draw[mass] (\originX2, \originY2) ++ (\xMass2, \wWall) rectangle ++ (\wMass,\hMass) node[midway] {$m$}; + + % create springs + \draw[spring, segment length=(\xMass1 - \wWall) * \springscale] (\originX1, \originY1) ++ + (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass1 - \wWall, 0) node[midway,above=3.5] {$k$}; + \draw[spring, segment length=(\xMass2 - \wWall) * \springscale] (\originX2, \originY2) ++ + (\wWall, \wWall + \hMass / 2) --++ (\xMass2 - \wWall, 0) node[midway,above=3.5] {$k$}; + + % create vertical measurement line + \draw[vmline] (\xMass1, \xAxisYpos) --+(0, \originY1 + \wWall); + \draw[vmline] (\xMass2, \xAxisYpos) --+(0, \originY2 + \hMass+\wWall); + \draw[vmline] (\wWall, \originY1+\wWall) --(\wWall, \originY2 + \hWall); + + % create horizontal measurement line + \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$l_0$}; + \draw[hmline] (\xMass1, \xAxisYpos + 0.2) -- (\xMass2, \xAxisYpos + 0.2) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$\Delta_{x}$}; + \draw[hmline] (\wWall, \xAxisYpos - 0.3) -- (\xMass2, \xAxisYpos - 0.3) node[midway,fill=white,inner sep=0] {$l_{1}$}; + + % create force arrow + \draw[->,blue, very thick,line cap=round] (\xMass2 + \wMass / 2, \originY2 + \wWall + \hMass + 0.15) node[above] {$\vb{F_{R}}$} --+ (-0.5, 0); +\end{tikzpicture} diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex new file mode 100644 index 0000000..4e0da1c --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +\section{Lösungsmethoden} \label{kra:section:loesung} +\rhead{Lösungsmethoden} + +\subsection{Riccatische Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +Eine allgemeine analytische Lösung der Riccati Differentialgleichung ist nicht möglich. +Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und so eine analytische Lösung gefunden werden kann. +Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. + +\subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} +Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +\begin{equation} + y' = fy^2 + gy + h +\end{equation} +\begin{equation} + \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h +\end{equation} +\begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx +\end{equation} + +\subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Wir wählen als Substitution +\begin{equation} \label{kra:equation:substitution} + z = \frac{1}{y - y_p} +\end{equation} +durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +\begin{equation} + y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} +\end{equation} +\begin{equation} + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' +\end{equation} +mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +\begin{equation} + y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) +\end{equation} +\begin{equation} + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) +\end{equation} +was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +\begin{equation} + z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) +\end{equation} +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. + +\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +% Lösung matrix riccati +Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\begin{equation} + \label{kra:matrixriccati-solution} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} +\end{equation} +\begin{equation} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) + \end{pmatrix} + ^{-1} +\end{equation} +wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. +\begin{equation} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} +\end{equation} diff --git a/buch/papers/kra/main.tex b/buch/papers/kra/main.tex index fcee25b..a84ebaf 100644 --- a/buch/papers/kra/main.tex +++ b/buch/papers/kra/main.tex @@ -3,34 +3,12 @@ % % (c) 2020 Hochschule Rapperswil % -\chapter{Kalman, Riccati und Abel\label{chapter:kra}} -\lhead{Kalman, Riccati und Abel} +\chapter{Riccati Differentialgleichung\label{chapter:kra}} +\lhead{Riccati Differentialgleichung} \begin{refsection} - \chapterauthor{Samuel Niederer} - - Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes - \begin{itemize} - \item - Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. - Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. - \item - Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende - Optionen werden gelöscht. - Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. - \item - Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. - Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen - in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt - anzuwenden. - \item - Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren - Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. - \end{itemize} - - \input{papers/kra/teil0.tex} - \input{papers/kra/teil1.tex} - \input{papers/kra/teil2.tex} - \input{papers/kra/teil3.tex} - - \printbibliography[heading=subbibliography] + \chapterauthor{Samuel Niederer} + \input{papers/kra/einleitung.tex} + \input{papers/kra/loesung.tex} + \input{papers/kra/anwendung.tex} + \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/kra/packages.tex b/buch/papers/kra/packages.tex index df34dcf..56c48d9 100644 --- a/buch/papers/kra/packages.tex +++ b/buch/papers/kra/packages.tex @@ -8,3 +8,11 @@ % following example %\usepackage{packagename} +%\usepackage{physics} +\usepackage[outline]{contour} +\pgfplotsset{compat=1.16} +\usetikzlibrary{patterns} +\usetikzlibrary{snakes} +\usetikzlibrary{arrows.meta} +\usetikzlibrary{decorations} +\usetikzlibrary{decorations.markings} diff --git a/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex b/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex new file mode 100644 index 0000000..eb6541b --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/presentation/presentation.tex @@ -0,0 +1,491 @@ +\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer} + +% style +\mode<presentation>{ + \usetheme{Frankfurt} +} +%packages +\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-} +\usepackage[english]{babel} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{array} + +\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}} +\usepackage{ragged2e} + +\usepackage{bm} % bold math +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{mathtools} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{multirow} % multi row in tables +\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables +\usepackage{scrextend} +\usepackage{textgreek} +\usepackage[rgb]{xcolor} + +\usepackage[normalem]{ulem} % \sout + +\usepackage{ marvosym } % \Lightning + +\usepackage{multimedia} % embedded videos + +\usepackage{tikz} +\usepackage{pgf} +\usepackage{pgfplots} + +\usepackage{algorithmic} + +%citations +\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex} +\addbibresource{references.bib} + + +%math font +\usefonttheme[onlymath]{serif} + +%Beamer Template modifications +%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue +\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink +\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink +\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green + +%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue +\setbeamercolor{palette primary}{bg=white,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette secondary}{bg=orange,fg=mainColor} +\setbeamercolor{palette tertiary}{bg=yellow,fg=red} +\setbeamercolor{palette quaternary}{bg=mainColor,fg=white} %bg = Top bar, fg = active top bar topic +\setbeamercolor{structure}{fg=black} % itemize, enumerate, etc (bullet points) +\setbeamercolor{section in toc}{fg=black} % TOC sections +\setbeamertemplate{section in toc}[sections numbered] +\setbeamertemplate{subsection in toc}{% + \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par} + +\setbeamertemplate{itemize items}[circle] +\setbeamertemplate{description item}[circle] +\setbeamertemplate{title page}[default][colsep=-4bp,rounded=true] +\beamertemplatenavigationsymbolsempty + +\setbeamercolor{footline}{fg=gray} +\setbeamertemplate{footline}{% + \hfill\usebeamertemplate***{navigation symbols} + \hspace{0.5cm} + \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm} +} + +\usepackage{caption} +\captionsetup{labelformat=empty} + +%Title Page +\title{KRA} +\subtitle{Kalman Riccati Abel} +\author{Samuel Niederer} +% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule} +% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}} +\date{\today} + +\input{../packages.tex} + +\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}% + +\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}} +\newcommand*{\RD}{\textcolor{red}} +\newcommand*{\BL}{\textcolor{blue}} +\newcommand*{\GN}{\textcolor{dgreen}} +\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} + +\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0} + + +\makeatletter +\newcount\my@repeat@count +\newcommand{\myrepeat}[2]{% + \begingroup + \my@repeat@count=\z@ + \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}% + \endgroup +} +\makeatother + +\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings} + +\begin{document} + +\begin{frame} + \titlepage +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Content} + \tableofcontents +\end{frame} + +\section{Einführung} + +\begin{frame} + \begin{itemize} + \item<1|only@1> \textbf{K}alman + \item<1|only@1> \textbf{R}iccati + \item<1|only@1> \textbf{A}bel + + \item<2|only@2> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} + \item<2|only@2> \textbf{R}iccati + \item<2|only@2> \textbf{A}bel + + \item<3|only@3> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} \textcolor{green}{Federmassesytem} + \item<3|only@3> \textbf{R}iccati + \item<3|only@3> \textbf{A}bel + + \item<4|only@4> \textcolor{red}{\sout{\textbf{K}alman}} \textcolor{green}{Federmassesytem} + \item<4|only@4> \textbf{R}iccati + \item<4|only@4> \uwave{\textbf{A}bel} + \end{itemize} +\end{frame} + +\section{Riccati} + +\begin{frame} + \frametitle{Riccatische Differentialgleichung} + \begin{equation*} + % y'(x) = f(x)y^2(x) + g(x)y(x) + h(x) + x'(t) = f(t)x^2(t) + g(t)x(t) + h(t) + \end{equation*} + + \pause + + \begin{equation*} + \dot{X}(t) = - X(t)BX(t) - X(t)A + DX(t) + C + \end{equation*} + + % \pause + % Anwendungen + % \begin{itemize} + % \item Zeitkontinuierlicher Kalmanfilter + % \item Regelungstechnik LQ-Regler + % \item Federmassesyteme + % \end{itemize} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Auftreten der Gleichung} + \begin{columns} + \column{0.4 \textwidth} + \begin{equation*} + \dt + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{H} + \begin{pmatrix} + X \\ + Y + \end{pmatrix} + \end{equation*} + + \pause + + \column{0.4 \textwidth} + \begin{equation*} + U = YX^{-1} \qquad \dt U = ? + \end{equation*} + \end{columns} + + \pause + + \begin{align*} + \dt U & = \dot{Y} X^{-1} + Y \dt X^{-1} \\ + \uncover<4->{ & = (CX + DY) X^{-1} - Y (X^{-1} \dot{X} X^{-1})\\} + \uncover<5->{ & = C\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{YX^{-1}}_\text{U} - Y(X^{-1} (AX + BY) X^{-1})\\} + \uncover<6->{ & = C + DU - \underbrace{YX^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{XX^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{YX^{-1}}_\text{U})\\} + \uncover<7->{ & = C + DU - UA - UBU} + \end{align*} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Lösen der Gleichung} + \begin{equation*} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} + = + \Phi(t_0, t) + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) & \Phi_{12}(t_0, t) \\ + \Phi_{21}(t_0, t) & \Phi_{22}(t_0, t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + I(t) \\ + U_0(t) + \end{pmatrix} + \end{equation*} + + \pause + + \begin{equation*} + U(t) = + \begin{pmatrix} + \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) U_0(t) + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + \Phi_{11}(t_0, t) + \Phi_{12}(t_0, t) U_0(t) + \end{pmatrix} + ^{-1} + \end{equation*} + + \pause + + % wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogennante Zustandsübergangsmatrix ist. + + \begin{equation*} + \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} + \end{equation*} +\end{frame} + +\section{Federmassystem} +\begin{frame} + \frametitle{Federmassesystem} + \begin{columns} + \column{0.5 \textwidth} + \input{../images/simple_mass_spring.tex} + + \column{0.5 \textwidth} + \begin{align*} + \uncover<2->{F_R & = k \Delta_x \\} + \uncover<3->{F_a & = am = \ddot{x} m \\} + \uncover<4->{F_R & = F_a \Leftrightarrow k \Delta_x = \ddot{x} m\\} + \uncover<5->{\ddot{x} & = \frac{k \Delta_x}{m} \\} + \uncover<6->{x(t) & = A \cos(\omega_0 + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}} + \end{align*} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Phasenraum} + \begin{columns} + \column{0.3 \textwidth} + \begin{tikzpicture}[scale=3] + \draw[->, thick] (0, 0) -- (1,0) node[right] {$q$}; + \draw[->, thick] (0.5, -0.5) -- (0.5,0.5) node[above]{$p$}; + \end{tikzpicture} + \column{0.7 \textwidth} + Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}), \quad p=mv$ \\ + Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ \\ + + + + \begin{align*} + \uncover<2->{\mathcal{H}(q, p) & = \underbrace{T(p)}_{E_{kin}} + \underbrace{V(q)}_{E_{pot}} = E_{tot} \\} + \uncover<3->{ & = \frac{p^2}{2m}+ \frac{k q^2}{2}} + \end{align*} + + + + \begin{equation*} + \uncover<4->{ + \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \qquad + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} + } + \end{equation*} + + \pause + + \begin{equation*} + \uncover<5->{ + \begin{pmatrix} + \dot{q} \\ + \dot{p} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & \frac{1}{m} \\ + -k & 0 + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q \\ + p + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Phasenraum} + \input{../images/phase_space.tex} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Federmassesystem} + \begin{columns} + \column{0.6 \textwidth} + \scalebox{0.8}{\input{../images/multi_mass_spring.tex}} + \begin{align*} + \uncover<2->{\mathcal{H} & = T + V \\} + \uncover<7->{ & = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}} + \end{align*} + + \column{0.4 \textwidth} + \begin{align*} + \uncover<3->{T & = T_1 + T_2} \\ + \uncover<5->{ & = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} } \\ + \uncover<4->{V & = V_1 + V_c + V_2 } \\ + \uncover<6->{ & = \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}} + \end{align*} + \end{columns} +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Federmassesystem} + \begin{equation*} + \begin{pmatrix} + \dot{q_1} \\ + \dot{q_2} \\ + \dot{p_1} \\ + \dot{p_2} \\ + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \frac{1}{2m_1} & 0 \\ + 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2m_2} \\ + -(k_1 + k_c) & k_c & 0 & 0 \\ + k_c & -(k_c + k_2) & 0 & 0 \\ + \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} + q_1 \\ + q_2 \\ + p_1 \\ + p_2 \\ + \end{pmatrix} + \Leftrightarrow + \dt + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + 0 & M \\ + K & 0 + \end{pmatrix} + }_{H} + \begin{pmatrix} + Q \\ + P \\ + \end{pmatrix} + \end{equation*} + + \pause + + $U = PQ^{-1} \qquad \dt U = ?$ + + \pause + + \begin{align*} + \dt U & = C + DU - UA - UBU \\ + & = K - UMU + \end{align*} + +\end{frame} + +\begin{frame} + \frametitle{Einfluss der Anfangsbedingung:} + \begin{columns} + \column{0.4 \textwidth} + \begin{equation*} + \uncover<2->{q_0 = + \begin{pmatrix} + q_{10} \\ + q_{20} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 3 \\ + 1 + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + \begin{equation*} + \uncover<3->{q_0 = + \begin{pmatrix} + q_{10} \\ + q_{20} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 3 \\ + 3 + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + \begin{equation*} + \uncover<4->{q_0 = + \begin{pmatrix} + q_{10} \\ + q_{20} + \end{pmatrix} + = + \begin{pmatrix} + 2 \\ + -2 + \end{pmatrix} + } + \end{equation*} + \column{0.6 \textwidth} + \scalebox{0.8}{\input{../images/multi_mass_spring.tex}} + \end{columns} +\end{frame} + +\section{Schlussteil} +\begin{frame} + \frametitle{Zusammenfassung} + \begin{itemize} + \pause + \item{Riccatische Differentialgleichung} + \pause + \begin{itemize} + \item{Ausgansgleichung} + \pause + \item{Lösung} + \end{itemize} + \pause + \item{Harmonischer Ozillator} + \pause + \begin{itemize} + \item{Hamiltonfunktion} + \pause + \item{Phasenraum} + \end{itemize} + \pause + \item{Gekoppelter harmonischer Ozillator} + \pause + \begin{itemize} + \item{Riccatische Differentialgleichung} + \pause + \item{Einfluss der Anfangsbedingungen} + \end{itemize} + \pause + \item{\uwave{Abel}} + \begin{itemize} + \pause + \item{Nichtlineare Federkonstante} + \end{itemize} + + \end{itemize} +\end{frame} + +\end{document} diff --git a/buch/papers/kra/references.bib b/buch/papers/kra/references.bib index f13c3d8..a9a8ede 100644 --- a/buch/papers/kra/references.bib +++ b/buch/papers/kra/references.bib @@ -4,32 +4,42 @@ % (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil % -@online{kra:bibtex, - title = {BibTeX}, - url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX}, - date = {2020-02-06}, - year = {2020}, - month = {2}, - day = {6} +@misc{kra:riccati, +title = {Riccatische Differentialgleichung}, +url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung}, +date = {2022-05-26} } -@book{kra:numerical-analysis, - title = {Numerical Analysis}, - author = {David Kincaid and Ward Cheney}, - publisher = {American Mathematical Society}, - year = {2002}, - isbn = {978-8-8218-4788-6}, - inseries = {Pure and applied undegraduate texts}, - volume = {2} +@misc{kra:ethz, +author = {Ch. Roduner}, +title = {Die-Riccati-Gleichung}, +url = {https://www.imrtweb.ethz.ch/users/geering/Riccati.pdf}, +date = {2022-05-26} } -@article{kra:mendezmueller, - author = { Tabea Méndez and Andreas Müller }, - title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration }, - journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.}, - year = 2019, - volume = 47, - pages = {607--627}, - url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004} +@online{kra:hamilton, + title = {Hamilton-Funktion}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Funktion}, + date = {2022-05-26} } +@misc{kra:kanonischegleichungen, + title = {Kanonische Gleichungen}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Kanonische_Gleichungen}, + date = {2022-05-26} +} + +@misc{kra:newton, + title = {Newtonsche Gesetze}, + url = {https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsche_Gesetze}, + date = {2022-05-26} +} + +@misc{kra:kalmanisae, + author = {D.Alazard}, + title = {Introduction to Kalman filtering}, + url = {https://pagespro.isae-supaero.fr/IMG/pdf/introKalman_e_151211.pdf}, + date = {2022-05-26} +} + + diff --git a/buch/papers/kra/scripts/animation.py b/buch/papers/kra/scripts/animation.py new file mode 100644 index 0000000..5e805ae --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/scripts/animation.py @@ -0,0 +1,243 @@ +import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import matplotlib.patches
+import matplotlib.transforms
+import matplotlib.text
+from matplotlib.animation import FuncAnimation
+import imageio
+
+from simulation import Simulation
+
+
+class Mass:
+ def __init__(self, x_0, width, height, **kwargs):
+ self._x_0 = x_0
+ xy = (x_0, 0)
+ self._rect = matplotlib.patches.Rectangle(xy, width, height, **kwargs)
+
+ @property
+ def patch(self):
+ return self._rect
+
+ @property
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+ return self._rect.get_x()
+
+ @property
+ def width(self):
+ return self._rect.get_width()
+
+ def move(self, x):
+ self._rect.set_x(self._x_0 + x)
+
+
+class Spring:
+ def __init__(self, n, height, ax, resolution=1000, **kwargs):
+ self._n = n
+ self._height = height
+ self._N = resolution
+ (self._line,) = ax.plot([], [], "-", **kwargs)
+
+ def set(self, x_0, x_1):
+ T = (x_1 - x_0) / self._n
+ x = np.linspace(x_0, x_1, self._N, endpoint=True)
+ t = np.linspace(0, x_1 - x_0, self._N)
+ y = (np.sin(2 * np.pi * t / T) + 1.5) * self._height / 2
+ self.line.set_data(x, y)
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self._line
+
+
+class LinePlot:
+ def __init__(self, ax, **kwargs):
+ (self._line,) = ax.plot([], [], "-", **kwargs)
+ self._x = []
+ self._y = []
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self._line
+
+ def update(self, x, y):
+ self._x.append(x)
+ self._y.append(y)
+ self._line.set_data(self._x, self._y)
+
+
+class ScatterPlot:
+ def __init__(self, ax, **kwargs):
+ self._color = kwargs.get("color", "tab:green")
+ self._line = ax.scatter([], [], **kwargs)
+ self._ax = ax
+ self._x = []
+ self._y = []
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self._line
+
+ def update(self, x, y, **kwargs):
+ self._x.append(x)
+ self._y.append(y)
+ self._line.remove()
+ self._line = self._ax.scatter(self._x, self._y, color=self._color, **kwargs)
+
+
+class QuiverPlot:
+ def __init__(self, ax, **kwargs):
+ self.x = []
+ self.y = []
+ self.u = []
+ self.v = []
+ self.ax = ax
+ self.ln = self.ax.quiver([], [], [], [])
+
+ def update(self, x, y, u, v):
+ self.x.append(x)
+ self.y.append(y)
+ self.u.append(u)
+ self.v.append(v)
+ self.ln.remove()
+ self.ln = self.ax.quiver(self.x, self.y, self.u, self.v)
+
+ @property
+ def line(self):
+ return self.ln
+
+
+anim_folder = "anim_0"
+img_counter = 0
+
+sim = Simulation()
+params = {
+ "x_0": [2, -2],
+ "k_1": 1,
+ "k_c": 2,
+ "k_2": 1,
+ "m_1": 0.5,
+ "m_2": 0.5,
+}
+
+time = 2.1
+
+
+# create axis
+fig = plt.figure(figsize=(20, 15), constrained_layout=True)
+fig.suptitle(
+ " ,".join([f"${key} = {val}$" for (key, val) in params.items()]), fontsize=20
+)
+spec = fig.add_gridspec(3, 4)
+ax0 = fig.add_subplot(spec[-1, :])
+ax1 = fig.add_subplot(spec[:-1, :2])
+ax2 = fig.add_subplot(spec[:-1, 2:])
+
+ax0.set_yticks([])
+
+mass_height = 0.5
+spring_height = 0.6 * mass_height
+x_max = 21
+y_max = 2 * mass_height
+
+mass_1 = Mass(
+ 7,
+ 2,
+ mass_height,
+ color="tab:red",
+)
+mass_2 = Mass(14, 2, mass_height, color="tab:blue")
+masses = [mass_1, mass_2]
+patches = [mass.patch for mass in masses]
+
+spring_1 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:red", linewidth=10)
+spring_2 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:gray", linewidth=10)
+spring_3 = Spring(4, spring_height, ax0, color="tab:blue", linewidth=10)
+springs = [spring_1, spring_2, spring_3]
+
+linePlot_1 = LinePlot(ax1, color="tab:red", label="$m_1$", alpha=1)
+linePlot_2 = LinePlot(ax1, color="tab:blue", label="$m_2$", alpha=1)
+linePlots = [linePlot_1, linePlot_2]
+
+# quiverPlot = QuiverPlot(ax2)
+scatterPlot = ScatterPlot(ax2)
+
+lines = [spring.line for spring in springs]
+lines.extend([plot.line for plot in linePlots])
+# lines.append(quiverPlot.line)
+lines.append(scatterPlot.line)
+
+objects = lines + patches
+
+ax0.plot(
+ np.repeat(mass_1.x, 2),
+ [0, y_max],
+ "--",
+ color="tab:red",
+ label="Ruhezustand $m_1$",
+)
+ax0.plot(
+ np.repeat(mass_2.x, 2),
+ [0, y_max],
+ "--",
+ color="tab:blue",
+ label="Ruhezustand $m_2$",
+)
+
+
+def init():
+ ax0.set_xlim(0, x_max)
+ ax0.set_ylim(0, y_max)
+
+ ax1.set_xlim(0, time)
+ ax1.set_ylim(-4, 4)
+ ax1.set_xlabel("time", fontsize=20)
+ ax1.set_ylabel("$q$", fontsize=20)
+
+ ax2.set_xlim(-4, 4)
+ ax2.set_ylim(-4, 4)
+ ax2.set_xlabel("$q_1$", fontsize=20)
+ ax2.set_ylabel("$q_2$", fontsize=20)
+
+ for patch in patches:
+ ax0.add_patch(patch)
+
+ spring_1.set(0, mass_1.x)
+ spring_2.set(mass_1.x + mass_1.width, mass_2.x)
+ spring_2.set(mass_2.x + mass_2.width, x_max)
+
+ return objects
+
+
+def update(frame):
+ global img_counter
+ x_1, x_2 = sim(frame, **params)
+
+ mass_1.move(x_1)
+ mass_2.move(x_2)
+
+ spring_1.set(0, mass_1.x)
+ spring_2.set(mass_1.x + mass_1.width, mass_2.x)
+ spring_3.set(mass_2.x + mass_2.width, x_max)
+
+ linePlot_1.update(frame, x_1)
+ linePlot_2.update(frame, x_2)
+
+ scatterPlot.update(x_1, x_2, alpha=0.25)
+
+ img_counter += 1
+ return objects
+
+
+anim = FuncAnimation(
+ fig,
+ update,
+ frames=np.linspace(0, time, int(time * 30)),
+ init_func=init,
+ blit=False,
+)
+
+ax0.legend(fontsize=20)
+ax1.legend(fontsize=20)
+FFwriter = matplotlib.animation.FFMpegWriter(fps=30)
+anim.save("animation.mp4", writer=FFwriter)
diff --git a/buch/papers/kra/scripts/simulation.py b/buch/papers/kra/scripts/simulation.py new file mode 100644 index 0000000..8bccb6a --- /dev/null +++ b/buch/papers/kra/scripts/simulation.py @@ -0,0 +1,40 @@ +import sympy as sp
+
+
+class Simulation:
+ def __init__(self):
+ self.k_1, self.k_2, self.k_c = sp.symbols("k_1 k_2 k_c")
+ self.m_1, self.m_2 = sp.symbols("m_1 m_2")
+ self.t = sp.symbols("t")
+ K = sp.Matrix(
+ [[-(self.k_1 + self.k_c), self.k_c], [self.k_c, -(self.k_2 + self.k_c)]]
+ )
+ M = sp.Matrix([[1 / self.m_1, 0], [0, 1 / self.m_2]])
+ A = M * K
+
+ self.eigenvecs = []
+ self.eigenvals = []
+ for ev, mult, vecs in A.eigenvects():
+ self.eigenvecs.append(sp.Matrix(vecs))
+ self.eigenvals.extend([ev] * mult)
+
+ def __call__(self, t, x_0, k_1, k_c, k_2, m_1, m_2):
+ params = {
+ self.k_1: k_1,
+ self.k_c: k_c,
+ self.k_2: k_2,
+ self.m_1: m_1,
+ self.m_2: m_2,
+ }
+ x_0 = sp.Matrix(x_0)
+ eig_mat = sp.Matrix.hstack(*self.eigenvecs).subs(params)
+ g = eig_mat.inv() * x_0
+ L = sp.Matrix(
+ [
+ g[0] * sp.cos(self.eigenvals[0].subs(params) * self.t),
+ g[1] * sp.cos(self.eigenvals[1].subs(params) * self.t),
+ ]
+ )
+ x = eig_mat * L
+ f = sp.lambdify(self.t, x, "numpy")
+ return f(t).squeeze()
diff --git a/buch/papers/kra/teil0.tex b/buch/papers/kra/teil0.tex deleted file mode 100644 index d06a055..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil0.tex +++ /dev/null @@ -1,22 +0,0 @@ -% -% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 0\label{kra:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{kra:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil1.tex b/buch/papers/kra/teil1.tex deleted file mode 100644 index 0c0977d..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil1.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -% -% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 1 -\label{kra:section:teil1}} -\rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{kra:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. - -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{kra:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{kra:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil2.tex b/buch/papers/kra/teil2.tex deleted file mode 100644 index 249f078..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil2.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 2 -\label{kra:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - diff --git a/buch/papers/kra/teil3.tex b/buch/papers/kra/teil3.tex deleted file mode 100644 index 2515c7d..0000000 --- a/buch/papers/kra/teil3.tex +++ /dev/null @@ -1,40 +0,0 @@ -% -% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 -% -% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil -% -\section{Teil 3 -\label{kra:section:teil3}} -\rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{kra:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - |