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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\section{Teil 0\label{kreismembran:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
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+\section{Einleitung\label{kreismembran:section:teil0}}
+\rhead{Membran}
+Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''. 
+Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. 
+Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membran unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
+Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation, sobald sie gekrümmt wird. 
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt, wie zum Beispiel Papier. 
+Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
 
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+Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. 
+Sie besteht herkömmlicherweise aus einem Leder (Fell), welches auf einen offenen Zylinder (Zargen) aufgespannt wird. 
+Das Leder alleine erzeugt nach einem Aufschlag keine hörbaren Schwingungen. 
+Sobald das Fell jedoch über den Zargen gespannt wird, kann das Fell auf verschiedensten Weisen weiter schwingen, was für den Klang der Trommel verantwortlich ist. 
+Wie genau diese Schwingungen untersucht werden können, wird in der folgenden Arbeit diskutiert.
+	
 
+\subsection{Annahmen} \label{kreimembran:annahmen}
+Um die Wellengleichung herzuleiten \cite{kreismembran:wellengleichung_herleitung}, muss ein Modell einer Membran definiert werden. 
+Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
+\begin{enumerate}[i)]
+	\item Die Membran ist homogen. 
+	Dies bedeutet, dass die Membran über die ganze Fläche die selbe Dichte $ \rho $  und Elastizität hat. 
+	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
+	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
+	Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie mit einer Kraft $ T $ gespannt werden.
+	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
+	Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
+	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
+	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Reibungsverluste durch Deformation.
+	
+\end{enumerate}
 
+\subsection{Wellengleichung} Um die Wellengleichung einer Membran herzuleiten, wird vorerst eine schwingende Saite betrachtet.
+Es lohnt sich, das Verhalten einer Saite zu beschreiben, da eine Saite dasselbe Verhalten wie eine Membran aufweist, mit dem Unterschied einer fehlenden Dimension.
+Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man sich einen Querschnitt einer Trommel vor.
+\begin{figure}
+	
+	\begin{center}		
+		% \includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf}
+		\includegraphics[]{papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf}
+		\caption{Infinitesimales Stück einer Saite}
+		\label{kreismembran:im:Saite}
+	\end{center}	
+\end{figure}
+
+In Abbildung \ref{kreismembran:im:Saite} ist ein infinitesimales Stück einer Saite mit Länge $ dx $ skizziert.
+Wie für die Membran ist die Annahme iii) gültig, es entsteht keine Bewegung entlang der $ x $-Achse.
+Um dies zu erfüllen, muss der Punkt $ P_1 $ gleich stark entgegen der $ x $-Achse gezogen werden wie der Punkt $ P_2 $ in Richtung der $ x $-Achse gezogen wird. 
+Ist $ T_1 $ die Kraft, welche mit Winkel $ \alpha $ auf Punkt $ P_1 $ wirkt sowie $ T_2 $ und $ \beta$ das analoge für Punkt $ P_2 $ ist, so können die Kräfte 
+\begin{equation}\label{kreismembran:eq:no_translation}
+	T_1 \cos \alpha = T_2 \cos \beta = T
+\end{equation}
+gleichgesetzt werden. 
+Das dynamische Verhalten der senkrechten Auslenkung $ u(x,t) $ muss das newtonsche Gesetz 
+\begin{equation*}
+	\sum F = m \cdot a
+\end{equation*} 
+befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedrückt, die Masse als Funktion der Dichte $ \rho $ und die Beschleunigung in Form der zweiten Ableitung als
+\begin{equation*}
+	T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} .
+\end{equation*}
+Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \eqref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
+\begin{equation*}
+	\frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+\end{equation*}
+vereinfacht als  
+\begin{equation*}
+	\tan \beta - \tan \alpha = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
+\end{equation*}
+geschrieben werden. 
+Der $ \tan \alpha $ entspricht der örtlichen Ableitung von $ u(x,t) $ an der Stelle $ x_0 $ und analog der $ \tan \beta $ für die Stelle $ x_0 + dx $.
+Die Gleichung wird dadurch zu
+\begin{equation*}
+	\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+\end{equation*} 
+Durch die Division mit $ dx $ entsteht 
+\begin{equation*}
+	\frac{1}{dx} \left[\frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0 + dx} - \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x_0}\right] = \frac{\rho}{T}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}.
+\end{equation*}
+Auf der linken Seite der Gleichung wird die Differenz der Steigungen durch die Intervalllänge geteilt.
+Wenn $ dx $ als unendlich kleines Stück betrachtet wird, ergibt sich als Grenzwert die zweite Ableitung von $ u(x,t) $ nach $ x $. 
+Der Term $ \frac{\rho}{T} $ wird durch $ c^2 $ ersetzt, da der Bruch für eine gegebene Membran eine positive Konstante sein muss. 
+Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form 
+\begin{equation}
+	\label{kreismembran:Ausgang_DGL}
+	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
+\end{equation}
+In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. 
+Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen verwendet werden.
+\ No newline at end of file