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-% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
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 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
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-\section{Teil 2 
-\label{kreismembran:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{kreismembran:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
 
+\section{Die Hankel Transformation \label{kreismembran:section:teil2}}
+\rhead{Die Hankel Transformation}
+
+Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist.
+Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen.
+Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel-Funktionen genannt, der dritten Art.
+Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
+In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
+
+\subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
+Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Trans\-formation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
+\begin{align}
+	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\
+	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform}
+\end{align}
+definiert ist, wobei $\mathbf{r}=(x,y)$ und $\bm{\kappa}=(k,l)$. Polarkoordinaten sind für diese Art von Problem am besten geeignet. Mit $(x,y)=r(\cos\theta,\sin\theta)$ und $(k,l)=\kappa(\cos\phi,\sin\phi)$ findet man $\bm{\kappa}\cdot\mathbf{r}=\kappa r(\cos(\theta-\phi))$ und danach:
+\begin{align}
+	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}r \; dr \int_{0}^{2\pi}e^{-ikr\cos(\theta-\phi)}f(r,\theta) \; d\phi.
+	\label{equation:F_ohne_variable_wechsel}
+\end{align}
+Dann wird angenommen, dass $f(r,\theta)=e^{in\theta}f(r)$, was keine strenge Einschränkung ist, weil die \textit{Fourier-Theorie} besagt, dass sich jede Funktion durch Überlagerung solcher Terme darstellen lässt. Es wird auch eine Änderung der Variabeln vorgenommen $\theta-\phi=\alpha-\frac{\pi}{2}$, um \eqref{equation:F_ohne_variable_wechsel} zu reduzieren:
+\begin{align}
+	F(k,\phi)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}rf(r) \; dr \int_{\phi_{0}}^{2\pi+\phi_{0}}e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})+i(n\alpha-kr\sin\alpha)} \; d\alpha,
+	\label{equation:F_ohne_bessel}
+\end{align}
+wo $\phi_{0}=(\frac{\pi}{2}-\phi)$.
+
+Unter Verwendung der Integraldarstellung
+\begin{equation*}
+	J_n(\kappa r)=\frac{1}{2\pi}\int_{\phi_{0}}^{2\pi + \phi_{0}}e^{i(n\alpha-\kappa r \sin \alpha)} \; d\alpha
+	\label{equation:bessel_n_ordnung}
+\end{equation*}
+ der Bessel-Funktion vom Ordnung $n$ \eqref{buch:fourier:eqn:bessel-integraldarstellung} wird \eqref{equation:F_ohne_bessel} zu:
+\begin{align}
+	F(k,\phi)&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr  \nonumber \\ 
+	&=e^{in(\phi-\frac{\pi}{2})}\tilde{f}_n(\kappa),
+	\label{equation:F_mit_bessel_step_2}
+\end{align}
+wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und ist formell definiert durch:
+\begin{align}
+	\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)=\int_{0}^{\infty}rJ_n(\kappa r) f(r) \; dr.
+	\label{equation:hankel}
+\end{align}
+
+\subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
+Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
+
+Die inverse \textit{Hankel-Transformation} ist also als 
+\begin{align}
+	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
+	\label{equation:inv_hankel}
+\end{align}
+definiert.
+
+Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen.
+
+Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel 
+
+\begin{align*}
+	f(r) = \int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \; d\kappa \int_{0}^{\infty} p J_n(\kappa p)f(p) \; dp,
+	\label{equation:hankel_integral_formula}
+\end{align*}
+verwendet werden, um die Hankel-Transformation \eqref{equation:hankel} und ihre Umkehrung \eqref{equation:inv_hankel} zu definieren.
+
+Insbesondere die Hankel-Transformation der nullten Ordnung ($n=0$) und der ersten Ordnung ($n=1$) sind häufig nützlich, um Lösungen für Probleme mit der Laplace Gleichung in einer achsensymmetrischen zylindrischen Geometrie zu finden.
+
+\subsection{Operatoreigenschaften der Hankel-Transformation \label{sub:op_properties_hankel}}
+In diesem Kapitel werden die operativen Eigenschaften der Hankel-Transformation aufgeführt. Die Beweise für ihre Gültigkeit werden jedoch nicht analysiert, diese sind im Buch \textit{Integral Tansforms and Their Applications} \cite{lokenath_debnath_integral_2015} zu finden.
+
+\begin{satz}{Skalierung:}
+	Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt:
+	
+	\begin{equation*}
+		\mathscr{H}_n\{f(ar)\}=\frac{1}{a^{2}}\tilde{f}_n \left(\frac{\kappa}{a}\right), \quad a>0.
+	\end{equation*}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}{Parsevalsche Relation:}
+Wenn $\tilde{f}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$ und $\tilde{g}(\kappa)=\mathscr{H}_n\{g(r)\}$, dann gilt:
+
+\begin{equation*}
+	\int_{0}^{\infty}rf(r)g(r) \; dr = \int_{0}^{\infty}\kappa\tilde{f}(\kappa)\tilde{g}(\kappa) \; d\kappa.
+\end{equation*}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}{Hankel-Transformationen von Ableitungen:}
+Wenn $\tilde{f}_n(\kappa)=\mathscr{H}_n\{f(r)\}$, dann gilt:
+
+\begin{align*}
+	&\mathscr{H}_n\{f'(r)\}=\frac{\kappa}{2n}\left[(n-1)\tilde{f}_{n+1}(\kappa)-(n+1)\tilde{f}_{n-1}(\kappa)\right], \quad n\geq1, \\
+	&\mathscr{H}_1\{f'(r)\}=-\kappa \tilde{f}_0(\kappa),
+\end{align*}
+vorausgesetzt, dass $rf(r)$ verschwindet wenn $r\to0$ und $r\to\infty$.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+Wenn $\mathscr{H}_n\{f(r)\}=\tilde{f}_n(\kappa)$, dann gilt:
 
+\begin{equation*}
+	\mathscr{H}_n \left\{ \left( \nabla^2 - \frac{n^2}{r^2} f(r)\right)\right\}= \mathscr{H}_n\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{df}{dr}\right) - \frac{n^2}{r^2}f(r)\right\}=-\kappa^2\tilde{f}_{n}(\kappa),
+\end{equation*}
+bereitgestellt, dass $rf'(r)$ und $rf(r)$ verschwinden für $r\to0$ und $r\to\infty$.
+\end{satz}