9 files changed, 122 insertions, 49 deletions
diff --git a/buch/papers/kreismembran/Makefile b/buch/papers/kreismembran/Makefile
index ce3c89f..a13f2cf 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/Makefile
+++ b/buch/papers/kreismembran/Makefile
@@ -4,6 +4,6 @@
 # (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
 #
 
-images:
-	@echo "no images to be created in kreismembran"
+images/TikzSaite.pdf: images/TikzSaite.tex
+	cd images && pdflatex TikzSaite.tex
 
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f95ceb9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf
diff --git a/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex
new file mode 100644
index 0000000..bf3d8f6
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/kreismembran/images/TikzSaite.tex
@@ -0,0 +1,57 @@
+% vim: ts=2 sw=2 et :
+\documentclass[tikz, border=2mm]{standalone}
+
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+
+\begin{document}
+  \begin{tikzpicture}[
+      axis/.style = {very thick, -latex},
+      axis tick/.style = {
+        draw, draw = black, fill = black, rectangle,
+        inner sep = 0pt,
+        minimum height = 2mm,
+        minimum width = 1pt,
+      },
+      string/.style = {
+        ultra thick, draw = black,
+      },
+      string end/.style = {
+        string, circle, fill = gray,
+        inner sep = 0pt, minimum size = 1mm,
+      },
+      force/.style = {
+        very thick, draw = gray, -latex,
+      },
+    ]
+
+    % axes
+    \draw[axis] (0, 0) -- (8cm, 0) node[right] {$x$};
+    \draw[axis] (0, 0) -- (0, 5cm) node[above] {$u(x, t)$};
+
+    % axes ticks
+    \node[axis tick, label = {-90:$x_0$}] at (2cm, 0) {};
+    \node[axis tick, label = {-90:$x_0 + dx$}] at (6cm, 0) {};
+
+    % string
+    \coordinate (A) at (2cm, 2cm);
+    \coordinate (B) at (6cm, 4cm);
+
+    \draw[string] (A) to[out = 40, in = 200] (B);
+
+    \draw[force] (A) -- ++(220:15mm) node[gray, below right] {$T_1$};
+    \draw[force] (B) -- ++(20:15mm) node[gray, above left] {$T_2$};
+
+    \draw[dashed, gray, thick] (A) -- ++(-15mm, 0);
+    \draw[gray, thick] (A) ++ (-7mm,0) arc (180:220:7mm)
+      node[midway, left] {$\alpha$};
+
+    \draw[dashed, gray, thick] (B) -- ++(15mm, 0);
+    \draw[gray, thick] (B) ++ (7mm,0) arc (0:20:7mm)
+      node[pos = 0, below] {$\beta$};
+
+    \node[string end, label={110:$P_1$}] at (A) {};
+    \node[string end, label={110:$P_2$}] at (B) {};
+
+  \end{tikzpicture}
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/kreismembran/references.bib b/buch/papers/kreismembran/references.bib
index 3d9d0c1..65173f8 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/references.bib
+++ b/buch/papers/kreismembran/references.bib
@@ -89,4 +89,10 @@
 	type = {Dissertation},
 	author = {{Eric John Ruggiero Doctor of Philosophy In Mechanical Engineering}},
 	date = {2005},
+}
+
+@online{noauthor_laplace_nodate,
+	title = {Laplace Transform of Bessel Function of the First Kind of Order Zero - {ProofWiki}},
+	url = {https://proofwiki.org/wiki/Laplace_Transform_of_Bessel_Function_of_the_First_Kind_of_Order_Zero},
+	urldate = {2022-08-15},
 }
 \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
index c6dac06..e962aab 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil0.tex
@@ -7,9 +7,9 @@
 \rhead{Membran}
 Eine Membran oder selten ein Schwingblatt ist laut Duden \cite{kreismembran:Duden:Membran} ein ``dünnes Blättchen aus Metall, Papier o. Ä., das durch seine Schwingungsfähigkeit geeignet ist, Schallwellen zu übertragen \dots''. 
 Ein dünnes Blättchen aus Metall zeig jedoch nicht die selben dynamischen Eigenschaften wie ein gespanntes Stück Papier. 
-Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membrane unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
-Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation sobald sie gekrümmt wird. 
-Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt wie zum Beispiel Papier. 
+Beschreibt man das dynamische Verhalten, muss zwischen einer dünnen Platte und einer Membran unterschieden werden \cite{kreismembran:membrane_vs_thin_plate}. 
+Eine dünne Platte zum Beispiel aus Metall, wirkt selbst entgegen ihrer Deformation, sobald sie gekrümmt wird. 
+Eine Membran auf der anderen Seite besteht aus einem Material, welches sich ohne Kraftaufwand verbiegen lässt, wie zum Beispiel Papier. 
 Bevor Papier als schwingende Membran betrachtet werden kann, wird jedoch noch eine Spannung $ T $ benötigt, welche das Material daran hindert, aus der Ruhelage gebracht zu werden. 
 
 Ein geläufiges Beispiel einer Kreismembran ist eine runde Trommel. 
@@ -28,11 +28,11 @@ Das untersuchte Modell erfüllt folgende Eigenschaften:
 	Durch die konstante Elastizität ist die ganze Membran unter gleichmässiger Spannung $ T $.
 	\item Die Membran ist perfekt flexibel. 
 	Damit ist gemeint, dass die Membran ohne Kraftaufwand verbogen werden kann. 
-	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie gespannt werden mit einer Kraft $ T $.
+	Die Membran ist dadurch nicht allein stehend schwingfähig, hierzu muss sie mit einer Kraft $ T $ gespannt werden.
 	\item Die Membran kann sich nur in Richtung ihrer Normalen in kleinem Ausmass auslenken.
 	Auslenkungen in der Ebene der Membran sind nicht möglich.
 	\item Die Membran erfährt keine Art von Dämpfung. 
-	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Wärmeverluste durch Deformation.
+	Die Membran wird also nicht durch ihr umliegendes Medium abgebremst noch erfährt sie Reibungsverluste durch Deformation.
 	
 \end{enumerate}
 
@@ -42,7 +42,8 @@ Die Verbindung zwischen Membran und Saite ist intuitiv ersichtlich, stellt man s
 \begin{figure}
 	
 	\begin{center}		
-		\includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf}
+		% \includegraphics[width=5cm,angle=-90]{papers/kreismembran/images/Saite.pdf}
+		\includegraphics[]{papers/kreismembran/images/TikzSaite.pdf}
 		\caption{Infinitesimales Stück einer Saite}
 		\label{kreismembran:im:Saite}
 	\end{center}	
@@ -64,7 +65,7 @@ befolgen. Die senkrecht wirkenden Kräfte werden mit $ T_1 $ und $ T_2 $ ausgedr
 \begin{equation*}
 	T_2 \sin \beta - T_1 \sin \alpha = \rho dx \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} .
 \end{equation*}
-Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \ref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
+Die Gleichung wird durch $ T $ dividiert, wobei $ T $ nach \eqref{kreismembran:eq:no_translation} geschickt gewählt wird. Somit kann
 \begin{equation*}
 	\frac{T_2 \sin \beta}{T_2 \cos \beta} - \frac{T_1 \sin \alpha}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\rho dx}{T} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}
 \end{equation*}
@@ -91,4 +92,4 @@ Damit resultiert die in der Literatur gebräuchliche Form
 	\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} = \Delta u.
 \end{equation}
 In dieser Form ist die Gleichung auch gültig für eine Membran. 
-Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen gerechnet werden.
-\ No newline at end of file
+Für den Fall einer Membran muss lediglich der Laplace-Operator $\Delta$ in zwei Dimensionen verwendet werden.
+\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
index f6ba7d1..a9b2fad 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil1.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
 \section{Lösungsmethode 1: Separationsmethode 
 	\label{kreismembran:section:teil1}}
 \rhead{Lösungsmethode 1: Separationsmethode}
-An diesem Punkt bleibt also nur noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
+An diesem Punkt bleibt also ``nur'' noch die Lösung der partiellen Differentialgleichung. In diesem Abschnitt wird sie mit Hilfe der Separationsmethode gelöst.
 
 \subsection{Aufgabestellung\label{sub:aufgabestellung}}
 Wie im vorherigen Abschnitt gezeigt, lautet die partielle Differentialgleichung, die die Schwingungen einer Membran beschreibt:
@@ -30,7 +30,7 @@ Da es sich um eine Kreisscheibe handelt, werden Polarkoordinaten verwendet, so d
 ergibt.
 
 Es wird eine runde elastische Membran berücksichtigt, die das Gebiet $\Omega$ abdeckt und am Rand $\Gamma$ befestigt ist.
-Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von \ref{kreimembran:annahmen}.
+Es wirken keine äusseren Kräfte. Es handelt sich somit von einer kreisförmligen eingespannten homogenen schwingenden Membran nach den Annahmen von Abschnitt \ref{kreimembran:annahmen}.
 
 Daher ist die Membranabweichung im Punkt $(r,\varphi)$ $\in$ $\overline{\rm \Omega}$ zum Zeitpunkt $t$:
 \begin{align*}
@@ -50,9 +50,9 @@ Nun wird das in Abschnitt \ref{sub:aufgabestellung} vorgestellte Problem mit Hil
 \subsubsection{Ansatz der Separation der Variablen\label{subsub:ansatz_separation}}
 Hierfür wird folgenden Ansatz gemacht:
 \begin{equation*}
-	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t)
+	u(r,\varphi, t) = F(r)G(\varphi)T(t).
 \end{equation*}
-Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$ periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich:
+Dank der Randbedingungen kann gefordert werden, dass $F(R)=0$ ist, und natürlich, dass $G(\varphi)$ $2\pi$-periodisch ist. Eingesetzt in der Differenzialgleichung ergibt sich nach Division durch $u$:
 \begin{equation*}
 	\frac{1}{c^2}\frac{T''(t)}{T(t)}=-\kappa^2=\frac{F''(r)}{F(r)}+\frac{1}{r}\frac{F'(r)}{F(r)}+\frac{1}{r^2}\frac{G''(\varphi)}{G(\varphi)}.
 \end{equation*}
@@ -71,9 +71,9 @@ In der zweiten Gleichung hängt die linke Seite nur von $r$ ab, während die rec
 \end{align*}
 
 \subsubsection{Lösung für $G(\varphi)$\label{subsub:lösung_G}}
-Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-\omega^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-\omega^2$, was die Formeln später vereinfacht. Also:
+Da für die zweite Gleichung Lösungen von Schwingungen erwartet werden, für die $G''(\varphi)=-n^2 G(\varphi)$ gilt, schreibt man die gemeinsame Konstante als $\nu=-n^2$, was die Formeln später vereinfacht. $n$ muss auch eine ganze Zahl sein, weil  $G(\varphi)$ sonst nicht $2\pi$-periodisch ist. Also:
 \begin{equation*}
- G(\varphi) = C_n \cos(\nu\varphi) + D_n \sin(\nu\varphi)
+ G(\varphi) = C_n \cos(n\varphi) + D_n \sin(n\varphi)
  \label{eq:cos_sin_überlagerung}
 \end{equation*}
 
@@ -85,17 +85,20 @@ Die Gleichung für $F$ hat die Gestalt (Verweis auf \label{buch:differentialglei
 \end{align}
 Wie bereits in Kapitel \ref{buch:differntialgleichungen:section:bessel} gezeigt, sind die Bessel-Funktionen
 \begin{equation*}
-	J_{\nu}(x) = r^\nu \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+\nu}m! \Gamma (\nu + m+1)}
+	J_{n}(x) = r^n \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{2^{2m+n}m! \Gamma (n + m+1)}
 \end{equation*}
 Lösungen der Besselschen Differenzialgleichung
 \begin{equation*}
-	x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - \nu^2)y = 0
+	x^2 y'' + xy' + (\kappa^2 - n^2)y = 0
 \end{equation*}
 Die Funktionen $F(r) = J_n(\kappa r)$ lösen die Differentialgleichung \eqref{eq:2nd_degree_PDE}.
 
 \subsubsection{Lösung für $T(t)$\label{subsub:lösung_T}}
-Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. 
-
+Die Differenzialgleichung $T''(t) + c^2\kappa^2T(t) = 0$, wird auf ähnliche Weise gelöst wie $G(\varphi)$. Um eine Einschränkung der möglichen Frequenzen zu erhalten und die Lösung als Reihe schreiben zu können, muss die folgende homogene Randbedingung definiert werden: 
+\begin{equation*}
+	u\big|_{\Gamma} = 0 \quad \text{für} \quad 0 \leq \varphi \leq 2\pi,\quad t \geq 0,
+\end{equation*}
+welche die $\kappa$ auf mögliche werte $\kappa_{mn}$ einschränkt.
 \subsubsection{Zusammenfassung der Lösungen\label{subsub:zusammenfassung_lösungen}}
 Durch Überlagerung aller Ergebnisse erhält man die Lösung
 \begin{align}
@@ -120,5 +123,7 @@ für die Anzahl der Knotenlinien steht. Es gibt bestimmte Bereiche auf der Membr
 		\label{buch:pde:kreis:fig:pauke}}
 \end{figure}
 
-
+\begin{center}
+	* \quad *\quad *
+\end{center}
 An diesem Punkt stellte sich die Frage, ob es möglich wäre, die partielle Differentialgleichung mit einer anderen Methode als der der Trennung der Variablen zu lösen. Nach einer kurzen Recherche wurde festgestellt, dass eine weitere Methode die Transformationsmethode ist, genauer gesagt die Anwendung der Hankel-Transformation. Im nächsten Kapitel wird daher diese Integraltransformation vorgestellt und entwickelt, und es wird erläutert, warum sie für diese Art von Problem geeignet ist.
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
index ec27bd3..4ceeb84 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil2.tex
@@ -7,12 +7,12 @@
 
 Hermann Hankel (1839--1873) war ein deutscher Mathematiker, der für seinen Beitrag zur mathematischen Analysis und insbesondere für die nach ihm benannte Transformation bekannt ist.
 Diese Transformation tritt bei der Untersuchung von Funktionen auf, die nur von der Entfernung des Ursprungs abhängen.
-Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel- Funktionen genannt, der dritten Art.
+Er untersuchte auch Funktionen, jetzt Hankel- oder Bessel-Funktionen genannt, der dritten Art.
 Die Hankel-Transformation, die die Bessel-Funktion enthält, taucht natürlich bei achsensymmetrischen Problemen auf, die in zylindrischen Polarkoordinaten formuliert sind.
 In diesem Abschnitt werden die Theorie der Transformation und einige Eigenschaften der Grundoperationen erläutert.
 
 \subsubsection{Definition der Hankel-Transformation \label{subsub:hankel_tansformation}}
-Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Transformation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
+Wir führen die Definition der Hankel-Transformation \cite{lokenath_debnath_integral_2015} aus der zweidimensionalen Fourier-Trans\-formation und ihrer Umkehrung ein, die durch:
 \begin{align}
 	\mathscr{F}\{f(x,y)\} & = F(k,l)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}f(x,y) \; dx \; dy,\label{equation:fourier_transform}\\
 	\mathscr{F}^{-1}\{F(x,y)\} & = f(x,y)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{i(\bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}F(k,l) \; dx \; dy \label{equation:inv_fourier_transform}
@@ -49,13 +49,13 @@ wo $\tilde{f}_n(\kappa)$ ist die \textit{Hankel-Transformation} von $f(r)$ und i
 \subsubsection{Inverse Hankel-Transformation \label{subsub:inverse_hankel_tansformation}}
 Wie bei der Entwicklung der Hankel-Transformation können auch für die Umkehrformel Analogien zur Fourier-Transformation hergestellt werden. Vergleicht man die beiden Transformationen, so stellt man fest, dass sie sehr ähnlich sind, wenn man den Term $J_n(\kappa r)$ der Hankel-Transformation durch $e^{-i( \bm{\kappa}\cdot \mathbf{r})}$ der Fourier-Transformation ersetzt. Diese beide Funktionen sind orthogonal, und bei orthogonalen Matrizen genügt bekanntlich die Transponierung, um sie zu invertieren. Da das Skalarprodukt der Bessel-Funktionen jedoch nicht dasselbe ist wie das der Exponentialfunktionen, muss man durch $\kappa\; d\kappa$ statt nur durch $d\kappa$ integrieren, um die Umkehrfunktion zu erhalten.
 
-Von \eqref{equation:hankel} also ist, die inverse \textit{Hankel-Transformation} so definiert:
+Die inverse \textit{Hankel-Transformation} ist also als 
 \begin{align}
 	\mathscr{H}^{-1}_n\{\tilde{f}_n(\kappa)\}=f(r)=\int_{0}^{\infty}\kappa J_n(\kappa r) \tilde{f}_n(\kappa) \; d\kappa.
 	\label{equation:inv_hankel}
 \end{align}
+definiert.
 
-Anstelle von $\tilde{f}_n(\kappa)$, wird häufig einfach $\tilde{f}(\kappa)$ für die Hankel-Transformation verwendet, indem die Ordnung angegeben wird.
 Die Integrale \eqref{equation:hankel} und \eqref{equation:inv_hankel} existieren für bestimmte grosse Klassen von Funktionen, die normalerweise in physikalischen Anwendungen vorkommen.
 
 Alternativ dazu kann die berühmte Hankel-Integralformel 
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
index a9dcd95..d143ec7 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil3.tex
@@ -60,19 +60,23 @@ so dass $\tilde{g}(\kappa)\equiv 0$ und
 	\tilde{f}(\kappa)=Aa\int_{0}^{\infty}r(a^2 + r^2)^{-\frac{1}{2}} J_0 (\kappa r) \; dr=\frac{Aa}{\kappa}e^{-a\kappa}.
 \end{equation*}
 
-Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft ergibt sich, dass
+\noindent Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
+\begin{align}
+	u(r,t)=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk.
+	\label{form_lösung2_step1}
+\end{align}
 
+\noindent Aus der Laplace-Transformation und unter Verwendung der Skalierungseigenschaft \cite{noauthor_laplace_nodate} ergibt sich, dass
 \begin{align*}
-	\int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}}.
+	\int_{0}^{\infty}e^{-px} J_0(\kappa x) \; dx = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2 + p^2}},
 \end{align*}	
 
-Die formale Lösung  \eqref{eq:formale_lösung} lautet also
-\begin{align*}
-	u(r,t)&=Aa\int_{0}^{\infty}e^{-a\kappa} J_0(\kappa r)\cos(c\kappa t) \; dk=AaRe\int_{0}^{\infty}e^{-\kappa(a+ict)} J_0(\kappa r) \; dk\\
-	&=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
-\end{align*}
+\noindent \eqref{form_lösung2_step1} kann somit vereinfacht werden in:
+\begin{equation*}
+	u(r,t)=AaRe\left\{r^2+\left(a+ict\right)^2\right\}^{-\frac{1}{2}}.
+\end{equation*}
 
-Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 
+\noindent Nimmt man jedoch die allgemeine Lösung durch Überlagerung, 
 
 \begin{align}
 	u(r, t) = \displaystyle\sum_{m=1}^{\infty} J_0 (k_{m}r)[a_{m}\cos(c \kappa_{m} t)+b_{m}\sin(c \kappa_{m} t)]
@@ -84,6 +88,6 @@ kann man die Lösungsmethoden 1 und 2 vergleichen.
 \label{kreismembran:vergleich}}
 Bei der Analyse der Gleichungen \eqref{eq:lösung_endliche_generelle} und \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} fällt sofort auf, dass die Gleichung \eqref{eq:lösung_unendliche_generelle} nicht mehr von $m$ und $n$ abhängt, sondern nur noch von $n$ \cite{nishanth_p_vibrations_2018}. 
 Das macht Sinn, denn $n$ beschreibt die Anzahl der Knotenlinien, welche unter der Annahme einer rotationssymmetrischen Lösung nicht vorhanden sein können. Tatsächlich werden $a_{m0}$, $b_{m0}$ und $\kappa_{m0}$ in $a_m$, $b_m$ bzw. $\kappa_m$ umbenannt. Die beiden Termen $\cos(n\varphi)$ und $\sin(n\varphi)$ verschwinden ebenfalls, da für $n=0$ der $\cos(n\varphi)$ gleich 1 und der $\sin(n \varphi)$ gleich 0 ist.
-Die Funktion hängt also nicht mehr von der Besselfunktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung. 
+Die Funktion hängt also nicht mehr von der Bessel-Funktionen $n$-ter Ordnung ab, sondern nur von der nullter Ordnung. 
 
 
diff --git a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
index 01a6029..d6aa54f 100644
--- a/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
+++ b/buch/papers/kreismembran/teil4.tex
@@ -8,13 +8,13 @@
 
 Um numerisch das Verhalten einer Membran zu ermitteln, muss eine numerische Darstellung definiert werden.
 Die Membran wird hier in Form der Matrix $  U $ digitalisiert.
-Jedes Element  $ U_{ij} $ steh für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
-Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ entspricht somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
-Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ der Anzahl Zeitschritten entspricht.
-Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ entspricht somit der Auslenkung $ u(i,j,w) $.
+Jedes Element  $ U_{ij} $ steht für die Auslenkung der Membran $ u(x,y,t) $ an der Stelle $ \{x,y\}=\{i,j\} $.
+Zwischen benachbarten Elementen in der Matrix $ U $ liegt immer der Abstand $ dh $, eine Inkrementierung von $ i $ oder $ j $ ist somit einem Schritt in Richtung $ x $ oder $ y $ von Länge $ dh $ auf der Membran.
+Die zeitliche Dimension wird in Form des Array $  U[] $ aus $ z \times U $ Matrizen dargestellt, wobei $ z $ die Anzahl von Zeitschritten ist.
+Das Element auf Zeile $ i $, Spalte $ j $ der $ w $-ten Matrix von $ U[] $ also $ U[w]_{ij} $ ist somit die Auslenkung $ u(i,j,w) $.
 Da die DGL von zweiter Ordnung ist, reicht eine Zustandsvariabel pro Membran-Element nicht aus. 
 Es wird neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit jedes Membran-Elementes benötigt um den Zustand eindeutig zu beschreiben. 
-Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elementen repräsentiert. 
+Dazu existiert neben $ U[] $ ein analoger Array $ V[] $ welcher die Geschwindigkeiten aller Membran-Elemente repräsentiert. 
 $ V[w]_{ij} $ entspricht also $ \dot{u}(i,j,w) $. 
 Der Zustand einer Membran zum Zeitpunkt $ w $ wird mit $ X[w] $ beschrieben, was $ U[w] $ und $ V[w] $ beinhaltet.
 
@@ -25,7 +25,7 @@ Die Folgeposition $ U[w+1] $ ergibt sich als
 \begin{equation}
 	U[w+1] =  U[w] + dt \cdot V[w],
 \end{equation} 
-also die Ausgangslage $ + $ die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
+also die Ausgangslage plus die Strecke welche während des Zeitintervall mit der Geschwindigkeit des Elementes zurückgelegt wurde. 
 Neben der Position muss auch die Geschwindigkeit aktualisiert werden.
 Analog zur Folgeposition wird
 \begin{equation*}
@@ -40,7 +40,7 @@ Die Geschwindigkeit des Folgezustandes kann somit mit
 	V[w+1] = V[w] + dt \cdot \Delta_h U \cdot c^2
 \end{equation}
 berechnet werden.
-Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist.
+Während $ c^2 $ lediglich eine Material spezifische Konstante ist, muss noch erläutert werden, wie der diskrete Laplace-Operator für $ \Delta_h u $ definiert ist. Dieses Verfahren wird Euler-Methode genannt.
 
 \subsection{Diskreter Laplace-Operator $\Delta_h$}
 Die diskrete Ableitung zweiter Ordnung kann mit Hilfe der Taylor-Reihen-Entwicklung als
@@ -93,9 +93,9 @@ Der Folgezustand kann also mit den Gleichungen
 	\label{kreismembran:eq:folge_V}
 	V[w+1] &= (V[w] + dt \cdot \Delta_h u \cdot c^2)\odot M
 \end{align}
-berechnet werden.
+berechnet werden. Das Symbol $\odot$ steht hier für eine elementweise Matrixmultiplikation (Hadamard-Produkt)
 \subsubsection{Simulation}
-Mit den gegebenen Gleichungen \ref{kreismembran:eq:folge_U} und \ref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
+Mit den gegebenen Gleichungen \eqref{kreismembran:eq:folge_U} und \eqref{kreismembran:eq:folge_V} das Verhalten der Membran mit einem Loop über das zu untersuchende Zeitintervall berechnet werden. 
 In der Abbildung \ref{kreismembran:im:simres_rund} sind Simulationsresultate zu sehen.
 Die erste Figur zeigt die Ausgangslage gefolgt von den Auslenkungen nach jeweils $ 50 $ weiteren Iterationsschritten.
 Es ist zu erkennen, wie sich die Störung vom Zentrum an den Rand ausbreitet.
@@ -120,7 +120,7 @@ Erreicht die Störung den Rand, wird sie reflektiert und nähert sich dem Zentru
 Um eine unendlich grosse Membran zu simulieren, könnte der unpraktische Weg gewählt werden, die Matrix unendlich gross zu definieren, dies wird jedoch spätestens bei der numerischen Berechnung seine Probleme mit sich bringen.
 Etwas geeigneter ist es, die Matrix so gross wie möglich zu definieren, wie es die Kapazitäten erlauben.
 Wenn anschliessend nur das Verhalten im Zentrum, bei der Störung beobachtet wird, verhaltet sich die Membran wie eine unendliche. 
-Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das innere zu beobachtende Zentrum beeinflusst.
+Dies aber nur bis die Störung am Rand reflektiert wird und wieder das Zentrum beeinflusst.
 Soll erst gar keine Reflexion entstehen, muss ein Absorber modelliert werden welcher die Störung möglichst ohne Reflexion aufnimmt.
 
 \subsubsection{Absorber}
@@ -132,15 +132,15 @@ Der Spielraum welcher dem Absorber übrig bleibt ist die Art der Überganges.
 Bei der endlichen kreisförmigen Membran hat die Maske $M$ einen binären Übergang von Membran zu Rand bezweckt.
 Anstelle dieses abrupten Wechsels wird nun eine Maske definiert, welche graduell von Membran $1$ zu Rand-Element $0$ wechselt.
 Die Elemente werden auf Basis ihres Abstand $r$ zum Zentrum definiert. 
-Der Abstand entspricht 
+Der Abstand ist 
 \begin{equation*}
 	r(i,j) = \sqrt{|i-\frac{m}{2}|^2+|j-\frac{n}{2}|^2},
 \end{equation*} 
-wobei $ m $ und $n$ den Dimensionen der Matrix entsprechen.
-Für einen Stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
+wobei $ m $ und $n$ die Dimensionen der Matrix sind.
+Für einen stufenlosen Übergang werden die Elemente der Maske auf 
 
 \begin{align}
-	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{wenn $x > b$} \\
+	M_{ij} = \begin{cases} 1-e^{(r(i,j)-b)a} & \text{$x > b$} \\
 		0 & \text{sonst} \end{cases}
 \end{align}
 gesetzt.
@@ -184,7 +184,7 @@ Die DGL \ref{kreismembran:Ausgang_DGL} welche simuliert wird geht jedoch von der
 \section{Schlusswort}
 Auch wenn ein physikalisches Verhalten bereits durch Annahmen und Annäherungen deutlich vereinfacht wird, bestehen auch dann noch eine Vielzahl von Lösungsansätzen.
 Lösungen einer unendlich grosse Membran scheinen fern der Realität zu sein, doch dies darf es im Sinne der Mathematik.
-Und wer weis, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung. 
+Und wer weiss, für eine Ameise auf einem Trampolin ist eine unendliche Membran vielleicht eine ganz gute Annäherung.