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@@ -3,35 +3,31 @@
 %
 % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
 %
-\section{Eigenschaften
-  \label{laguerre:section:eigenschaften}}
-{
-\large \color{red}
-TODO:
-Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur
-benötigt wird.
-}
-
-Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften
-\rhead{Eigenschaften}
-
-\subsection{Orthogonalität
-  \label{laguerre:subsection:orthogonal}}
-Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet,
-dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind.
+\section{Orthogonalität
+  \label{laguerre:section:orthogonal}}
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} 
+haben wir die Behauptung aufgestellt,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
 Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
-Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein
-Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
-bei
-den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
+Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
 Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
-Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form
+Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
 \begin{align}
 S
 =
 \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
 \label{laguerre:slop}
 \end{align}
+und den Laguerre-Operator
+\begin{align}
+\Lambda
+=
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\end{align}
+erhalten werden,
+indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
 Aus der Beziehung
 \begin{align}
 S
@@ -49,24 +45,27 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
 \begin{align*}
 x \frac{dp}{dx}
 =
--(\nu + 1 - x) p,
+-(\nu + 1 - x) p
 \end{align*}
 erfüllen muss.
 Durch Separation erhalten wir dann
 \begin{align*}
 \int \frac{dp}{p}
  & =
--\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx
+-\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+=
+-\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
 \\
 \log p
  & =
--\log \nu + 1 - x + C
+-(\nu + 1)\log x - x + c
 \\
 p(x)
  & =
 -C x^{\nu + 1} e^{-x}
+.
 \end{align*}
-Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir
+Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
 \begin{align*}
 \frac{C}{w(x)}
 \left(
@@ -106,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb})
 0
 \end{align*}
 für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
-Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal
-bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion 
-$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind.
-
-
-\subsection{Rodrigues-Formel}
-
-\subsection{Drei-Terme Rekursion}
-
-\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion}
-
+Damit können wir schlussfolgern: 
+Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal
+bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$
+mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$.
+Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$
+mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$.