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diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index b0cc3a3..b007c2d 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,36 +3,83 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -\section{Eigenschaften - \label{laguerre:section:eigenschaften}} -{ -\large \color{red} -TODO: -Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur -benötigt wird. -} - -Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften -\rhead{Eigenschaften} - -\subsection{Orthogonalität - \label{laguerre:subsection:orthogonal}} -Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, -dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +\subsection{Orthogonalität% +\label{laguerre:subsection:orthogonal}} +\rhead{Orthogonalität}% +Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz} +haben wir die Behauptung aufgestellt, +dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. -Wenn wir die Laguerre\--Differentialgleichung in ein -Sturm\--Liouville\--Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich -bei -den Laguerre\--Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe -Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). -Der Sturm-Liouville-Operator hat die Form +% +Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen, +bieten sich folgende Möglichkeiten an: +\begin{enumerate} +\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes +mit einem selbstadjungierten Operator. +Dafür muss aber zuerst bewiesen werden, +dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist. +Die Theorie dazu findet sich in den +Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und +\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}. +\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der +Sturm-Liouville-Differentialgleichung, +denn für dieses verallgemeinerte Problem +ist die Orthogonalität bereits bewiesen. +Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}. +\end{enumerate} + +% \subsubsection{Plan} +\subsubsection{Idee} +Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten +wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden. +% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl} +% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen. +Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung +in die richtige Form bringen, +sondern den Laguerre-Operator +\begin{align} +\Lambda += +x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +\label{laguerre:lagop} +. +\end{align} +Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt, +kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator \begin{align} S = \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). \label{laguerre:slop} \end{align} -Aus der Beziehung +bewiesen werden. +Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen. + +% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein +% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich +% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe +% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}). +% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator +% \begin{align} +% S +% = +% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right). +% \label{laguerre:slop} +% \end{align} +% und den Laguerre-Operator +% \begin{align} +% \Lambda +% = +% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} +% \end{align} +% erhalten werden, +% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. + +\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator} +% Aus der Beziehung von +Setzen wir nun +\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop} +einander gleich \begin{align} S & = @@ -43,45 +90,52 @@ S & = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx} \label{laguerre:sl-lag} +, \end{align} lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$. Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung \begin{align*} x \frac{dp}{dx} = --(\nu + 1 - x) p, +(\nu + 1 - x) p \end{align*} erfüllen muss. Durch Separation erhalten wir dann \begin{align*} \int \frac{dp}{p} & = --\int \frac{\nu + 1 - x}{x}dx +\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx += +\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx \\ \log p & = --\log \nu + 1 - x + C +(\nu + 1)\log x - x + c \\ p(x) & = --C x^{\nu + 1} e^{-x} +C x^{\nu + 1} e^{-x} +. \end{align*} -Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} erhalten wir +Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} \frac{C}{w(x)} \left( -x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} + +-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} - (\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx} \right) = x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}. \end{align*} -Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, dass $w(x) = x^\nu -e^{-x}$ und $C=1$ mit $\nu > -1$. -Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an, -deshalb ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur geeignet für den -Definitionsbereich $(0, \infty)$. -Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen, +Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden, +dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$. +Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an. +Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$, +daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den +Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet. + +\subsubsection{Randbedingungen} +Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen \begin{align} k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0) & = @@ -94,10 +148,12 @@ k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty) \label{laguerre:sllag_randb} \end{align} mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind. -Am linken Rand (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randa}) kann $y(0) = 1$, $k_0 = -0$ und $h_0 = 1$ verwendet werden, +% +Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und +$h_0 = 1$ verwendet werden, was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben. -Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) + +Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb} \begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x) & = @@ -106,14 +162,27 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern, dass die Laguerre-Polynome orthogonal -bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ mit der Laguerre\--Gewichtsfunktion -$w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. - - -\subsection{Rodrigues-Formel} - -\subsection{Drei-Terme Rekursion} -\subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} +% Somit können wir schlussfolgern: +\begin{satz} +Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$) +\eqref{laguerre:polynom} +% \begin{align*} +% L_n(x) +% = +% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k +% \end{align*} +sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes +im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$. +\end{satz} +\begin{satz} +Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom} +% \begin{align*} +% L_n^\nu(x) +% = +% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k. +% \end{align*} +sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes +im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$. +\end{satz} |