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diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex new file mode 100644 index 0000000..e3838b0 --- /dev/null +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +% +% gamma.tex +% +% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule +% +\section{Anwendung: Berechnung der Gamma-Funktion + \label{laguerre:section:quad-gamma}} +Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden, +um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu +berechnen. +Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden +Abschnitten sehen werden. + +\subsection{Gamma-Funktion} +Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe +Zahlenmenge. +Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als +Integral der Form +\begin{align} +\Gamma(z) + & = +\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt +, +\quad +\text{wobei Realteil von $z$ grösser als $0$} +, +\label{laguerre:gamma} +\end{align} +welches alle Eigenschaften erfüllt, um mit der Gauss-Laguerre-Quadratur +berechnet zu werden. + +\subsubsection{Funktionalgleichung} +Die Funktionalgleichung besagt +\begin{align} +z \Gamma(z) = \Gamma(z+1). +\label{laguerre:gamma_funktional} +\end{align} +Mittels dieser Gleichung kann der Wert an einer bestimmten, +geeigneten Stelle evaluiert werden und dann zurückverschoben werden, +um das gewünschte Resultat zu erhalten. + +\subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur} + +Fehlerterm: +\begin{align*} +R_n += +(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1} +\end{align*} + +\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle} +Nun stellt sich die Frage, +ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann, +wenn man das Problem an einer geeigneten Stelle evaluiert und +dann zurückverschiebt mit der Funktionalgleichung. +Dazu wollen wir den Fehlerterm in +Gleichung~\eqref{laguerre:lagurre:lag_error} anpassen und dann minimieren. +Zunächst wollen wir dies nur für $z\in \mathbb{R}$ und $0<z<1$ definieren. +Zudem nehmen wir an, dass die optimale Stelle $x^* \in \mathbb{R}$, $z < x^*$ +ist. +Dann fügen wir einen Verschiebungsterm um $m$ Stellen ein, daraus folgt +\begin{align*} +R_n += +\frac{(z - 2n)_{2n}}{(z - m)_m} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1} +. +\end{align*} + +{ +\large \color{red} +TODO: +Geeignete Minimierung für Fehler finden, so dass sie mit den emprisich +bestimmen optimalen Punkten übereinstimmen. +} + +\subsection{Resultate} |