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diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex index 42cd6f6..4729a93 100644 --- a/buch/papers/laguerre/definition.tex +++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex @@ -15,16 +15,16 @@ x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x) n \in \mathbb{N}_0 , \quad x \in \mathbb{R} -. \label{laguerre:dgl} +. \end{align} Spannenderweise wurde die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben, -aber auf Grund ihrer Ähnlichkeit wurde sie nach Laguerre benannt. +aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt. Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$. Hier wird die verallgemeinerte Laguerre-Differentialgleichung verwendet, -weil die Lösung mit der selben Methode berechnet werden kann, -aber man zusätzlich die Lösung für den allgmeinen Fall erhält. +weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann. +Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall. Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir einen Potenzreihenansatz. Da wir bereits wissen, dass die Lösung orthogonale Polynome sind, @@ -47,7 +47,7 @@ y''(x) = \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1} \end{align*} -in die Differentialgleichung ein, erhält man: +in die Differentialgleichung ein, erhält man \begin{align*} \sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k + @@ -138,8 +138,10 @@ Differentialgleichung mit der Form \Xi_n(x) = L_n(x) \ln(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k +. \end{align*} -Nach einigen mühsamen Rechnungen, +Nach einigen aufwändigen Rechnungen, +% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt, die den Rahmen dieses Kapitel sprengen würden, erhalten wir \begin{align*} diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex index 9b901ae..4adbe86 100644 --- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex @@ -3,24 +3,11 @@ % % (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule % -% \section{Eigenschaften -% \label{laguerre:section:eigenschaften}} -% { -% \large \color{red} -% TODO: -% Evtl. nur Orthogonalität hier behandeln, da nur diese für die Gauss-Quadratur -% benötigt wird. -% } - -% Die Laguerre-Polynome besitzen einige interessante Eigenschaften -% \rhead{Eigenschaften} - -% \subsection{Orthogonalität -% \label{laguerre:subsection:orthogonal}} \section{Orthogonalität \label{laguerre:section:orthogonal}} -Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} haben wir behauptet, -dass die Laguerre-Polynome orthogonale Polynome sind. +Im Abschnitt~\ref{laguerre:section:definition} +haben wir die Behauptung aufgestellt, +dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind. Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern. Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich @@ -40,7 +27,7 @@ und den Laguerre-Operator x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx} \end{align} erhalten werden, -in dem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. +indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen. Aus der Beziehung \begin{align} S @@ -58,7 +45,7 @@ Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung \begin{align*} x \frac{dp}{dx} = --(\nu + 1 - x) p, +-(\nu + 1 - x) p \end{align*} erfüllen muss. Durch Separation erhalten wir dann @@ -76,6 +63,7 @@ Durch Separation erhalten wir dann p(x) & = -C x^{\nu + 1} e^{-x} +. \end{align*} Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich \begin{align*} @@ -117,14 +105,9 @@ Für den rechten Rand ist die Bedingung (Gleichung~\eqref{laguerre:sllag_randb}) 0 \end{align*} für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$. -Damit können wir schlussfolgern, dass die verallgemeinerten Laguerre-Polynome -orthogonal bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ -mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$ sind. +Damit können wir schlussfolgern: +Die verallgemeinerten Laguerre-Polynome sind orthogonal +bezüglich des Skalarproduktes auf dem Intervall $(0, \infty)$ +mit der verallgemeinerten Laguerre\--Gewichtsfunktion $w(x)=x^\nu e^{-x}$. Die Laguerre-Polynome ($\nu=0$) sind somit orthognal im Intervall $(0, \infty)$ mit der Gewichtsfunktion $w(x)=e^{-x}$. - -% \subsection{Rodrigues-Formel} - -% \subsection{Drei-Terme Rekursion} - -% \subsection{Beziehung mit der Hypergeometrischen Funktion} diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex index b76daeb..2e5fc06 100644 --- a/buch/papers/laguerre/gamma.tex +++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex @@ -8,8 +8,8 @@ Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden, um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich $(0, \infty)$ zu berechnen. -Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion bestens an, wie wir in den folgenden -Abschnitten sehen werden. +Dabei bietet sich z.B. die Gamma-Funkion hervorragend an, +wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden. \subsection{Gamma-Funktion} Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe @@ -26,10 +26,12 @@ Integral der Form \label{laguerre:gamma} . \end{align} -Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und -der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren. -Zu erwähnen ist auch, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die -Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ genau dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht. +Der Term $e^{-t}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen +genau die Bedingungen der Laguerre-Integration. +% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und +% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren. +Weiter zu erwähnen ist, dass für die verallgemeinerte Laguerre-Integration die +Gewichtsfunktion $t^\nu e^{-t}$ exakt dem Integranden für $\nu=z-1$ entspricht. \subsubsection{Funktionalgleichung} Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät, @@ -62,7 +64,8 @@ leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt. \subsection{Berechnung mittels Gauss-Laguerre-Quadratur} In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen, dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur eignet. -Nun bieten sich uns zwei Optionen diese zu berechnen: +Nun bieten sich uns zwei Optionen, +diese zu berechnen: \begin{enumerate} \item Wir verwenden die verallgemeinerten Laguerre-Polynome, dann $f(x)=1$. \item Wir verwenden die Laguerre-Polynome, dann $f(x)=x^{z-1}$. @@ -92,7 +95,8 @@ und Nullstellen für unterschiedliche $z$. In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich, dass die Gewichte einfach zu berechnen sind. Auch die Nullstellen können vorgängig, -mittels eines geeigneten Verfahrens aus den Polynomen bestimmt werden. +mittels eines geeigneten Verfahrens, +aus den Polynomen bestimmt werden. Als problematisch könnte sich höchstens die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen. Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte, @@ -101,7 +105,8 @@ die zweite Variante weiterzuverfolgen. \subsubsection{Direkter Ansatz} Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus \eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion -\eqref{laguerre:gamma} an ergibt sich +\eqref{laguerre:gamma} an, +ergibt sich \begin{align} \Gamma(z) \approx @@ -157,11 +162,12 @@ und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$. Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}. Man kann sehen, -wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$, -was laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch zu erwarten ist, -denn die Approximation via Gauss-Quadratur -ist exakt für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ -und von $z$ auch noch $1$ abgezogen wird im Exponenten. +wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$. +Laut der Theorie der Gauss-Quadratur auch ist das zu erwarten, +da die Approximation via Gauss-Quadratur +exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ +und hinzukommt, +dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten. Es ist ersichtlich, dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Interval gibt, in dem der relative Fehler minimal ist. @@ -347,7 +353,8 @@ m^* \end{align*} Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes. -Dazu müssten wir $\xi$ versuchen unter Kontrolle zu bringen, +Dazu müssten wir $\xi$ versuchen, +unter Kontrolle zu bringen, was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint. Da die Gauss-Quadratur aber sowieso nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist, @@ -367,8 +374,8 @@ aus dieser Grafik nicht offensichtlich, aber sie scheint regelmässig zu sein. Es lässt die Vermutung aufkommen, dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht. -Wir versuchen dieses Problem via lineare Regression und -geeignete Rundung zu beheben. +Wir versuchen, +dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben. Den linearen Regressor \begin{align*} \hat{m} @@ -391,7 +398,7 @@ In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34094$ und $\beta = 0.854093$. Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen. -Der optimalen Verschiebungsterm kann nun mit +Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit \begin{align*} m^* \approx @@ -423,7 +430,7 @@ dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt. \caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm für verschiedene reele Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$. Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$. -$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm} +$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.} \label{laguerre:fig:rel_error_shifted} \end{figure} @@ -433,8 +440,8 @@ Es stellt sich nun die Frage, wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält. In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für unterschiedliche $n$ dargestellt. -Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen, -bei für ganzzahlige $z$. +Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen +für ganzzahlige $z$. Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber, wie zu erwarten war, ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$. @@ -511,7 +518,7 @@ Diese Methode wurde zum Beispiel in Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise Genauigkeit von $13$ korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente. Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$ -eine minimale Genauigkeit von $6$-$7$ korrekten, signifikanten Stellen +eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen für reele Argumente. Das Resultat ist etwas enttäuschend, aber nicht unerwartet, @@ -519,7 +526,7 @@ da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist. Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht, ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender, -weil sie nur aus $n$ Funktionasevaluationen, +weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen, wenigen Multiplikationen und Additionen besteht. -Also könnte diese Methode z.B. Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung +Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung und/oder knappen Energieressourcen finden.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex index d69fbed..57a6560 100644 --- a/buch/papers/laguerre/main.tex +++ b/buch/papers/laguerre/main.tex @@ -11,15 +11,19 @@ {\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome, benannt nach Edmond Laguerre (1834 - 1886), sind Lösungen der ebenfalls nach Laguerre benannten Differentialgleichung. -Laguerre entdeckte diese Polynome als er Approximationsmethoden -für das Integral $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx$ suchte. +Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden +für das Integral +% $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $ +\begin{align*} +\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx +\end{align*} +suchte. Darum möchten wir uns in diesem Kapitel, ganz im Sinne des Entdeckers, den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit exponentiell-abfallenden Funktionen widmen. -Namentlich werden wir versuchen, -eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden -mittels Laguerre-Polynomen und der Gauss-Quadratur. +Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und +der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu finden. Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf. diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex index 27519d8..a494362 100644 --- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex +++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex @@ -6,19 +6,19 @@ \section{Gauss-Quadratur \label{laguerre:section:quadratur}} Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren, -welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen ausnützt. +welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet. Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden. Als grundlegende Idee wird die Beobachtung, dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen, verwendet. Stellt man also sicher, -dass ein Verfahren gut für Polynome gut funktioniert, -sollte es auch für andere Funktionen nicht schlecht funktionieren. +dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert, +sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern. Es wird ein Polynom verwendet, welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$ die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt. -Als Resultat kann das Integral via eine gewichtete Summe der Form +Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form \begin{align} \int_a^b f(x) w(x) \, dx \approx @@ -44,11 +44,11 @@ a + \frac{1 - t}{t} auf das Intervall $[0, 1]$ transformiert, kann dies behoben werden. Für unseren Fall gilt $a = 0$. -Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent, -darum müssen wir das Polynome mit einer Funktion multiplizieren, +Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent. +Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren, die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht, damit das Integral immer noch konvergiert. -Die Laguerre-Polynome $L_n$ bieten hier Abhilfe, +Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe, da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom. % In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome @@ -67,7 +67,7 @@ umformulieren: \subsubsection{Stützstellen und Gewichte} Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen des verwendeten Polynoms genommen werden. -Das heisst für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen dessen Nullstellen $x_i$ und +Für das Laguerre-Polynom $L_n$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und als Gewichte $A_i$ die Integrale $l_i(x)e^{-x}$ verwendet werden. Dabei sind \begin{align*} @@ -146,7 +146,8 @@ x_i L'_n(x_i) (n + 1) L_{n+1}(x_i) . \end{align*} -Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein ergibt sich +Setzen wir das nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein, +ergibt sich \begin{align} \nonumber A_i |