aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/laguerre
diff options
context:
space:
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Diffstat (limited to 'buch/papers/laguerre')
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/Makefile39
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/Makefile.inc7
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/definition.tex216
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex186
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/gamma.tex607
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/images/estimates.pdfbin0 -> 13813 bytes
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex1024
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdfbin0 -> 23297 bytes
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex73
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/images/integrand.pdfbin0 -> 16109 bytes
-rw-r--r--buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdfbin0 -> 16951 bytes
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-rw-r--r--buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex29
40 files changed, 3540 insertions, 147 deletions
diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile b/buch/papers/laguerre/Makefile
index 606d7e1..85a1b83 100644
--- a/buch/papers/laguerre/Makefile
+++ b/buch/papers/laguerre/Makefile
@@ -3,7 +3,42 @@
#
# (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
#
+IMGFOLDER := images
+PRESFOLDER := presentation
-images:
- @echo "no images to be created in laguerre"
+FIGURES := \
+ images/targets.pdf \
+ images/rel_error_complex.pdf \
+ images/estimates.pdf \
+ images/integrand.pdf \
+ images/integrand_exp.pdf \
+ images/laguerre_poly.pdf \
+ images/rel_error_mirror.pdf \
+ images/rel_error_range.pdf \
+ images/rel_error_shifted.pdf \
+ images/rel_error_simple.pdf \
+ images/gammaplot.pdf
+.PHONY: all
+all: images presentation
+
+.PHONY: images
+images: $(FIGURES)
+
+.PHONY: presentation
+presentation: $(PRESFOLDER)/presentation.pdf
+
+images/%.pdf images/%.pgf: scripts/%.py scripts/gamma_approx.py
+ python3 $<
+
+images/gammaplot.pdf: images/gammaplot.tex images/gammapaths.tex
+ cd $(IMGFOLDER) && latexmk -quiet -pdf gammaplot.tex
+
+$(PRESFOLDER)/%.pdf: $(PRESFOLDER)/%.tex $(FIGURES)
+ cd $(PRESFOLDER) && latexmk -quiet -pdf $(<F)
+
+.PHONY: clean
+clean:
+ rm $(FIGURES)
+ cd $(IMGFOLDER) && latexmk -C
+ cd $(PRESFOLDER) && latexmk -C \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
index 1eb5034..39b5d6f 100644
--- a/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/laguerre/Makefile.inc
@@ -9,8 +9,5 @@ dependencies-laguerre = \
papers/laguerre/references.bib \
papers/laguerre/definition.tex \
papers/laguerre/eigenschaften.tex \
- papers/laguerre/quadratur.tex \
- papers/laguerre/transformation.tex \
- papers/laguerre/wasserstoff.tex
-
-
+ papers/laguerre/quadratur.tex \
+ papers/laguerre/gamma.tex
diff --git a/buch/papers/laguerre/definition.tex b/buch/papers/laguerre/definition.tex
index 5f6d8bd..61549e0 100644
--- a/buch/papers/laguerre/definition.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/definition.tex
@@ -3,46 +3,196 @@
%
% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
%
-\section{Definition
-\label{laguerre:section:definition}}
-\rhead{Definition}
+\section{Herleitung%
+ % \section{Einleitung
+ % \section{Definition
+ \label{laguerre:section:definition}}
+\rhead{Definition}%
+In einem ersten Schritt möchten wir die Laguerre-Polynome
+aus der Laguerre-\-Differentialgleichung herleiten.
+Zudem werden wir die Lösung auf die assoziierten Laguerre-Polynome ausweiten.
+Im Anschluss soll dann noch die Orthogonalität dieser Polynome bewiesen werden.
+\subsection{Assoziierte Laguerre-Differentialgleichung}
+Die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung ist gegeben durch
\begin{align}
- x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
- =
- 0
- \label{laguerre:dgl}
+x y''(x) + (\nu + 1 - x) y'(x) + n y(x)
+=
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+\label{laguerre:dgl}
+.
\end{align}
+Spannenderweise wurde die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung
+zuerst von Yacovlevich Sonine (1849 - 1915) beschrieben,
+aber aufgrund ihrer Ähnlichkeit nach Laguerre benannt.
+Die klassische Laguerre-Diffentialgleichung erhält man, wenn $\nu = 0$.
+\subsection{Potenzreihenansatz%
+\label{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}}
+Hier wird die assoziierte Laguerre-Differentialgleichung verwendet,
+weil die Lösung mit derselben Methode berechnet werden kann.
+Zusätzlich erhält man aber die Lösung für den allgmeinen Fall.
+Wir stellen die Vermutung auf,
+dass die Lösungen orthogonale Polynome sind.
+Die Orthogonalität der Lösung werden wir im
+Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:orthogonal} beweisen.
+Zur Lösung von \eqref{laguerre:dgl} verwenden wir aufgrund
+der getroffenen Vermutungen einen Potenzreihenansatz.
+Der Potenzreihenansatz ist gegeben als
+% Da wir bereits wissen,
+% dass die Lösung orthogonale Polynome sind,
+% erscheint dieser Ansatz sinnvoll.
+\begin{align*}
+y(x)
+ & =
+\sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+% \\
+.
+\end{align*}
+Für die 1. und 2. Ableitungen erhalten wir
+\begin{align*}
+y'(x)
+ & =
+\sum_{k=1}^\infty k a_k x^{k-1}
+=
+\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+\\
+y''(x)
+ & =
+\sum_{k=2}^\infty k (k-1) a_k x^{k-2}
+=
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^{k-1}
+.
+\end{align*}
+
+\subsection{Lösen der Laguerre-Differentialgleichung}
+Setzt man nun den Potenzreihenansatz in
+\eqref{laguerre:dgl}
+%die Differentialgleichung
+ein,
+% erhält man
+resultiert
+\begin{align*}
+\sum_{k=1}^\infty (k+1) k a_{k+1} x^k
++
+(\nu + 1)\sum_{k=0}^\infty (k+1) a_{k+1} x^k
+-
+\sum_{k=0}^\infty k a_k x^k
++
+n \sum_{k=0}^\infty a_k x^k
+ & =
+0 \\
+\sum_{k=1}^\infty
+\left[ (k+1) k a_{k+1} + (\nu + 1)(k+1) a_{k+1} - k a_k + n a_k \right] x^k
+ & =
+0.
+\end{align*}
+Daraus lässt sich die Rekursionsbeziehung
\begin{align}
- L_n(x)
- =
- \sum_{k=0}^{n}
- \frac{(-1)^k}{k!}
- \begin{pmatrix}
- n \\
- k
- \end{pmatrix}
- x^k
- \label{laguerre:polynom}
+a_{k+1}
+ & =
+\frac{k-n}{(k+1) (k + \nu + 1)} a_k
+\label{laguerre:rekursion}
\end{align}
-
+ableiten.
+Für ein konstantes $n$ erhalten wir als Potenzreihenlösung ein Polynom vom Grad
+$n$,
+denn für $k=n$ wird $a_{n+1} = 0$ und damit auch $a_{n+2}=a_{n+3}=\ldots=0$.
+Aus %der Rekursionsbeziehung
+\eqref{laguerre:rekursion} ist zudem ersichtlich,
+dass $a_0 \neq 0$ beliebig gewählt werden kann.
+Wählen wir nun $a_0 = 1$, dann folgt für die Koeffizienten
+% $a_1, a_2, a_3$
+\begin{align*}
+a_1
+=
+-\frac{n}{1 \cdot (\nu + 1)}
+, & &
+a_2
+=
+\frac{(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)}
+, & &
+a_3
+=
+-\frac{(n-2)(n-1)n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (\nu + 1)(\nu + 2)(\nu + 3)}
+\end{align*}
+und allgemein
+\begin{align*}
+k
+ & \leq
+n:
+ &
+a_k
+ & =
+(-1)^k \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{k!(\nu + 1)_k}
+=
+\frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k}
+\\
+k & >n:
+ &
+a_k
+ & =
+0
+.
+\end{align*}
+Die Koeffizienten wechseln also für $k \leq n$ das Vorzeichen.
+Somit erhalten wir für $\nu = 0$ die Laguerre-Polynome
\begin{align}
- x y''(x) + (\alpha + 1 - x) y'(x) + n y(x)
- =
- 0
- \label{laguerre:generell_dgl}
+L_n(x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+\label{laguerre:polynom}
\end{align}
-
+und mit $\nu \in \mathbb{R}$ die assoziierten Laguerre-Polynome
\begin{align}
- L_n^\alpha (x)
- =
- \sum_{k=0}^{n}
- \frac{(-1)^k}{k!}
- \begin{pmatrix}
- n + \alpha \\
- n - k
- \end{pmatrix}
- x^k
- \label{laguerre:polynom}
+L_n^\nu(x)
+=
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+\label{laguerre:allg_polynom}
\end{align}
+Die Laguerre-Polynome von Grad $0$ bis $7$ sind in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:polyeval} dargestellt.
+\begin{figure}
+\centering
+% \scalebox{0.8}{\input{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\label{laguerre:fig:polyeval}
+\end{figure}
+
+\subsection{Analytische Fortsetzung}
+Durch die analytische Fortsetzung können wir zudem noch die zweite Lösung der
+Differentialgleichung erhalten.
+Laut \eqref{buch:funktionentheorie:singularitäten:eqn:w1} hat die Lösung
+die Form
+\begin{align*}
+\Xi_n(x)
+=
+L_n(x) \log(x) + \sum_{k=1}^\infty d_k x^k
+.
+\end{align*}
+Eine Herleitung dazu lässt sich im
+Abschnitt \ref{buch:funktionentheorie:subsection:dglsing}
+im ersten Teil des Buches finden.
+Nach einigen aufwändigen Rechnungen,
+% die am besten ein Computeralgebrasystem übernimmt,
+die den Rahmen dieses Kapitels sprengen würden,
+erhalten wir
+\begin{align*}
+\Xi_n
+=
+L_n(x) \log(x)
++
+\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k}
+(\alpha_{n-k} - \alpha_n - 2 \alpha_k)x^k
++
+(-1)^n \sum_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!n!}{((n+k)!)^2} x^{n+k},
+\end{align*}
+wobei $\alpha_0 = 0$ und $\alpha_k =\sum_{i=1}^k i^{-1}$,
+$\forall k \in \mathbb{N}$.
+% https://www.math.kit.edu/iana1/lehre/hm3phys2012w/media/laguerre.pdf
+% http://www.physics.okayama-u.ac.jp/jeschke_homepage/E4/kapitel4.pdf
diff --git a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
index b7597e5..b007c2d 100644
--- a/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/eigenschaften.tex
@@ -3,6 +3,186 @@
%
% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
%
-\section{Eigenschaften
-\label{laguerre:section:eigenschaften}}
-\rhead{Eigenschaften} \ No newline at end of file
+\subsection{Orthogonalität%
+\label{laguerre:subsection:orthogonal}}
+\rhead{Orthogonalität}%
+Im Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:potenzreihenansatz}
+haben wir die Behauptung aufgestellt,
+dass die Laguerre-Polynome orthogonal sind.
+Zu dieser Behauptung möchten wir nun einen Beweis liefern.
+%
+Um die Orthogonalität von Funktionen zu zeigen,
+bieten sich folgende Möglichkeiten an:
+\begin{enumerate}
+\item Identifizieren der Funktion als Eigenfunktion eines Skalarproduktes
+mit einem selbstadjungierten Operator.
+Dafür muss aber zuerst bewiesen werden,
+dass der verwendete Operator selbstadjungiert ist.
+Die Theorie dazu findet sich in den
+Abschnitten~\ref{buch:orthogonal:section:orthogonale-polynome-und-dgl} und
+\ref{buch:orthogonalitaet:section:bessel}.
+\item Umformen der Differentialgleichung in die Form der
+Sturm-Liouville-Differentialgleichung,
+denn für dieses verallgemeinerte Problem
+ist die Orthogonalität bereits bewiesen.
+Die Theorie dazu findet sich im Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}.
+\end{enumerate}
+
+% \subsubsection{Plan}
+\subsubsection{Idee}
+Für den Beweis der Orthogonalität der Laguerre-Polynome möchten
+wir den zweiten Ansatz über das Sturm-Liouville-Problem verwenden.
+% Dazu müssen wir die Laguerre-Differentialgleichung~\eqref{laguerre:dgl}
+% in die Form der Sturm-Liouville-Differentialgleichung bringen.
+Allerdings möchten wir nicht die Laguerre-Differentialgleichung
+in die richtige Form bringen,
+sondern den Laguerre-Operator
+\begin{align}
+\Lambda
+=
+x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+\label{laguerre:lagop}
+.
+\end{align}
+Da es sich beim Sturm-Liouville-Problem um ein Eigenwertproblem handelt,
+kann die Orthogonalität äquivalent über denn Sturm-Liouville-Operator
+\begin{align}
+S
+=
+\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+\label{laguerre:slop}
+\end{align}
+bewiesen werden.
+Dazu müssen wir die Operatoren einander gleichsetzen.
+
+% Wenn wir \eqref{laguerre:dgl} in ein
+% Sturm-Liouville-Problem umwandeln können, haben wir bewiesen, dass es sich
+% bei den Laguerre-Polynomen um orthogonale Polynome handelt (siehe
+% Abschnitt~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem}).
+% Der Beweis kann äquivalent auch über den Sturm-Liouville-Operator
+% \begin{align}
+% S
+% =
+% \frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right).
+% \label{laguerre:slop}
+% \end{align}
+% und den Laguerre-Operator
+% \begin{align}
+% \Lambda
+% =
+% x \frac{d}{dx^2} + (\nu + 1 -x) \frac{d}{dx}
+% \end{align}
+% erhalten werden,
+% indem wir diese Operatoren einander gleichsetzen.
+
+\subsubsection{Umformen in Sturm-Liouville-Operator}
+% Aus der Beziehung von
+Setzen wir nun
+\eqref{laguerre:lagop} und \eqref{laguerre:slop}
+einander gleich
+\begin{align}
+S
+ & =
+\Lambda
+\nonumber
+\\
+\frac{1}{w(x)} \left(-\frac{d}{dx}p(x) \frac{d}{dx} + q(x) \right)
+ & =
+x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}
+\label{laguerre:sl-lag}
+,
+\end{align}
+lässt sich sofort erkennen, dass $q(x) = 0$.
+Ausserdem ist ersichtlich, dass $p(x)$ die Differentialgleichung
+\begin{align*}
+x \frac{dp}{dx}
+=
+(\nu + 1 - x) p
+\end{align*}
+erfüllen muss.
+Durch Separation erhalten wir dann
+\begin{align*}
+\int \frac{dp}{p}
+ & =
+\int \frac{\nu + 1 - x}{x} \, dx
+=
+\int \frac{\nu + 1}{x} \, dx - \int 1\, dx
+\\
+\log p
+ & =
+(\nu + 1)\log x - x + c
+\\
+p(x)
+ & =
+C x^{\nu + 1} e^{-x}
+.
+\end{align*}
+Eingefügt in Gleichung~\eqref{laguerre:sl-lag} ergibt sich
+\begin{align*}
+\frac{C}{w(x)}
+\left(
+-x^{\nu+1} e^{-x} \frac{d^2}{dx^2} -
+(\nu + 1 - x) x^{\nu} e^{-x} \frac{d}{dx}
+\right)
+=
+x \frac{d^2}{dx^2} + (\nu + 1 - x) \frac{d}{dx}.
+\end{align*}
+Mittels Koeffizientenvergleich kann nun abgelesen werden,
+dass $w(x) = x^\nu e^{-x}$ und $C=-1$. %mit $\nu \geq 0$.
+Die Gewichtsfunktion $w(x)$ wächst für $x\rightarrow-\infty$ sehr schnell an.
+Ausserdem hat die Gewichtsfunktion $w(x)$ für negative $\nu$ einen Pol bei $x=0$,
+daher ist die Laguerre-Gewichtsfunktion nur für den
+Definitionsbereich $(0, \infty)$ geeignet.
+
+\subsubsection{Randbedingungen}
+Bleibt nur noch sicherzustellen, dass die Randbedingungen
+\begin{align}
+k_0 y(0) + h_0 p(0)y'(0)
+ & =
+0
+\label{laguerre:sllag_randa}
+\\
+k_\infty y(\infty) + h_\infty p(\infty) y'(\infty)
+ & =
+0
+\label{laguerre:sllag_randb}
+\end{align}
+mit $|k_i|^2 + |h_i|^2 \neq 0,\,\forall i \in \{0, \infty\}$, erfüllt sind.
+%
+Am linken Rand \eqref{laguerre:sllag_randa} kann $y(0) = 1$, $k_0 = 0$ und
+$h_0 = 1$ verwendet werden,
+was auch die Laguerre-Polynome ergeben haben.
+
+Für den rechten Rand ist die Bedingung \eqref{laguerre:sllag_randb}
+\begin{align*}
+\lim_{x \rightarrow \infty} p(x) y'(x)
+ & =
+\lim_{x \rightarrow \infty} -x^{\nu + 1} e^{-x} y'(x)
+=
+0
+\end{align*}
+für beliebige Polynomlösungen erfüllt für $k_\infty=0$ und $h_\infty=1$.
+
+% Somit können wir schlussfolgern:
+\begin{satz}
+Die Laguerre-Polynome %($\nu=0$)
+\eqref{laguerre:polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+% \end{align*}
+sind orthognale Polynome bezüglich des Skalarproduktes
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=e^{-x}$.
+\end{satz}
+
+\begin{satz}
+Die assoziierten Laguerre-Polynome \eqref{laguerre:allg_polynom}
+% \begin{align*}
+% L_n^\nu(x)
+% =
+% \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(\nu + 1)_k} \binom{n}{k} x^k.
+% \end{align*}
+sind orthogonale Polynome bezüglich des Skalarproduktes
+im Intervall~$(0, \infty)$ mit der Gewichts\-funktion~$w(x)=x^\nu e^{-x}$.
+\end{satz}
diff --git a/buch/papers/laguerre/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..0cf17b9
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/gamma.tex
@@ -0,0 +1,607 @@
+%
+% gamma.tex
+%
+% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\section{Anwendung: Berechnung der
+ Gamma-Funktion%
+ \label{laguerre:section:quad-gamma}}
+\rhead{Approximation der Gamma-Funktion}%
+Die Gauss-Laguerre-Quadratur kann nun verwendet werden,
+um exponentiell abfallende Funktionen im Definitionsbereich~$(0, \infty)$
+zu berechnen.
+Dabei bietet sich zum Beispiel die Gamma-Funktion hervorragend an,
+wie wir in den folgenden Abschnitten sehen werden.
+
+Im ersten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gamma} möchten wir noch einmal
+die wichtigsten Eigenschaften der Gamma-Funktion betrachten,
+bevor wir dann im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}
+diese Eigenschaften nutzen werden,
+damit wir die Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion
+markant verbessern können.
+% damit wir sie dann in einem nächsten Schritt verwenden können,
+% um unsere Approximationsmethode zu verbessern
+% Im zweiten Abschnitt~\ref{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}
+% wenden wir dann die Gauss-Laguerre-Quadratur auf die Gamma-Funktion und
+% erweitern die Methode
+
+\subsection{Gamma-Funktion%
+\label{laguerre:subsection:gamma}}
+Die Gamma-Funktion ist eine Erweiterung der Fakultät auf die reale und komplexe
+Zahlenmenge.
+Mehr Informationen zur Gamma-Funktion lassen sich im
+Abschnitt~\ref{buch:rekursion:section:gamma} finden.
+Die Definition~\ref{buch:rekursion:def:gamma} beschreibt die Gamma-Funktion als
+Integral der Form
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+,
+\quad
+\text{wobei } \operatorname{Re}(z) > 0
+\label{laguerre:gamma}
+.
+\end{align}
+Der Term $e^{-x}$ im Integranden und der Integrationsbereich erfüllen
+genau die Bedingungen der Gauss-Laguerre-Integration.
+% Der Term $e^{-t}$ ist genau die Gewichtsfunktion der Laguerre-Integration und
+% der Definitionsbereich passt ebenfalls genau für dieses Verfahren.
+Weiter zu erwähnen ist, dass für die assoziierte Gauss-Laguerre-Integration die
+Gewichtsfunktion $x^\nu e^{-x}$ exakt dem Integranden
+für $\nu = z - 1$ entspricht.
+
+\subsubsection{Funktionalgleichung}
+Die Gamma-Funktion besitzt die gleiche Rekursionsbeziehung wie die Fakultät,
+nämlich
+\begin{align}
+\Gamma(z+1)
+=
+z \Gamma(z)
+\quad
+\text{mit }
+\Gamma(1)
+=
+1
+.
+\label{laguerre:gamma_funktional}
+\end{align}
+
+\subsubsection{Reflektionsformel}
+Die Reflektionsformel
+\begin{align}
+\Gamma(z) \Gamma(1 - z)
+=
+\frac{\pi}{\sin \pi z}
+,\quad
+\text{für }
+z \notin \mathbb{Z}
+\label{laguerre:gamma_refform}
+\end{align}
+stellt eine Beziehung zwischen den zwei Punkten,
+die aus der Spiegelung an der Geraden $\real z = 1/2$ hervorgehen,
+her.
+Dadurch lassen Werte der Gamma-Funktion sich für $z$ in der rechten Halbebene
+leicht in die linke Halbebene übersetzen und umgekehrt.
+
+\subsection{Berechnung mittels
+Gauss-Laguerre-Quadratur%
+\label{laguerre:subsection:gauss-lag-gamma}}
+In den vorherigen Abschnitten haben wir gesehen,
+dass sich die Gamma-Funktion bestens für die Gauss-Laguerre-Quadratur
+\begin{align*}
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+=
+\int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\end{align*}
+eignet.
+Nun bieten sich uns zwei Optionen,
+diese zu berechnen:
+\begin{enumerate}
+\item Wir verwenden die assoziierten Laguerre-Polynome $L_n^\nu(x)$ mit
+$w(x) = x^\nu e^{-x}$, $\nu = z - 1$ und $f(x) = 1$.
+% $f(x)=1$.
+% \begin{align*}
+% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+% =
+% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+% \quad
+% \text{mit }
+% w(x)
+% =
+% x^\nu e^{-x},
+% \nu
+% =
+% z - 1
+% \text{ und }
+% f(x) = 1
+% .
+% \end{align*}
+\item Wir verwenden die Laguerre-Polynome $L_n(x)$ mit
+$w(x) = e^{-x}$ und $f(x) = x^{z - 1}$.
+% $f(x)=x^{z-1}$
+% \begin{align*}
+% \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+% =
+% \int_0^\infty f(x) w(x) \, dx
+% \quad
+% \text{mit }
+% w(x)
+% =
+% e^{-x}
+% \text{ und }
+% f(x) = x^{z - 1}
+% .
+% \end{align*}
+\end{enumerate}
+Die erste Variante wäre optimal auf das Problem angepasst,
+allerdings müssten die Gewichte und Nullstellen für jedes $z$
+neu berechnet werden,
+da sie per Definition von $z$ abhängen.
+Dazu kommt,
+dass die Berechnung der Gewichte $A_i$ nach
+\cite{laguerre:Cassity1965AbcissasCA}
+\begin{align*}
+A_i
+=
+\frac{
+\Gamma(n) \Gamma(n+\nu)
+}
+{
+(n+\nu)
+\left[L_{n-1}^{\nu}(x_i)\right]^2
+}
+\end{align*}
+Evaluationen der Gamma-Funktion benötigen.
+Somit ist diese Methode eindeutig nicht geeignet für unser Vorhaben.
+
+Bei der zweiten Variante benötigen wir keine Neuberechung der Gewichte
+und Nullstellen für unterschiedliche $z$.
+In \eqref{laguerre:quadratur_gewichte} ist ersichtlich,
+dass die Gewichte einfach zu berechnen sind.
+Auch die Nullstellen können vorgängig,
+mittels eines geeigneten Verfahrens,
+aus den Polynomen bestimmt werden.
+Als problematisch könnte sich höchstens
+die zu integrierende Funktion $f(x)=x^{z-1}$ für $|z| \gg 0$ erweisen.
+Somit entscheiden wir uns aufgrund der vorherigen Punkte,
+die zweite Variante weiterzuverfolgen.
+
+\subsubsection{Direkter Ansatz}
+%
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des direkten Ansatzes
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der
+Laguerre-Polynome}%
+\label{laguerre:fig:rel_error_simple}
+\end{figure}
+%.
+Wenden wir also die Gauss-Laguerre-Quadratur aus
+\eqref{laguerre:laguerrequadratur} auf die Gamma-Funktion
+\eqref{laguerre:gamma} an,
+ergibt sich
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+\approx
+\sum_{i=1}^n x_i^{z-1} A_i
+\label{laguerre:naive_lag}
+.
+\end{align}
+Bevor wir die Gauss-Laguerre-Quadratur anwenden,
+möchten wir als ersten Schritt eine Fehlerabschätzung durchführen.
+Für den Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} wird die $2n$-te Ableitung
+der zu integrierenden Funktion $f(\xi)$ benötigt.
+Für das Integral der Gamma-Funktion ergibt sich also
+\begin{align*}
+\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} f(\xi)
+ & =
+\frac{d^{2n}}{d\xi^{2n}} \xi^{z-1}
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \xi^{z - 2n - 1}
+.
+\end{align*}
+Eingesetzt im Fehlerterm \eqref{laguerre:lag_error} resultiert
+\begin{align}
+R_n
+=
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z-2n-1}
+,
+\label{laguerre:gamma_err_simple}
+\end{align}
+wobei $\xi$ ein geeigneter Wert im Intervall $(0, \infty)$ ist
+und $n$ der Grad des verwendeten Laguerre-Polynoms.
+Eine Fehlerabschätzung mit dem Fehlerterm stellt sich als unnütz heraus,
+da $R_n$ für $z < 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow 0$ eine Singularität aufweist
+und für $z > 2n - 1$ bei $\xi \rightarrow \infty$ divergiert.
+Nur für den unwahrscheinlichen Fall $ z = 2n - 1$
+wäre eine Fehlerabschätzung plausibel.
+
+Wenden wir nun also direkt die Gauss-Laguerre-Quadratur
+auf die Gamma-Funktion an.
+Dazu benötigen wir die Gewichte nach
+\eqref{laguerre:quadratur_gewichte}
+und als Stützstellen die Nullstellen des Laguerre-Polynomes $L_n$.
+Evaluieren wir den relativen Fehler unserer Approximation zeigt sich ein
+Bild wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple}.
+Man kann sehen,
+wie der relative Fehler Nullstellen aufweist für ganzzahlige $z \leq 2n$.
+Laut der Theorie der Gauss-Quadratur ist das auch zu erwarten,
+da die Approximation via Gauss-Quadratur
+exakt ist für zu integrierende Polynome mit Grad $\leq 2n-1$ und
+der Integrand $x^{z-1}$ wird für $z \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$
+zu einem Polynom .
+% Hinzukommt, dass zudem von $z$ noch $1$ abgezogen wird im Exponenten.
+Es ist ersichtlich,
+dass sich für den Polynomgrad $n$ ein Intervall gibt,
+in dem der relative Fehler minimal ist.
+Links steigt der relative Fehler besonders stark an,
+während er auf der rechten Seite zu konvergieren scheint.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Spiegelung negativer Realwerte
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\label{laguerre:fig:rel_error_mirror}
+\end{figure}
+
+Um die linke Hälfte in den Griff zu bekommen,
+könnten wir die Reflektionsformel der Gamma-Funktion verwenden.
+Spiegelt man nun $z$ mit negativem Realteil mittels der Reflektionsformel,
+ergibt sich ein stabilerer Fehler in der linken Hälfte,
+wie in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_mirror}.
+Die Spiegelung bringt nur für wenige Werte einen,
+für praktische Anwendungen geeigneten,
+relativen Fehler.
+Wie wir aber in Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_simple} sehen konnten,
+gibt es für jeden Polynomgrad $n$ ein Intervall $[a(n), a(n) + 1]$,
+$a(n) \in \mathbb{Z}$,
+in welchem der relative Fehler minimal ist.
+Die Funktionalgleichung der Gamma-Funktion \eqref{laguerre:gamma_funktional}
+könnte uns hier helfen,
+das Problem in den Griff zu bekommen.
+
+\subsubsection{Analyse des Integranden}
+Wie wir im vorherigen Abschnitt gesehen haben,
+scheint der Integrand problematisch.
+Darum möchten wir ihn jetzt analysieren,
+damit wir ihn besser verstehen können.
+Dies sollte es uns ermöglichen,
+anschliessend geeignete Gegenmassnahmen zu entwickeln.
+
+% Dieser Abschnitt soll eine grafisches Verständnis dafür schaffen,
+% wieso der Integrand so problematisch ist.
+% Was das heisst sollte in Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand}
+% und Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} grafisch dargestellt werden.
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/integrand.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand} ist der Integrand $x^z$ für
+unterschiedliche Werte von $z$ dargestellt.
+Dies entspricht der zu integrierenden Funktion $f(x)$
+der Gauss-Laguerre-Quadratur für die Gamma-Funktion.
+Man erkennt,
+dass für kleine $z$ sich ein singulärer Integrand ergibt
+und auch für grosse $z$ wächst der Integrand sehr schnell an.
+Das heisst,
+die Ableitungen im Fehlerterm divergieren noch schneller
+und das wirkt sich negativ auf die Genauigkeit der Approximation aus.
+Somit lässt sich hier sagen,
+dass kleine Exponenten um $0$ genauere Resultate liefern sollten.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/integrand_exp.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Integrand $x^z e^{-x}$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\label{laguerre:fig:integrand_exp}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:integrand_exp} fügen wir
+die Dämpfung der Gewichtsfunktion $w(x)$
+der Gauss-Laguerre-Quadratur wieder hinzu
+und erhalten so wieder den kompletten Integranden $x^{z} e^{-x}$
+der Gamma-Funktion.
+Für negative $z$ ergeben sich immer noch Singularitäten,
+wenn $x \rightarrow 0$.
+Um $x = 1$ wächst der Term $x^z$ für positive $z$
+schneller als die Dämpfung $e^{-x}$,
+aber für $x \rightarrow \infty$ geht der Integrand gegen $0$.
+Das führt zu glockenförmigen Kurven,
+die für grosse Exponenten $z$ nach der Stelle $x=1$ schnell anwachsen.
+Zu grosse Exponenten $z$ sind also immer noch problematisch.
+Kleine positive $z$ scheinen nun aber auch zulässig zu sein.
+Damit formulieren wir die Vermutung,
+dass $a(n)$,
+welches das Intervall $[a(n), a(n) + 1]$ definiert,
+in dem der relative Fehler minimal ist,
+grösser als $0$ und kleiner als $2n-1$ ist.
+
+\subsubsection{Ansatz mit Verschiebungsterm}
+% Mittels der Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional}
+% kann der Wert von $\Gamma(z)$ im Intervall $z \in [a,a+1]$,
+% in dem der relative Fehler minimal ist,
+% evaluiert werden und dann mit der Funktionalgleichung zurückverschoben werden.
+Nun stellt sich die Frage,
+ob die Approximation mittels Gauss-Laguerre-Quadratur verbessert werden kann,
+wenn man das Problem in einem geeigneten Intervall $[a(n), a(n)+1]$,
+$a(n) \in \mathbb{Z}$,
+evaluiert und dann mit der
+Funktionalgleichung \eqref{laguerre:gamma_funktional} zurückverschiebt.
+Für dieses Vorhaben führen wir einen Verschiebungsterm $m \in \mathbb{Z}$ ein.
+Passen wir \eqref{laguerre:naive_lag}
+mit dem Verschiebungsterm $m$
+%,der $z$ and die Stelle $z_m = z + m$ verschiebt,
+an,
+ergibt sich
+\begin{align}
+\Gamma(z)
+\approx
+s(z, m) \sum_{i=1}^n x_i^{z + m - 1} A_i
+% &&
+% \text{mit }
+% s(z, m)
+% =
+% \begin{cases}
+% \displaystyle
+% \frac{1}{(z - m)_m} & \text{wenn } m \geq 0\\
+% (z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0
+% \end{cases}
+% .
+\label{laguerre:shifted_lag}
+\end{align}
+mit
+\begin{align*}
+s(z, m)
+=
+\begin{cases}
+\displaystyle
+\frac{1}{(z)_m} & \text{wenn } m \geq 0 \\
+(z + m)_{-m} & \text{wenn } m < 0
+\end{cases}
+.
+\end{align*}
+
+\subsubsection{Finden der optimalen Berechnungsstelle}
+Um die optimale Stelle $z^*(n) \in \left[a(n), a(n) + 1\right]$,
+$z^*(n) \in \mathbb{R}$,
+zu finden,
+erweitern wir denn Fehlerterm \eqref{laguerre:gamma_err_simple}
+und erhalten
+\begin{align}
+R_{n,m}(\xi)
+=
+s(z, m) \cdot (z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z + m - 2n - 1}
+,\quad
+\text{für }
+\xi \in (0, \infty)
+\label{laguerre:gamma_err_shifted}
+.
+\end{align}
+%
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/targets.pdf}
+% %\vspace{-12pt}
+\caption{$m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\label{laguerre:fig:targets}
+\end{figure}
+%
+Daraus formulieren wir das Optimierungproblem
+\begin{align*}
+m^*
+=
+\operatorname*{argmin}_m \max_\xi R_{n,m}(\xi)
+.
+\end{align*}
+Allerdings ist die Funktion $R_{n,m}(\xi)$ unbeschränkt und
+hat die gleichen Probleme wie die Fehlerabschätzung des direkten Ansatzes.
+Dazu müssten wir $\xi$ versuchen,
+unter Kontrolle zu bringen,
+was ein äussersts schwieriges Unterfangen zu sein scheint.
+Da die Gauss-Quadratur aber sowieso
+nur wirklich praktisch sinnvoll für kleine $n$ ist,
+können die Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ empirisch gesucht werden.
+
+Wir bestimmen nun die optimalen Verschiebungsterme empirisch
+für $n = 1,\ldots, 12$ im Intervall $z \in (0, 1)$,
+da $z$ sowieso mit den Term $m$ verschoben wird,
+reicht es,
+die $m^*$ nur in diesem Intervall zu analysieren.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:targets} sind die empirisch bestimmten $m^*$
+abhängig von $z$ und $n$ dargestellt.
+In $n$-Richtung lässt sich eine klare lineare Abhängigkeit erkennen und
+die Beziehung zu $z$ ist negativ,
+d.h. wenn $z$ grösser ist, wird $m^*$ kleiner.
+Allerdings ist die genaue Beziehung zu $z$
+aus dieser Grafik nicht offensichtlich,
+aber sie scheint regelmässig zu sein.
+Es lässt die Vermutung aufkommen,
+dass die Restriktion von $m^* \in \mathbb{Z}$ Rundungsprobleme verursacht.
+Wir versuchen,
+dieses Problem via lineare Regression und geeignete Rundung zu beheben.
+Den linearen Regressor
+\begin{align*}
+\hat{m}
+=
+\alpha n + \beta
+\end{align*}
+machen wir nur abhängig von $n$,
+in dem wir den Mittelwert $\overline{m}$ von $m^*$ über $z$ berechnen.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/estimates.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/estimates.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Schätzung Mittelwert von $m$ und Fehler}
+\label{laguerre:fig:schaetzung}
+\end{figure}
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:schaetzung} sind die Resultate
+der linearen Regression aufgezeigt mit $\alpha = 1.34154$ und $\beta =
+0.848786$.
+Die lineare Beziehung ist ganz klar ersichtlich und der Fit scheint zu genügen.
+Der optimale Verschiebungsterm kann nun mit
+\begin{align*}
+m^*
+\approx
+\lceil \hat{m} - z \rceil
+=
+\lceil \alpha n + \beta - z \rceil
+\end{align*}
+% kann nun mit dem linearen Regressor und $z$
+gefunden werden.
+
+\subsubsection{Evaluation des Schätzers}
+In einem ersten Schritt möchten wir analysieren,
+wie gut die Abschätzung des optimalen Verschiebungsterms ist.
+Dazu bestimmen wir den relativen Fehler für verschiedene Verschiebungsterme $m$
+in der Nähe von $m^*$ bei gegebenem Polynomgrad $n = 8$ für $z \in (0, 1)$.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_shifted} sind die relativen Fehler
+der Approximation dargestellt.
+Man kann deutlich sehen,
+dass der relative Fehler anwächst,
+je weiter der Verschiebungsterm vom idealen Wert abweicht.
+Zudem scheint der Schätzer den optimalen Verschiebungsterm gut zu bestimmen,
+da der Schätzer zuerst der grünen Linie folgt und
+dann beim Übergang auf die orange Linie wechselt.
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit Verschiebungsterm
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Verschiebungsterme $m$.
+Das verwendete Laguerre-Polynom besitzt den Grad $n = 8$.
+$m^*$ bezeichnet hier den optimalen Verschiebungsterm.}
+\label{laguerre:fig:rel_error_shifted}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Resultate}
+Das Verfahren scheint für den Grad $n=8$ und $z \in (0,1)$ gut zu funktioneren.
+Es stellt sich nun die Frage,
+wie der relative Fehler sich für verschiedene $z$ und $n$ verhält.
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range} sind die relativen Fehler für
+unterschiedliche $n$ dargestellt.
+Der relative Fehler scheint immer noch Nullstellen aufzuweisen
+für ganzzahlige $z$.
+Durch das Verschieben ergibt sich jetzt aber,
+wie zu erwarten war,
+ein periodischer relativer Fehler mit einer Periodendauer von $1$.
+Zudem lässt sich erkennen,
+dass der Fehler abhängig von der Ordnung $n$
+des verwendeten Laguerre-Polynoms ist.
+Wenn der Grad $n$ um $1$ erhöht wird,
+verbessert sich die Genauigkeit des Resultats um etwa eine signifikante Stelle.
+
+In Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_complex}
+ist der Betrag des relativen Fehlers in der komplexen Ebene dargestellt.
+Je stärker der Imaginäranteil von $z$ von $0$ abweicht,
+umso schlechter wird die Genauigkeit der Approximation.
+Das erstaunt nicht weiter,
+da die Gauss-Quadratur eigentlich nur für reelle Zahlen definiert ist.
+Wenn der Imaginäranteil von $z$ ungefähr $0$ ist,
+lässt sich das gleiche Bild beobachten wie in
+Abbildung~\ref{laguerre:fig:rel_error_range}.
+
+\begin{figure}
+\centering
+% \input{papers/laguerre/images/rel_error_range.pgf}
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Relativer Fehler des Ansatzes mit optimalen Verschiebungsterm
+für verschiedene reelle Werte von $z$ und Laguerre-Polynome vom Grad $n$}
+\label{laguerre:fig:rel_error_range}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}
+\centering
+\includegraphics{papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf}
+%\vspace{-12pt}
+\caption{Absolutwert des relativen Fehlers in der komplexen Ebene}
+\label{laguerre:fig:rel_error_complex}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Nun stellt sich die Frage,
+wie das in diesem Abschnitt beschriebene Approximationsverfahren
+der Gamma-Funktion sich gegenüber den üblichen Approximationsverfahren schlägt.
+Eine häufig verwendete Methode ist die Lanczos-Approximation,
+welche gegeben ist durch
+\begin{align}
+\Gamma(z + 1)
+\approx
+\sqrt{2\pi} \left( z + \sigma + \frac{1}{2} \right)^{z + 1/2}
+e^{-(z + \sigma + 1/2)} \sum_{k=0}^n g_k H_k(z)
+,
+\end{align}
+wobei
+\begin{align*}
+g_k = \frac{e^\sigma \varepsilon_k (-1)^k}{\sqrt{2\pi}}
+\sum_{r=0}^k (-1)^r \, \binom{k}{r} \, (k)_r
+\left( \frac{e}{r + \sigma + \frac{1}{2}}\right)^{r + 1/2}
+,
+\end{align*}
+\begin{align*}
+\varepsilon_k
+=
+\begin{cases}
+1 & \text{für } k = 0 \\
+2 & \text{sonst}
+\end{cases}
+\quad \text{und}\quad
+H_k(z)
+=
+\frac{(-1)^k (-z)_k}{(z+1)_k}
+\end{align*}
+mit $H_0 = 1$ und $\sum_0^n g_k = 1$ (siehe \cite{laguerre:lanczos}).
+Diese Methode wurde zum Beispiel in
+{\em GNU Scientific Library}, {\em Boost}, {\em CPython} und
+{\em musl} implementiert.
+Diese Methode erreicht für $n = 7$ typischerweise eine Genauigkeit von $13$
+korrekten, signifikanten Stellen für reelle Argumente.
+Zum Vergleich: die vorgestellte Methode erreicht für $n = 7$
+eine minimale Genauigkeit von $6$ korrekten, signifikanten Stellen
+für reelle Argumente.
+
+\subsubsection{Fazit}
+% Das Resultat ist etwas enttäuschend,
+Die Genauigkeit der vorgestellten Methode schneidet somit schlechter ab
+als die Lanczos-Methode.
+Dieser Erkenntnis kommt nicht ganz unerwartet,
+% aber nicht unerwartet,
+da die Lanczos-Methode spezifisch auf dieses Problem zugeschnitten ist und
+unsere Methode eine erweiterte allgemeine Methode ist.
+Allerdings besticht die vorgestellte Methode
+durch ihre stark reduzierte Komplexität. % und Rechenaufwand.
+% Was die Komplexität der Berechnungen im Betrieb angeht,
+% ist die Gauss-Laguerre-Quadratur wesentlich ressourcensparender,
+% weil sie nur aus $n$ Funktionsevaluationen,
+% wenigen Multiplikationen und Additionen besteht.
+Was den Rechenaufwand angeht,
+benötigt die vorgestellte Methode,
+für eine Genauigkeit von $n-1$ signifikanten Stellen,
+nur $n$ Funktionsevaluationen
+und wenige zusätzliche Multiplikationen und Additionen.
+Demzufolge könnte diese Methode Anwendung in Systemen mit wenig Rechenleistung
+und/oder knappen Energieressourcen finden.
+Die vorgestellte Methode ist ein weiteres Beispiel dafür,
+wie Verfahren durch die Kenntnis der Eigenschaften einer Funktion
+verbessert werden können. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
new file mode 100644
index 0000000..fe48f47
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/estimates.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex b/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex
new file mode 100644
index 0000000..efa0863
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/gammapaths.tex
@@ -0,0 +1,1024 @@
+\def\gammaplus{({\dx*0.0190},{\dy*52.0728})
+ -- ({\dx*0.0200},{\dy*49.4422})
+ -- ({\dx*0.0400},{\dy*24.4610})
+ -- ({\dx*0.0600},{\dy*16.1457})
+ -- ({\dx*0.0800},{\dy*11.9966})
+ -- ({\dx*0.1000},{\dy*9.5135})
+ -- ({\dx*0.1200},{\dy*7.8633})
+ -- ({\dx*0.1400},{\dy*6.6887})
+ -- ({\dx*0.1600},{\dy*5.8113})
+ -- ({\dx*0.1800},{\dy*5.1318})
+ -- ({\dx*0.2000},{\dy*4.5908})
+ -- ({\dx*0.2200},{\dy*4.1505})
+ -- ({\dx*0.2400},{\dy*3.7855})
+ -- ({\dx*0.2600},{\dy*3.4785})
+ -- ({\dx*0.2800},{\dy*3.2169})
+ -- ({\dx*0.3000},{\dy*2.9916})
+ -- ({\dx*0.3200},{\dy*2.7958})
+ -- ({\dx*0.3400},{\dy*2.6242})
+ -- ({\dx*0.3600},{\dy*2.4727})
+ -- ({\dx*0.3800},{\dy*2.3383})
+ -- ({\dx*0.4000},{\dy*2.2182})
+ -- ({\dx*0.4200},{\dy*2.1104})
+ -- ({\dx*0.4400},{\dy*2.0132})
+ -- ({\dx*0.4600},{\dy*1.9252})
+ -- ({\dx*0.4800},{\dy*1.8453})
+ -- ({\dx*0.5000},{\dy*1.7725})
+ -- ({\dx*0.5200},{\dy*1.7058})
+ -- ({\dx*0.5400},{\dy*1.6448})
+ -- ({\dx*0.5600},{\dy*1.5886})
+ -- ({\dx*0.5800},{\dy*1.5369})
+ -- ({\dx*0.6000},{\dy*1.4892})
+ -- ({\dx*0.6200},{\dy*1.4450})
+ -- ({\dx*0.6400},{\dy*1.4041})
+ -- ({\dx*0.6600},{\dy*1.3662})
+ -- ({\dx*0.6800},{\dy*1.3309})
+ -- ({\dx*0.7000},{\dy*1.2981})
+ -- ({\dx*0.7200},{\dy*1.2675})
+ -- ({\dx*0.7400},{\dy*1.2390})
+ -- ({\dx*0.7600},{\dy*1.2123})
+ -- ({\dx*0.7800},{\dy*1.1875})
+ -- ({\dx*0.8000},{\dy*1.1642})
+ -- ({\dx*0.8200},{\dy*1.1425})
+ -- ({\dx*0.8400},{\dy*1.1222})
+ -- ({\dx*0.8600},{\dy*1.1031})
+ -- ({\dx*0.8800},{\dy*1.0853})
+ -- ({\dx*0.9000},{\dy*1.0686})
+ -- ({\dx*0.9200},{\dy*1.0530})
+ -- ({\dx*0.9400},{\dy*1.0384})
+ -- ({\dx*0.9600},{\dy*1.0247})
+ -- ({\dx*0.9800},{\dy*1.0119})
+ -- ({\dx*1.0000},{\dy*1.0000})
+ -- ({\dx*1.0200},{\dy*0.9888})
+ -- ({\dx*1.0400},{\dy*0.9784})
+ -- ({\dx*1.0600},{\dy*0.9687})
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+\def\gammathree{({\dx*-2.9810},{\dy*-8.9887})
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+\def\gammafour{({\dx*-3.9950},{\dy*8.3966})
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+\def\gammasinone{({\dx*-0.9810},{\dy*-53.1410})
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+\def\gammasinthree{({\dx*-2.9810},{\dy*-9.0483})
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+\def\gammasinfour{({\dx*-3.9950},{\dy*8.4124})
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+ -- ({\dx*-3.0200},{\dy*8.1943})
+ -- ({\dx*-3.0050},{\dy*33.1416})}
+\def\gammasinfive{({\dx*-4.9990},{\dy*-8.3507})
+ -- ({\dx*-4.9800},{\dy*-0.4942})
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+ -- ({\dx*-4.7600},{\dy*-0.7418})
+ -- ({\dx*-4.7400},{\dy*-0.7846})
+ -- ({\dx*-4.7200},{\dy*-0.8249})
+ -- ({\dx*-4.7000},{\dy*-0.8626})
+ -- ({\dx*-4.6800},{\dy*-0.8973})
+ -- ({\dx*-4.6600},{\dy*-0.9291})
+ -- ({\dx*-4.6400},{\dy*-0.9577})
+ -- ({\dx*-4.6200},{\dy*-0.9829})
+ -- ({\dx*-4.6000},{\dy*-1.0047})
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+ -- ({\dx*-4.5200},{\dy*-1.0563})
+ -- ({\dx*-4.5000},{\dy*-1.0600})
+ -- ({\dx*-4.4800},{\dy*-1.0601})
+ -- ({\dx*-4.4600},{\dy*-1.0566})
+ -- ({\dx*-4.4400},{\dy*-1.0496})
+ -- ({\dx*-4.4200},{\dy*-1.0390})
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+ -- ({\dx*-4.0200},{\dy*-2.0855})
+ -- ({\dx*-4.0010},{\dy*-41.6072})}
+\def\gammasinsix{({\dx*-5.9998},{\dy*6.9477})
+ -- ({\dx*-5.9800},{\dy*0.1349})
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+ -- ({\dx*-5.8400},{\dy*0.4940})
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+ -- ({\dx*-5.7600},{\dy*0.6945})
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+ -- ({\dx*-5.7200},{\dy*0.7800})
+ -- ({\dx*-5.7000},{\dy*0.8184})
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+ -- ({\dx*-5.6600},{\dy*0.8856})
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+ -- ({\dx*-5.6200},{\dy*0.9392})
+ -- ({\dx*-5.6000},{\dy*0.9606})
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+ -- ({\dx*-5.5600},{\dy*0.9923})
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+ -- ({\dx*-5.5200},{\dy*1.0086})
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+ -- ({\dx*-5.4800},{\dy*1.0094})
+ -- ({\dx*-5.4600},{\dy*1.0039})
+ -- ({\dx*-5.4400},{\dy*0.9947})
+ -- ({\dx*-5.4200},{\dy*0.9816})
+ -- ({\dx*-5.4000},{\dy*0.9648})
+ -- ({\dx*-5.3800},{\dy*0.9443})
+ -- ({\dx*-5.3600},{\dy*0.9203})
+ -- ({\dx*-5.3400},{\dy*0.8929})
+ -- ({\dx*-5.3200},{\dy*0.8621})
+ -- ({\dx*-5.3000},{\dy*0.8283})
+ -- ({\dx*-5.2800},{\dy*0.7914})
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+ -- ({\dx*-5.0200},{\dy*0.4657})
+ -- ({\dx*-5.0002},{\dy*41.6531})}
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdf b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7c195f2
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex
new file mode 100644
index 0000000..5a68f0a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/gammaplot.tex
@@ -0,0 +1,73 @@
+%
+% gammaplot.tex -- template for standalon tikz images
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\input{gammapaths.tex}
+\begin{document}
+\def\skala{1}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink
+
+\draw[->] (-6.1,0) -- (5.3,0) coordinate[label={$z$}];
+\draw[->] (0,-5.1) -- (0,6.4) coordinate[label={right:$\Gamma(z)$}];
+
+\foreach \x in {-1,-2,-3,-4,-5,-6}{
+ \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
+ \draw[line width=0.1pt] (\x,-5) -- (\x,6.2);
+}
+\foreach \x in {1,2,3,4,5}{
+ \draw (\x,-0.1) -- (\x,0.1);
+ \node at (\x,0) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6}{
+ \draw (-0.1,\y) -- (0.1,\y);
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4,5,6}{
+ \node at (0,\y) [left] {$\y$};
+}
+\foreach \y in {-1,-2,-3,-4,-5}{
+ \node at (0,\y) [right] {$\y$};
+}
+\foreach \x in {-1,-3,-5}{
+ \node at (\x,0) [below left] {$\x$};
+}
+\foreach \x in {-2,-4,-6}{
+ \node at (\x,0) [above left] {$\x$};
+}
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{1}
+
+\begin{scope}
+\clip (-6.1,-5) rectangle (4.3,6.2);
+
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinplus;
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinone;
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasintwo;
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinthree;
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfour;
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinfive;
+% \draw[color=darkgreen,line width=1.4pt] \gammasinsix;
+
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammaplus;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammaone;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammatwo;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammathree;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammafour;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammafive;
+\draw[color=mainColor,line width=1.4pt] \gammasix;
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf b/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf
new file mode 100644
index 0000000..76be412
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/integrand.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf b/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf
new file mode 100644
index 0000000..5fe7a7b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/integrand_exp.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf
new file mode 100644
index 0000000..f31d81d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/laguerre_poly.pdf
Binary files differ
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new file mode 100644
index 0000000..c7bb37a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_complex.pdf
Binary files differ
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new file mode 100644
index 0000000..8a27d41
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_mirror.pdf
Binary files differ
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index 0000000..bb8a2d7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_range.pdf
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index 0000000..b7e72dc
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_shifted.pdf
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index 0000000..0072d28
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/rel_error_simple.pdf
Binary files differ
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new file mode 100644
index 0000000..dc61c88
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/images/targets.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/laguerre/main.tex b/buch/papers/laguerre/main.tex
index 1fe0f8b..133d686 100644
--- a/buch/papers/laguerre/main.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/main.tex
@@ -8,13 +8,35 @@
\begin{refsection}
\chapterauthor{Patrik Müller}
-Hier kommt eine Einleitung.
+{\parindent0pt Die} Laguerre\--Polynome,
+benannt nach Edmond Laguerre (1834 -- 1886),
+sind Lösungen der ebenfalls nach %Laguerre
+ihm
+benannten Differentialgleichung.
+Laguerre entdeckte diese Polynome, als er Approximations\-methoden
+für das Integral
+% $\int_0^\infty \exp(-x) / x \, dx $
+\begin{align*}
+\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{x} \, dx
+\end{align*}
+suchte.
+Darum möchten wir uns in diesem Kapitel,
+ganz im Sinne des Entdeckers,
+den Laguerre-Polynomen für Approximationen von Integralen mit
+exponentiell abfallenden Funktionen widmen.
+Namentlich werden wir versuchen, mittels Laguerre-Polynomen und
+der Gauss-Quadratur eine geeignete Approximation für die Gamma-Funktion zu
+finden.
+
+Laguerre-Polynome tauchen zudem auch in der Quantenmechanik im radialen Anteil
+der Lösung für die Schrödinger-Gleichung eines Wasserstoffatoms auf.
\input{papers/laguerre/definition}
\input{papers/laguerre/eigenschaften}
\input{papers/laguerre/quadratur}
-\input{papers/laguerre/transformation}
-\input{papers/laguerre/wasserstoff}
+\input{papers/laguerre/gamma}
+% \input{papers/laguerre/transformation}
+% \input{papers/laguerre/wasserstoff}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/laguerre/packages.tex b/buch/papers/laguerre/packages.tex
index ab55228..a80d091 100644
--- a/buch/papers/laguerre/packages.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/packages.tex
@@ -6,5 +6,4 @@
% if your paper needs special packages, add package commands as in the
% following example
-\usepackage{derivative}
-
+\DeclareMathOperator{\real}{Re} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex
new file mode 100644
index 0000000..3db69f5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/presentation.tex
@@ -0,0 +1,134 @@
+\documentclass[ngerman, aspectratio=169, xcolor={rgb}]{beamer}
+
+% style
+\mode<presentation>{
+ \usetheme{Frankfurt}
+}
+%packages
+\usepackage[utf8]{inputenc}\DeclareUnicodeCharacter{2212}{-}
+\usepackage[ngerman]{babel}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{array}
+
+\newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\let\newline\\\arraybackslash\hspace{0pt}}m{#1}}
+\usepackage{ragged2e}
+
+\usepackage{bm} % bold math
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{multirow} % multi row in tables
+\usepackage{booktabs} %toprule midrule bottomrue in tables
+\usepackage{scrextend}
+\usepackage{textgreek}
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+\usepackage{ marvosym } % \Lightning
+
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+
+\usepackage{tikz}
+\usepackage{pgf}
+\usepackage{pgfplots}
+
+\usepackage{algorithmic}
+
+%citations
+\usepackage[style=verbose,backend=biber]{biblatex}
+\addbibresource{references.bib}
+
+
+%math font
+\usefonttheme[onlymath]{serif}
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+%Beamer Template modifications
+%\definecolor{mainColor}{HTML}{0065A3} % HSR blue
+\definecolor{mainColor}{HTML}{D72864} % OST pink
+\definecolor{invColor}{HTML}{28d79b} % OST pink
+\definecolor{dgreen}{HTML}{38ad36} % Dark green
+
+%\definecolor{mainColor}{HTML}{000000} % HSR blue
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+ \hspace{1.2em}{$\bullet$}~\inserttocsubsection\par}
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+
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+ \hspace{0.5cm}
+ \insertframenumber{}\hspace{0.2cm}\vspace{0.2cm}
+}
+
+\usepackage{caption}
+\captionsetup{labelformat=empty}
+
+%Title Page
+\title{Laguerre-Polynome}
+\subtitle{Anwendung: Approximation der Gamma-Funktion}
+\author{Patrik Müller}
+% \institute{OST Ostschweizer Fachhochschule}
+% \institute{\includegraphics[scale=0.3]{../img/ost_logo.png}}
+\date{\today}
+
+\input{../packages.tex}
+
+\newcommand*{\QED}{\hfill\ensuremath{\blacksquare}}%
+
+\newcommand*{\HL}{\textcolor{mainColor}}
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+
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+
+
+\makeatletter
+\newcount\my@repeat@count
+\newcommand{\myrepeat}[2]{%
+ \begingroup
+ \my@repeat@count=\z@
+ \@whilenum\my@repeat@count<#1\do{#2\advance\my@repeat@count\@ne}%
+ \endgroup
+}
+\makeatother
+
+\usetikzlibrary{automata,arrows,positioning,calc,shapes.geometric, fadings}
+
+\begin{document}
+
+\begin{frame}
+ \titlepage
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Inhaltsverzeichnis}
+ \tableofcontents
+\end{frame}
+
+\input{sections/laguerre}
+
+\input{sections/gaussquad}
+
+\input{sections/gamma}
+
+\input{sections/gamma_approx}
+
+\appendix
+\begin{frame}
+ % \centering
+ % \Large
+ % \textbf{Vielen Dank für die Aufmerksamkeit}
+\end{frame}
+
+\end{document}
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex
new file mode 100644
index 0000000..7dca39b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma.tex
@@ -0,0 +1,51 @@
+\section{Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Gamma-Funktion}
+\begin{columns}
+
+\begin{column}{0.55\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\vspace{-16pt}
+\centering
+% \scalebox{0.51}{\input{../images/gammaplot.pdf}}
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/gammaplot.pdf}
+% \caption{Gamma-Funktion}
+\end{figure}
+\end{column}
+
+\begin{column}{0.45\textwidth}
+Verallgemeinerung der Fakultät
+\begin{align*}
+\Gamma(n) = (n-1)!
+\end{align*}
+
+Integralformel
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+=
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+,\quad
+\operatorname{Re} z > 0
+\end{align*}
+
+Funktionalgleichung
+\begin{align*}
+z \Gamma(z)
+=
+\Gamma(z + 1)
+\end{align*}
+
+Reflektionsformel
+\begin{align*}
+\Gamma(z) \Gamma(1 - z)
+=
+\frac{\pi}{\sin \pi z}
+, \quad
+\text{für }
+z \notin \mathbb{Z}
+\end{align*}
+
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
new file mode 100644
index 0000000..b5e1131
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gamma_approx.tex
@@ -0,0 +1,201 @@
+\section{Approximieren der Gamma-Funktion}
+
+\begin{frame}{Anwenden der Gauss-Laguerre-Quadratur auf $\Gamma(z)$}
+
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+ & =
+\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x} \, dx
+\uncover<2->{
+\approx
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+}
+\uncover<3->{
+=
+\sum_{i=1}^{n} x^{z-1} A_i
+}
+\\\\
+\uncover<4->{
+ & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehlerabschätzung}
+\begin{align*}
+R_n(\xi)
+ & =
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+\\
+ & =
+(z - 2n)_{2n} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \xi^{z - 2n - 1}
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+
+% \textbf{Probleme:}
+\begin{itemize}
+\item Funktion ist unbeschränkt
+\item Maximum von $R_n$ gibt oberes Limit des Fehlers an
+\uncover<2->{\item[$\Rightarrow$] Schwierig ein Maximum von $R_n(\xi)$ zu finden}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Einfacher Ansatz}
+
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+% \resizebox{!}{0.72\textheight}{\input{../images/rel_error_simple.pgf}}
+\includegraphics[width=0.77\textwidth]{../images/rel_error_simple.pdf}
+\caption{Relativer Fehler des einfachen Ansatzes für verschiedene reelle Werte
+von $z$ und Grade $n$ der Laguerre-Polynome}
+\end{figure}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Wieso sind die Resultate so schlecht?}
+
+\textbf{Beobachtungen}
+\begin{itemize}
+\item Wenn $z \in \mathbb{Z}$ relativer Fehler $\rightarrow 0$
+\item Gewisse Periodizität zu erkennen
+\item Für grosse und kleine $z$ ergibt sich ein schlechter relativer Fehler
+\item Es gibt Intervalle $[a,a+1]$ mit minimalem relativem Fehler
+\item $a$ ist abhängig von $n$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Ursache?}
+\begin{itemize}
+\item Vermutung: Integrand ist problematisch
+}
+\uncover<3->{
+\item[$\Rightarrow$] Analysieren von $f(x)$ und dem Integranden
+}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{$f(x) = x^z$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Integrand $x^z e^{-x}$}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.91}{\input{../images/integrand_exp.pgf}}
+\includegraphics[width=0.8\textwidth]{../images/integrand_exp.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Neuer Ansatz?}
+
+\textbf{Vermutung}
+\begin{itemize}
+\item Es gibt Intervalle $[a(n), a(n)+1]$ in denen der relative Fehler minimal
+ist
+\item $a(n) > 0$
+\end{itemize}
+
+\uncover<2->{
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}
+\item[$\Rightarrow$] Berechnen von $\Gamma(z)$ im geeigneten Intervall und dann
+mit Funktionalgleichung zurückverschieben
+\end{itemize}
+}
+
+\uncover<3->{
+\textbf{Wie finden wir $\boldsymbol{a(n)}$?}
+\begin{itemize}
+\item Minimieren des Fehlerterms mit zusätzlichem Verschiebungsterm
+}
+\uncover<4->{$\Rightarrow$ Schwierig das Maximum des Fehlerterms zu bestimmen}
+\uncover<5->{\item Empirisch $a(n)$ bestimmen}
+\uncover<6->{$\Rightarrow$ Sinnvoll,
+da Gauss-Quadratur nur für kleine $n$ praktischen Nutzen hat}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Verschiebungsterm}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.625\textwidth}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+\includegraphics[width=1\textwidth]{../images/targets.pdf}
+\caption{Optimaler Verschiebungsterm $m^*$ in Abhängigkeit von $z$ und $n$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.375\textwidth}
+\begin{align*}
+\Gamma(z)
+\approx
+\frac{1}{(z-m)_{m}} \sum_{i=1}^{n} x_i^{z + m - 1} A_i
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Schätzen von $m^*$}
+\begin{columns}
+\begin{column}{0.65\textwidth}
+\begin{figure}
+\centering
+\vspace{-12pt}
+% \scalebox{0.7}{\input{../images/estimates.pgf}}
+\includegraphics[width=1.0\textwidth]{../images/estimates.pdf}
+% \caption{Integrand $x^z$ mit unterschiedlichen Werten für $z$}
+\end{figure}
+\end{column}
+\begin{column}{0.34\textwidth}
+\begin{align*}
+\hat{m}
+&=
+\alpha n + \beta
+\\
+&\approx
+1.34154 n + 0.848786
+\\
+m^*
+&=
+\lceil \hat{m} - \operatorname{Re}z \rceil
+\end{align*}
+\end{column}
+\end{columns}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_shifted.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_shifted.pdf}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, unterschiedlichen Verschiebungstermen $m$ und $z\in(0, 1)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \scalebox{0.6}{\input{../images/rel_error_range.pgf}}
+\includegraphics{../images/rel_error_range.pdf}
+\caption{Relativer Fehler mit $n=8$, Verschiebungsterm $m^*$ und $z\in(-5, 5)$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Vergleich mit Lanczos-Methode}
+Maximaler relativer Fehler für $n=6$
+\begin{itemize}
+ \item Lanczos-Methode $< 10^{-12}$
+ \item Unsere Methode $\approx 10^{-6}$
+\end{itemize}
+\end{frame} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex
new file mode 100644
index 0000000..4d973b8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/gaussquad.tex
@@ -0,0 +1,67 @@
+\section{Gauss-Quadratur}
+
+\begin{frame}{Gauss-Quadratur}
+\textbf{Idee}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Polynome können viele Funktionen approximieren
+\item Wenn Verfahren gut für Polynome funktioniert,
+sollte es auch für andere Funktionen funktionieren
+\item Integrieren eines Interpolationspolynom
+\item Interpolationspolynom ist durch Funktionswerte $f(x_i)$ bestimmt
+$\Rightarrow$ Integral kann durch Funktionswerte berechnet werden
+\item Evaluation der Funktionswerte an geeigneten Stellen
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Gauss-Quadratur}
+\begin{align*}
+\int_{-1}^{1} f(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\end{align*}
+
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Exakt für Polynome mit Grad $2n-1$
+\item Interpolationspolynome müssen orthogonal sein
+\item Stützstellen $x_i$ sind Nullstellen des Polynoms
+\item Fehler:
+\begin{align*}
+E
+=
+\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_{-1}^{1} l(x)^2 \, dx
+,\quad
+\text{wobei }
+l(x) = \prod_{i=1}^n (x-x_i)
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Erweiterung des Integrationsintervall von $[-1, 1]$ auf $(a, b)$
+\item Hinzufügen einer Gewichtsfunktion
+\item Bei uneigentlichen Integralen muss Gewichtsfunktion schneller als jedes
+Integrationspolynom gegen $0$ gehen
+\item[$\Rightarrow$] Für Laguerre-Polynome haben wir den Definitionsbereich
+$(0, \infty)$ und die Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
+\begin{align*}
+\int_0^\infty & f(x) e^{-x} \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\\
+ & \text{wobei }
+A_i = \frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+\text{ und $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$}
+\end{align*}
+\end{itemize}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Fehler der Gauss-Laguerre-Quadratur}
+\begin{align*}
+R_n
+=
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\end{align*}
+\end{frame} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
new file mode 100644
index 0000000..f99214e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/presentation/sections/laguerre.tex
@@ -0,0 +1,91 @@
+\section{Laguerre-Polynome}
+
+\begin{frame}{Laguerre-Differentialgleichung}
+
+\begin{itemize}
+\item Benannt nach Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886)
+\item Aus Artikel von 1879,
+in dem er $\int_0^\infty \exp(-x)/x \, dx$ analysierte
+\end{itemize}
+
+\begin{align*}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+ & =
+0
+, \quad
+n \in \mathbb{N}_0
+, \quad
+x \in \mathbb{R}
+\end{align*}
+
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Lösen der Differentialgleichung}
+
+\begin{align*}
+x y''(x) + (1 - x) y'(x) + n y(x)
+ & =
+0
+\\
+\end{align*}
+
+\uncover<2->{
+\centering
+\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
+%% use here too
+\path[draw=mainColor, very thick,->](0, 1.1) to
+node[anchor=west]{Potenzreihenansatz} (0, -0.8);
+\end{tikzpicture}
+}
+
+\begin{align*}
+\uncover<3->{
+L_n(x)
+ & =
+\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \binom{n}{k} x^k
+}
+\end{align*}
+\uncover<4->{
+\begin{itemize}
+ \item Die Lösungen der DGL sind die Laguerre-Polynome
+\end{itemize}
+}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}
+\begin{figure}[h]
+\centering
+% \resizebox{0.74\textwidth}{!}{\input{../images/laguerre_poly.pgf}}
+\includegraphics[width=0.7\textwidth]{../images/laguerre_poly.pdf}
+\caption{Laguerre-Polynome vom Grad $0$ bis $7$}
+\end{figure}
+\end{frame}
+
+\begin{frame}{Orthogonalität}
+\begin{itemize}[<+->]
+\item Beweis: Umformen in Sturm-Liouville-Problem (siehe Paper)
+\begin{alignat*}{5}
+((p(x) &y'(x)))' + q(x) &y(x)
+&=
+\lambda &w(x) &y(x)
+\\
+((x e^{-x} &y'(x)))' + 0 &y(x)
+&=
+n &e^{-x} &y(x)
+\end{alignat*}
+\item Definitionsbereich $(0, \infty)$
+\item Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$
+\end{itemize}
+
+\uncover<4->{
+\begin{align*}
+\int_0^\infty e^{-x} L_n(x) L_m(x) \, dx
+=
+0
+,\quad
+n \neq m
+,\quad
+n, m \in \mathbb{N}
+\end{align*}
+}
+\end{frame} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
index 8ab1af5..0e32012 100644
--- a/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
+++ b/buch/papers/laguerre/quadratur.tex
@@ -3,27 +3,214 @@
%
% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
%
-\section{Gauss-Laguerre Quadratur
-\label{laguerre:section:quadratur}}
-
+\section{Gauss-Quadratur%
+ \label{laguerre:section:quadratur}}
+\rhead{Gauss-Quadratur}%
+Die Gauss-Quadratur ist ein numerisches Integrationsverfahren,
+welches die Eigenschaften von orthogonalen Polynomen verwendet.
+Herleitungen und Analysen der Gauss-Quadratur können im
+Abschnitt~\ref{buch:orthogonal:section:gauss-quadratur} gefunden werden.
+Als grundlegende Idee wird die Beobachtung,
+dass viele Funktionen sich gut mit Polynomen approximieren lassen,
+verwendet.
+Stellt man also sicher,
+dass ein Verfahren gut für Polynome funktioniert,
+sollte es auch für andere Funktionen angemessene Resultate liefern.
+Es wird ein Interpolationspolynom verwendet,
+welches an den Punkten $x_0 < x_1 < \ldots < x_n$
+die Funktionwerte~$f(x_i)$ annimmt.
+Als Resultat kann das Integral via einer gewichteten Summe der Form
\begin{align}
- \int_a^b f(x) w(x)
- \approx
- \sum_{i=1}^N f(x_i) A_i
- \label{laguerre:gaussquadratur}
+\int_a^b f(x) w(x) \, dx
+\approx
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i
+\label{laguerre:gaussquadratur}
\end{align}
+berechnet werden.
+Die Gauss-Quadratur ist exakt für Polynome mit Grad $2n -1$,
+wenn ein Interpolationspolynom von Grad $n$ gewählt wurde.
+\subsection{Gauss-Laguerre-Quadratur%
+\label{laguerre:subsection:gausslag-quadratur}}
+Wir möchten nun die Gauss-Quadratur auf die Berechnung
+von uneigentlichen Integralen erweitern,
+spezifisch auf das Intervall~$(0, \infty)$.
+Mit dem vorher beschriebenen Verfahren ist dies nicht direkt möglich.
+% Mit einer Transformation
+% \begin{align*}
+% x
+% =
+% % a +
+% \frac{1 - t}{t}
+% \end{align*}
+% die das unendliche Intervall~$(0, \infty)$
+% auf das Intervall~$[0, 1]$ transformiert,
+% kann dies behoben werden.
+% % Für unseren Fall gilt $a = 0$.
+Das Integral eines Polynomes in diesem Intervall ist immer divergent.
+Es ist also nötig,
+den Integranden durch Funktionen zu approximieren,
+die genügend schnell gegen $0$ gehen.
+Man kann Polynome beliebigen Grades verwenden,
+wenn sie mit einer Funktion multipliziert werden,
+die schneller gegen $0$ geht als jedes Polynom.
+Damit stellen wir sicher,
+dass das Integral immer noch konvergiert.
+% Darum müssen wir das Polynom mit einer Funktion multiplizieren,
+% die schneller als jedes Polynom gegen $0$ geht,
+% damit das Integral immer noch konvergiert.
+Die Laguerre-Polynome $L_n$ schaffen hier Abhilfe,
+da ihre Gewichtsfunktion $w(x) = e^{-x}$ schneller
+gegen $0$ konvergiert als jedes Polynom.
+% In unserem Falle möchten wir die Gauss Quadratur auf die Laguerre-Polynome
+% $L_n$ ausweiten.
+% Diese sind orthogonal im Intervall $(0, \infty)$ bezüglich
+% der Gewichtsfunktion $e^{-x}$.
+Um also das Integral einer Funktion $g(x)$ im Intervall~$(0,\infty)$ zu
+berechen,
+formt man das Integral wie folgt um:
+\begin{align*}
+\int_0^\infty g(x) \, dx
+=
+\int_0^\infty f(x) e^{-x} \, dx
+\end{align*}
+Wir approximieren dann $f(x)$ durch ein Interpolationspolynom
+wie bei der Gauss-Quadratur.
+% Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} lässt sich daher wie folgt
+% umformulieren:
+Die Gleichung~\eqref{laguerre:gaussquadratur} wird also
+für die Gauss-Laguerre-Quadratur zu
\begin{align}
- \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
- \approx
- \sum_{i=1}^{N} f(x_i) A_i
- \label{laguerre:laguerrequadratur}
+\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} dx
+\approx
+\sum_{i=1}^{n} f(x_i) A_i
+\label{laguerre:laguerrequadratur}
+.
\end{align}
+\subsubsection{Stützstellen und Gewichte}
+Nach der Definition der Gauss-Quadratur müssen als Stützstellen die Nullstellen
+des Approximationspolynoms genommen werden.
+Für das Laguerre-Polynom $L_n(x)$ müssen demnach dessen Nullstellen $x_i$ und
+als Gewichte $A_i$ die Integrale von $l_i(x) e^{-x}$ verwendet werden.
+Dabei sind
+\begin{align*}
+l_i(x_j)
+=
+\delta_{ij}
+=
+\begin{cases}
+1 & i=j \\
+0 & \text{sonst}
+\end{cases}
+% .
+\end{align*}
+die Lagrangeschen Interpolationspolynome.
+Laut \cite{laguerre:hildebrand2013introduction} können die Gewichte mit
+\begin{align*}
+A_i
+ & =
+-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n \phi'_n(x_i) \phi_{n+1} (x_i)}
+\end{align*}
+berechnet werden.
+$C_i$ entspricht dabei dem Koeffizienten von $x^i$
+des orthogonalen Polynoms $\phi_n(x)$, $\forall i =0,\ldots,n$ und
+\begin{align*}
+\gamma_n
+=
+\int_0^\infty w(x) \phi_n^2(x)\,dx
+\end{align*}
+dem Normalisierungsfaktor.
+
+Wir setzen nun $\phi_n(x) = L_n(x)$ und
+nutzen den Vorzeichenwechsel der Laguerre-Koeffizienten
+(ersichtlich am Term $(-1)^k$ in \eqref{laguerre:polynom})
+aus,
+damit erhalten wir
+\begin{align*}
+A_i
+ & =
+-\frac{C_{n+1} \gamma_n}{C_n L'_n(x_i) L_{n+1} (x_i)}
+\\
+ & = \frac{C_n}{C_{n-1}} \frac{\gamma_{n-1}}{L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
+.
+\end{align*}
+Für Laguerre-Polynome gilt
+\begin{align*}
+\frac{C_n}{C_{n-1}}
+=
+-\frac{1}{n}
+\quad \text{und} \quad
+\gamma_n
+=
+1
+.
+\end{align*}
+Daraus folgt
+\begin{align}
+A_i
+ & =
+- \frac{1}{n L_{n-1}(x_i) L'_n(x_i)}
+\label{laguerre:gewichte_lag_temp}
+.
+\end{align}
+Nun kann die Rekursionseigenschaft der Laguerre-Polynome
+\cite{laguerre:hildebrand2013introduction}
+% (siehe \cite{laguerre:hildebrand2013introduction})
+\begin{align*}
+x L'_n(x)
+ & =
+n L_n(x) - n L_{n-1}(x)
+\\
+ & = (x - n - 1) L_n(x) + (n + 1) L_{n+1}(x)
+\end{align*}
+umgeformt werden und da $x_i$ die Nullstellen von $L_n(x)$ sind,
+vereinfacht sich die Gleichung zu
+\begin{align*}
+x_i L'_n(x_i)
+ & =
+- n L_{n-1}(x_i)
+\\
+ & =
+(n + 1) L_{n+1}(x_i)
+.
+\end{align*}
+Setzen wir diese Beziehung nun in \eqref{laguerre:gewichte_lag_temp} ein,
+ergibt sich
\begin{align}
- A_i
- =
- \frac{x_i}{(n + 1)^2 \left[ L_{n + 1}(x_i)\right]^2}
- \label{laguerre:quadratur_gewichte}
+\nonumber
+A_i
+ & =
+\frac{1}{x_i \left[ L'_n(x_i) \right]^2}
+\\
+ & =
+\frac{x_i}{(n+1)^2 \left[ L_{n+1}(x_i) \right]^2}
+.
+\label{laguerre:quadratur_gewichte}
\end{align}
+\subsubsection{Fehlerterm}
+Die Gauss-Laguerre-Quadratur mit $n$ Stützstellen berechnet Integrale
+von Polynomen bis zum Grad $2n - 1$ exakt.
+Für beliebige Funktionen kann eine Fehlerabschätzung angegeben werden.
+Der Fehlerterm $R_n$ folgt direkt aus der Approximation
+\begin{align*}
+\int_0^{\infty} f(x) e^{-x} \, dx
+=
+\sum_{i=1}^n f(x_i) A_i + R_n
+\end{align*}
+und \cite{laguerre:abramowitz+stegun} gibt ihn als
+\begin{align}
+R_n
+ & =
+\frac{f^{(2n)}(\xi)}{(2n)!} \int_0^\infty l(x)^2 e^{-x}\,dx
+\\
+ & =
+\frac{(n!)^2}{(2n)!} f^{(2n)}(\xi)
+,\quad
+0 < \xi < \infty
+\label{laguerre:lag_error}
+\end{align}
+an.
+Der Fehler ist also abhängig von der $2n$-ten Ableitung
+der zu integrierenden Funktion.
diff --git a/buch/papers/laguerre/references.bib b/buch/papers/laguerre/references.bib
index caf270f..1a4a903 100644
--- a/buch/papers/laguerre/references.bib
+++ b/buch/papers/laguerre/references.bib
@@ -3,33 +3,46 @@
%
% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
%
-
-@online{laguerre:bibtex,
- title = {BibTeX},
- url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
- date = {2020-02-06},
- year = {2020},
- month = {2},
- day = {6}
+@book{laguerre:hildebrand2013introduction,
+ title={Introduction to Numerical Analysis: Second Edition},
+ author={Hildebrand, F.B.},
+ isbn={9780486318554},
+ series={Dover Books on Mathematics},
+ year={2013},
+ publisher={Dover Publications},
+ pages = {389-392}
}
-@book{laguerre:numerical-analysis,
- title = {Numerical Analysis},
- author = {David Kincaid and Ward Cheney},
- publisher = {American Mathematical Society},
- year = {2002},
- isbn = {978-8-8218-4788-6},
- inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
- volume = {2}
+@book{laguerre:abramowitz+stegun,
+ added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ address = {New York},
+ author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
+ edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing},
+ interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c},
+ intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f},
+ keywords = {Handbook},
+ publisher = {Dover},
+ pages = {890},
+ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
+ year = 1972
}
-@article{laguerre:mendezmueller,
- author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
- title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
- journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
- year = 2019,
- volume = 47,
- pages = {607--627},
- url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+@article{laguerre:Cassity1965AbcissasCA,
+ title={Abcissas, coefficients, and error term for the generalized Gauss-Laguerre quadrature formula using the zero ordinate},
+ author={C. Ronald Cassity},
+ journal={Mathematics of Computation},
+ year={1965},
+ volume={19},
+ pages={287-296}
}
+@online{laguerre:lanczos,
+ title = {Lanczos Approximation},
+ author={Eric W. Weisstein},
+ url = {https://mathworld.wolfram.com/LanczosApproximation.html},
+ date = {2022-07-18},
+ year = {2022},
+ month = {7},
+ day = {18}
+} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py
new file mode 100644
index 0000000..1acd7f7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/estimates.py
@@ -0,0 +1,49 @@
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+
+ import gamma_approx as ga
+ import targets
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ N = 200
+ ns = np.arange(1, 13)
+ step = 1 / (N - 1)
+ x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1)
+
+ bests = targets.find_best_loc(N, ns=ns)
+ mean_m = np.mean(bests, -1)
+
+ intercept, bias = np.polyfit(ns, mean_m, 1)
+ fig, axs = plt.subplots(
+ 2, num=1, sharex=True, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4.5, 3.6)
+ )
+ xl = np.array([ns[0] - 0.5, ns[-1] + 0.5])
+ axs[0].plot(xl, intercept * xl + bias, label=r"$\hat{m}$")
+ axs[0].plot(ns, mean_m, "x", label=r"$\overline{m}$")
+ axs[1].plot(
+ ns, ((intercept * ns + bias) - mean_m), "-x", label=r"$\hat{m} - \overline{m}$"
+ )
+ axs[0].set_xlim(*xl)
+ axs[0].set_xticks(ns)
+ axs[0].set_yticks(np.arange(np.floor(mean_m[0]), np.ceil(mean_m[-1]) + 0.1, 2))
+ # axs[0].set_title("Schätzung von Mittelwert")
+ # axs[1].set_title("Fehler")
+ axs[-1].set_xlabel(r"$n$")
+ for ax in axs:
+ ax.grid(1)
+ ax.legend()
+ # fig.savefig(f"{ga.img_path}/estimates.pgf")
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/estimates.pdf")
+
+ print(f"Intercept={intercept:.6g}, Bias={bias:.6g}")
+ predicts = np.ceil(intercept * ns[:, None] + bias - np.real(x))
+ print(f"Error: {np.mean(np.abs(bests - predicts))}")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
new file mode 100644
index 0000000..5b09e59
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/gamma_approx.py
@@ -0,0 +1,116 @@
+from pathlib import Path
+
+import numpy as np
+import scipy.special
+
+EPSILON = 1e-7
+root = str(Path(__file__).parent)
+img_path = f"{root}/../images"
+fontsize = "medium"
+cmap = "plasma"
+
+
+def _prep_zeros_and_weights(x, w, n):
+ if x is None or w is None:
+ return np.polynomial.laguerre.laggauss(n)
+ return x, w
+
+
+def drop_imag(z):
+ if abs(z.imag) <= EPSILON:
+ z = z.real
+ return z
+
+
+def pochhammer(z, n):
+ return np.prod(z + np.arange(n))
+
+
+def find_optimal_shift(z, n):
+ mhat = 1.34093 * n + 0.854093
+ steps = int(np.floor(mhat - np.real(z)))
+ return steps
+
+
+def get_shifting_factor(z, steps):
+ factor = 1.0
+ if steps > 0:
+ factor = 1 / pochhammer(z, steps)
+ elif steps < 0:
+ factor = pochhammer(z + steps, -steps)
+ return factor
+
+
+def laguerre_gamma_shifted(z, x=None, w=None, n=8, target=11):
+ x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+ n = len(x)
+
+ z += 0j
+ steps = int(np.floor(target - np.real(z)))
+ z_shifted = z + steps
+ correction_factor = get_shifting_factor(z, steps)
+
+ res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w)
+ res *= correction_factor
+ res = drop_imag(res)
+ return res
+
+
+def laguerre_gamma_opt_shifted(z, x=None, w=None, n=8):
+ if z == 0.0:
+ return np.infty
+ x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+ n = len(x)
+
+ z += 0j
+ opt_shift = find_optimal_shift(z, n)
+ correction_factor = get_shifting_factor(z, opt_shift)
+ z_shifted = z + opt_shift
+
+ res = np.sum(x ** (z_shifted - 1) * w)
+ res *= correction_factor
+ res = drop_imag(res)
+ return res
+
+
+def laguerre_gamma_simple(z, x=None, w=None, n=8):
+ if z == 0.0:
+ return np.infty
+ x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+ z += 0j
+ res = np.sum(x ** (z - 1) * w)
+ res = drop_imag(res)
+ return res
+
+
+def laguerre_gamma_mirror(z, x=None, w=None, n=8):
+ if z == 0.0:
+ return np.infty
+ x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+ z += 0j
+ if z.real < 1e-3:
+ return np.pi / (
+ np.sin(np.pi * z) * laguerre_gamma_simple(1 - z, x, w)
+ ) # Reflection formula
+ return laguerre_gamma_simple(z, x, w)
+
+
+def eval_laguerre_gamma(z, x=None, w=None, n=8, func="simple", **kwargs):
+ x, w = _prep_zeros_and_weights(x, w, n)
+ if func == "simple":
+ f = laguerre_gamma_simple
+ elif func == "mirror":
+ f = laguerre_gamma_mirror
+ elif func == "optimal_shifted":
+ f = laguerre_gamma_opt_shifted
+ else:
+ f = laguerre_gamma_shifted
+ return np.array([f(zi, x, w, n, **kwargs) for zi in z])
+
+
+def calc_rel_error(x, y):
+ mask = np.abs(x) != np.infty
+ rel_error = np.zeros_like(y)
+ rel_error[mask] = (y[mask] - x[mask]) / x[mask]
+ rel_error[~mask] = 0.0
+ return rel_error
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
new file mode 100644
index 0000000..e970721
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand.py
@@ -0,0 +1,42 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding:utf-8 -*-
+"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms."""
+
+if __name__ == "__main__":
+ import os
+ from pathlib import Path
+
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ EPSILON = 1e-12
+ xlims = np.array([-3, 3])
+
+ root = str(Path(__file__).parent)
+ img_path = f"{root}/../images"
+ os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+ t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None]
+
+ z = np.array([-4.5, -2, -1, -0.5, 0.0, 0.5, 1, 2, 4.5])
+ r = t ** z
+
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4, 2.4))
+ ax.semilogx(t, r)
+ ax.set_xlim(*(10.0 ** xlims))
+ ax.set_ylim(1e-3, 40)
+ ax.set_xlabel(r"$x$")
+ # ax.set_ylabel(r"$x^z$")
+ ax.grid(1, "both")
+ labels = [f"$z={zi: 3.1f}$" for zi in np.squeeze(z)]
+ ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left", fontsize="small")
+ fig.savefig(f"{img_path}/integrand.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py
new file mode 100644
index 0000000..e649b26
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/integrand_exp.py
@@ -0,0 +1,46 @@
+#!/usr/bin/env python3
+# -*- coding:utf-8 -*-
+"""Plot for integrand of gamma function with shifting terms."""
+
+if __name__ == "__main__":
+ import os
+ from pathlib import Path
+
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ EPSILON = 1e-12
+ xlims = np.array([-3, 3])
+
+ root = str(Path(__file__).parent)
+ img_path = f"{root}/../images"
+ os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+ t = np.logspace(*xlims, 1001)[:, None]
+
+ z = np.array([-1, -0.5, 0.0, 0.5, 1, 2, 3, 4, 4.5])
+ e = np.exp(-t)
+ r = t ** z * e
+
+ fig, ax = plt.subplots(num=2, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(4, 2.4))
+ ax.semilogx(t, r)
+ # ax.plot(t,np.exp(-t))
+ ax.set_xlim(10 ** (-2), 20)
+ ax.set_ylim(1e-3, 10)
+ ax.set_xlabel(r"$x$")
+ # ax.set_ylabel(r"$x^z e^{-x}$")
+ ax.grid(1, "both")
+ labels = [f"$z={zi: 3.1f}$" for zi in np.squeeze(z)]
+ ax.legend(labels, ncol=2, loc="upper left", fontsize="small")
+ # fig.savefig(f"{img_path}/integrand_exp.pgf")
+ fig.savefig(f"{img_path}/integrand_exp.pdf")
+ # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py
new file mode 100644
index 0000000..05db5d3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/laguerre_poly.py
@@ -0,0 +1,108 @@
+import numpy as np
+
+
+def get_ticks(start, end, step=1):
+ ticks = np.arange(start, end, step)
+ return ticks[ticks != 0]
+
+
+if __name__ == "__main__":
+ import os
+ from pathlib import Path
+
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import scipy.special as ss
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ N = 1000
+ step = 5
+ t = np.linspace(-1.05, 10.5, N)[:, None]
+ root = str(Path(__file__).parent)
+ img_path = f"{root}/../images"
+ os.makedirs(img_path, exist_ok=True)
+
+ # fig = plt.figure(num=1, clear=True, tight_layout=True, figsize=(5.5, 3.7))
+ # ax = fig.add_subplot(axes_class=AxesZero)
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(6, 4))
+ for n in np.arange(0, 8):
+ k = np.arange(0, n + 1)[None]
+ L = np.sum((-1) ** k * ss.binom(n, k) / ss.factorial(k) * t ** k, -1)
+ ax.plot(t, L, label=f"$n={n}$")
+
+ ax.set_xticks(get_ticks(int(t[0]), t[-1]), minor=True)
+ ax.set_xticks(get_ticks(0, t[-1], step))
+ ax.set_xlim(t[0], t[-1] + 0.1 * (t[1] - t[0]))
+ ax.set_xlabel(r"$x$", x=1.0, labelpad=-10, rotation=0, fontsize="large")
+
+ ylim = 13
+ ax.set_yticks(get_ticks(-ylim, ylim), minor=True)
+ ax.set_yticks(get_ticks(-step * (ylim // step), ylim, step))
+ ax.set_ylim(-ylim, ylim)
+ ax.set_ylabel(r"$y$", y=0.95, labelpad=-14, rotation=0, fontsize="large")
+
+ ax.legend(ncol=2, loc=(0.125, 0.01), fontsize="large")
+
+ # set the x-spine
+ ax.spines[["left", "bottom"]].set_position("zero")
+ ax.spines[["right", "top"]].set_visible(False)
+ ax.xaxis.set_ticks_position("bottom")
+ hlx = 0.4
+ dx = t[-1, 0] - t[0, 0]
+ dy = 2 * ylim
+ hly = dy / dx * hlx
+ dps = fig.dpi_scale_trans.inverted()
+ bbox = ax.get_window_extent().transformed(dps)
+ width, height = bbox.width, bbox.height
+
+ # manual arrowhead width and length
+ hw = 1.0 / 60.0 * dy
+ hl = 1.0 / 30.0 * dx
+ lw = 0.5 # axis line width
+ ohg = 0.0 # arrow overhang
+
+ # compute matching arrowhead length and width
+ yhw = hw / dy * dx * height / width
+ yhl = hl / dx * dy * width / height
+
+ # draw x and y axis
+ ax.arrow(
+ t[-1, 0] - hl,
+ 0,
+ hl,
+ 0.0,
+ fc="k",
+ ec="k",
+ lw=lw,
+ head_width=hw,
+ head_length=hl,
+ overhang=ohg,
+ length_includes_head=True,
+ clip_on=False,
+ )
+
+ ax.arrow(
+ 0,
+ ylim - yhl,
+ 0.0,
+ yhl,
+ fc="k",
+ ec="k",
+ lw=lw,
+ head_width=yhw,
+ head_length=yhl,
+ overhang=ohg,
+ length_includes_head=True,
+ clip_on=False,
+ )
+
+ # fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_poly.pgf")
+ fig.savefig(f"{img_path}/laguerre_poly.pdf")
+ # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py
new file mode 100644
index 0000000..4a714fa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_complex.py
@@ -0,0 +1,43 @@
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+ import scipy.special
+
+ import gamma_approx as ga
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ xmax = 4
+ vals = np.linspace(-xmax + ga.EPSILON, xmax, 100)
+ x, y = np.meshgrid(vals, vals)
+ mesh = x + 1j * y
+ input = mesh.flatten()
+
+ lanczos = scipy.special.gamma(mesh)
+ lag = ga.eval_laguerre_gamma(input, n=8, func="optimal_shifted").reshape(mesh.shape)
+ rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(lanczos, lag))
+
+ fig, ax = plt.subplots(clear=True, constrained_layout=True, figsize=(3.5, 2.1))
+ _c = ax.pcolormesh(
+ x, y, rel_error, shading="gouraud", cmap=ga.cmap, norm=mpl.colors.LogNorm()
+ )
+ cbr = fig.colorbar(_c, ax=ax)
+ cbr.minorticks_off()
+ # ax.set_title("Relative Error")
+ ax.set_xlabel("Re($z$)")
+ ax.set_ylabel("Im($z$)")
+ minor_ticks = np.arange(-xmax, xmax + ga.EPSILON)
+ ticks = np.arange(-xmax, xmax + ga.EPSILON, 2)
+ ax.set_xticks(ticks)
+ ax.set_xticks(minor_ticks, minor=True)
+ ax.set_yticks(ticks)
+ ax.set_yticks(minor_ticks, minor=True)
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_complex.pdf")
+ # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py
new file mode 100644
index 0000000..7348d5e
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_mirror.py
@@ -0,0 +1,38 @@
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+ import scipy.special
+
+ import gamma_approx as ga
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ xmin = -15
+ xmax = 15
+ ns = np.arange(2, 12, 2)
+ ylim = np.array([-11, 1])
+ x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400)
+ gamma = scipy.special.gamma(x)
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.5))
+ for n in ns:
+ gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="mirror")
+ rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)
+ ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$")
+ ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+ ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim))
+ ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 5))
+ ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax), minor=True)
+ ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2))
+ ax.set_xlabel(r"$z$")
+ # ax.set_ylabel("Relativer Fehler")
+ ax.legend(ncol=1, loc="upper left", fontsize=ga.fontsize)
+ ax.grid(1, "both")
+ # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_mirror.pgf")
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_mirror.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py
new file mode 100644
index 0000000..ece3b6d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_range.py
@@ -0,0 +1,41 @@
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+ import scipy.special
+
+ import gamma_approx as ga
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+ N = 1201
+ xmax = 6
+ xmin = -xmax
+ ns = np.arange(2, 12, 2)
+ ylim = np.array([-11, -1.2])
+
+ x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, N)
+ gamma = scipy.special.gamma(x)
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2))
+ for n in ns:
+ gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="optimal_shifted")
+ rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)
+ ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$")
+ ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+ ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim))
+ ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 2))
+ ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON), minor=True)
+ ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2))
+ ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 1), "", minor=True)
+ ax.set_xlabel(r"$z$")
+ # ax.set_ylabel("Relativer Fehler")
+ ax.legend(ncol=1, loc="upper left", fontsize=ga.fontsize)
+ ax.grid(1, "both")
+ # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_range.pgf")
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_range.pdf")
+ # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py
new file mode 100644
index 0000000..f53c89b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_shifted.py
@@ -0,0 +1,40 @@
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+ import scipy.special
+
+ import gamma_approx as ga
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+ n = 8 # order of Laguerre polynomial
+ N = 200 # number of points in interval
+
+ step = 1 / (N - 1)
+ x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1)
+ targets = np.arange(10, 14)
+ gamma = scipy.special.gamma(x)
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.1))
+ for target in targets:
+ gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, target=target, n=n, func="shifted")
+ rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag))
+ ax.semilogy(x, rel_error, label=f"$m={target}$", linewidth=3)
+ gamma_lgo = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n, func="optimal_shifted")
+ rel_error = np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lgo))
+ ax.semilogy(x, rel_error, "m", linestyle=":", label="$m^*$", linewidth=3)
+ ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+ ax.set_ylim(5e-9, 5e-8)
+ ax.set_xlabel(r"$z$")
+ ax.set_xticks(np.linspace(0, 1, 6))
+ ax.set_xticks(np.linspace(0, 1, 11), minor=True)
+ ax.grid(1, "both")
+ ax.legend(ncol=1, fontsize=ga.fontsize)
+ # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_shifted.pgf")
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_shifted.pdf")
+ # plt.show()
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
new file mode 100644
index 0000000..e1ea36a
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/rel_error_simple.py
@@ -0,0 +1,41 @@
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+ import numpy as np
+ import scipy.special
+
+ import gamma_approx as ga
+
+ # mpl.rc("text", usetex=True)
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+ # mpl.rcParams.update({"font.family": "serif", "font.serif": "TeX Gyre Termes"})
+
+ # Simple / naive
+ xmin = -5
+ xmax = 25
+ ns = np.arange(2, 12, 2)
+ ylim = np.array([-11, 6])
+ x = np.linspace(xmin + ga.EPSILON, xmax - ga.EPSILON, 400)
+ gamma = scipy.special.gamma(x)
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(5, 2.5))
+ for n in ns:
+ gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, n=n)
+ rel_err = ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)
+ ax.semilogy(x, np.abs(rel_err), label=f"$n={n}$")
+ ax.set_xlim(x[0], x[-1])
+ ax.set_ylim(*(10.0 ** ylim))
+ ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax + ga.EPSILON, 5))
+ ax.set_xticks(np.arange(xmin, xmax), minor=True)
+ ax.set_yticks(10.0 ** np.arange(*ylim, 2))
+ ax.set_xlabel(r"$z$")
+ # ax.set_ylabel("Relativer Fehler")
+ ax.legend(ncol=3, fontsize=ga.fontsize)
+ ax.grid(1, "both")
+ # fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_simple.pgf")
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/rel_error_simple.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
new file mode 100644
index 0000000..69f94ba
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/laguerre/scripts/targets.py
@@ -0,0 +1,58 @@
+import numpy as np
+import scipy.special
+
+import gamma_approx as ga
+
+
+def find_best_loc(N=200, a=1.375, b=0.5, ns=None):
+ if ns is None:
+ ns = np.arange(2, 13)
+ bests = []
+ step = 1 / (N - 1)
+ x = np.linspace(step, 1 - step, N + 1)
+ gamma = scipy.special.gamma(x)
+ for n in ns:
+ zeros, weights = np.polynomial.laguerre.laggauss(n)
+ est = np.ceil(b + a * n)
+ targets = np.arange(max(est - 2, 0), est + 3)
+ rel_error = []
+ for target in targets:
+ gamma_lag = ga.eval_laguerre_gamma(x, target=target, x=zeros, w=weights, func="shifted")
+ rel_error.append(np.abs(ga.calc_rel_error(gamma, gamma_lag)))
+ rel_error = np.stack(rel_error, -1)
+ best = np.argmin(rel_error, -1) + targets[0]
+ bests.append(best)
+ return np.stack(bests, 0)
+
+
+if __name__ == "__main__":
+ import matplotlib as mpl
+ import matplotlib.pyplot as plt
+
+ mpl.rcParams.update(
+ {
+ "mathtext.fontset": "stix",
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": "TeX Gyre Termes",
+ }
+ )
+
+ N = 200
+ ns = np.arange(1, 13)
+
+ bests = find_best_loc(N, ns=ns)
+
+ fig, ax = plt.subplots(num=1, clear=True, constrained_layout=True, figsize=(3.5, 2.1))
+ v = ax.imshow(bests, cmap=ga.cmap, aspect="auto", interpolation="nearest")
+ plt.colorbar(v, ax=ax, label=r"$m^*$")
+ ticks = np.arange(0, N + 1, N // 5)
+ ax.set_xlim(0, 1)
+ ax.set_xticks(ticks)
+ ax.set_xticklabels([f"{v:.2f}" for v in ticks / N])
+ ax.set_xticks(np.arange(0, N + 1, N // 20), minor=True)
+ ax.set_yticks(np.arange(len(ns)))
+ ax.set_yticklabels(ns)
+ ax.set_xlabel(r"$z$")
+ ax.set_ylabel(r"$n$")
+ # fig.savefig(f"{ga.img_path}/targets.pgf")
+ fig.savefig(f"{ga.img_path}/targets.pdf")
diff --git a/buch/papers/laguerre/transformation.tex b/buch/papers/laguerre/transformation.tex
deleted file mode 100644
index 4de86b6..0000000
--- a/buch/papers/laguerre/transformation.tex
+++ /dev/null
@@ -1,31 +0,0 @@
-%
-% transformation.tex
-%
-% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\section{Laguerre Transformation
-\label{laguerre:section:transformation}}
-\begin{align}
- L \left\{ f(x) \right\}
- =
- \tilde{f}_\alpha(n)
- =
- \int_0^\infty e^{-x} x^\alpha L_n^\alpha(x) f(x) dx
- \label{laguerre:transformation}
-\end{align}
-
-\begin{align}
- L^{-1} \left\{ \tilde{f}_\alpha(n) \right\}
- =
- f(x)
- =
- \sum_{n=0}^{\infty}
- \begin{pmatrix}
- n + \alpha \\
- n
- \end{pmatrix}^{-1}
- \frac{1}{\Gamma(\alpha + 1)}
- \tilde{f}_\alpha(n)
- L_n^\alpha(x)
- \label{laguerre:inverse_transformation}
-\end{align} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex
deleted file mode 100644
index caaa6af..0000000
--- a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex
+++ /dev/null
@@ -1,29 +0,0 @@
-%
-% wasserstoff.tex
-%
-% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule
-%
-\section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms
-\label{laguerre:section:radial_h_atom}}
-
-\begin{align}
- \nonumber
- - \frac{\hbar^2}{2m}
- &
- \left(
- \frac{1}{r^2} \pdv{}{r}
- \left( r^2 \pdv{}{r} \right)
- +
- \frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta}
- \left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right)
- +
- \frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi}
- \right)
- u(r, \vartheta, \varphi)
- \\
- & -
- \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi)
- =
- E u(r, \vartheta, \varphi)
- \label{laguerre:pdg_h_atom}
-\end{align}