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diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex new file mode 100644 index 0000000..d3269ee --- /dev/null +++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex @@ -0,0 +1,95 @@ +% +% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3 +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% +\section{Beispiel Verfolgungskurve +\label{lambertw:section:teil4}} +\rhead{Beispiel Verfolgungskurve} +In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve beschreiben. + +\subsection{Ziel bewegt sich auf einer Gerade +\label{lambertw:subsection:malorum}} +Das zu verfolgende Ziel \(A\) wandert auf einer Gerade, wobei diese Gerade der \(y\)-Achse entspricht. Der Verfolger \(P\) startet auf einem beliebigen Punkt auf dem ersten Quadrant.Um die Rechnungen zu vereinfachen wir die Geschwindigkeit \(v\) auf 1 gesetzt. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden: +\begin{equation} + A + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right) + = + \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right) + ; + P + = + \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) + \label{lambertw:equation2} +\end{equation} +Wenn man diese Startpunkte in die Gleichung der Verfolgungskurve einfügt ergibt sich folgender Ausdruck: +\begin{equation} + \frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}} + \circ + \left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right) + = + 1 + \label{lambertw:equation3} +\end{equation} +Macht man den linken Term Bruchfrei und löst das Skalarprodukt auf, dann ergibt sich folgende DGL: +\[ + \left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right) + \circ + \left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right) + = \sqrt{x^2 + (t-y)^2}\\ +\] +\begin{equation} + -x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y} + = \sqrt{x^2 + (t-y)^2} + \label{lambertw:equation4} +\end{equation} +Im nächsten Schritt quadriert man beide Seiten, erweitert den neu entstandenen quadratischen Term, bringt alles auf die linke Seite und klammert gemeinsames aus. +\begin{align*} + ((t-y) \dot{y} - x \dot{x})^2 + &= x^2 + (t-y)^2 \\ + x^2 \dot{x}^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (t-y)^2 \dot{y} + &= x^2 + (t-y)^2 \\ + \dot{x}^2 x^2 - x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{y}^2 (t-y)^2 - (t-y)^2 + &= 0 \\ + (\dot{x}^2 - 1) \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + (\dot{y}^2 - 1) \cdot (t-y)^2 + &= 0 +\end{align*} +Der letzte Ausdruck kann mittels folgender Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\) vereinfacht werden, anschliessend wird die Gleichung mit \(-1\) multipliziert: +\[ + \underbrace{(\dot{x}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{y}^2}} \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \underbrace{(\dot{y}^2 - 1)}_{\mathclap{-\dot{x}^2}} \cdot (t-y)^2 + = 0 +\] +\begin{align*} + - \dot{y}^2 \cdot x^2 - 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} - \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2 + &= 0 \\ + \dot{y}^2 \cdot x^2 + 2x(t-y) \dot{x} \dot{y} + \dot{x}^2 \cdot (t-y)^2 + &= 0 +\end{align*} +Im letzten Ausdruck erkennt man das Muster einer binomischen Formel, was den Ausdruck wesentlich vereinfacht: +\begin{align*} + x^2 \dot{y}^2 + 2 \cdot x \dot{y} \cdot (t-y) \dot{x} + (t-y)^2 \dot{x}^2 + &= 0 \\ + (x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2 + &= 0 +\end{align*} +Wenn man nun beidseitig die Quadratwurzel zieht, dann ergibt sich im Vergleich zu \eqref{lambertw:equation4} eine wesentlich einfachere DGL: +\begin{equation} + x \dot{y} + (t-y) \dot{x} + = 0 + \label{lambertw:equation5} +\end{equation} +Um die Ableitung nach der Zeit wegzubringen wird beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, wobei \(\frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dx}\) entspricht. +\[ + x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}} + = 0 +\] +Nach dem kürzen ergibt sich folgende DGL: +\begin{equation} + x y^{\prime} + t - y + = 0 + \label{lambertw:equation6} +\end{equation} +Hier wäre es passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man + + |