aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/lambertw
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py18
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdfbin0 -> 187016 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdfbin120904 -> 151684 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py9
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.pngbin297455 -> 356399 bytes
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py20
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py58
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil0.tex50
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil1.tex199
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil4.tex168
10 files changed, 393 insertions, 129 deletions
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py
new file mode 100644
index 0000000..d787c34
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py
@@ -0,0 +1,18 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sat Jul 30 23:09:33 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+phi = np.pi/2
+t = np.linspace(0, 10, 10**5)
+x0 = 1
+
+def D(t):
+ return np.sqrt(x0**2+2*x0*t*np.cos(phi)+2*t**2-2*t**2*np.sin(phi))
+
+plt.plot(t, D(t))
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
new file mode 100644
index 0000000..739b02b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
index 0de3001..b5428f5 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
index b9b41bf..975e248 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
@@ -34,7 +34,8 @@ ax.quiver(X, Y, U, W, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, headwidth=5, headl
ax.plot([V[0], (VZ+V)[0]], [V[1], (VZ+V)[1]], 'k--')
ax.plot(np.vstack([V, Z])[:, 0], np.vstack([V, Z])[:,1], 'bo', markersize=10)
-
+ax.set_xlabel("x", size=20)
+ax.set_ylabel("y", size=20)
ax.text(2.5, 4.5, "Visierlinie", size=20, rotation=10)
@@ -44,9 +45,9 @@ plt.rcParams.update({
"font.serif": ["New Century Schoolbook"],
})
-ax.text(1.6, 4.3, r"$\vec{v}$", size=30)
-ax.text(0.6, 3.9, r"$V$", size=30, c='b')
-ax.text(5.1, 4.77, r"$Z$", size=30, c='b')
+ax.text(1.6, 4.3, r"$\dot{v}$", size=20)
+ax.text(0.65, 3.9, r"$V$", size=20, c='b')
+ax.text(5.15, 4.85, r"$Z$", size=20, c='b')
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
index 90758cd..e6e7c1e 100644
--- a/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py
new file mode 100644
index 0000000..dac99a7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py
@@ -0,0 +1,20 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Jul 31 14:34:13 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+t = 0
+phi = np.linspace(np.pi/2, 3*np.pi/2, 10**5)
+x0 = 1
+y0 = -2
+
+def D(t):
+ return (x0+t*np.cos(phi))*np.cos(phi)+(y0+t*(np.sin(phi)-1))*(np.sin(phi)-1)/(np.sqrt((x0+t*np.cos(phi))**2+(y0+t*(np.sin(phi)-1))**2))
+
+
+plt.plot(phi, D(t)) \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
new file mode 100644
index 0000000..3a90afa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
@@ -0,0 +1,58 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Jul 31 13:32:53 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import scipy.special as sci
+
+W = sci.lambertw
+
+
+t = np.linspace(0, 1.2, 1000)
+x0 = 1
+y0 = 1
+
+r0 = np.sqrt(x0**2+y0**2)
+chi = (r0+y0)/(r0-y0)
+
+x = x0*np.sqrt(1/chi*W(chi*np.exp(chi-4*t/(r0-y0))))
+eta = (x/x0)**2
+y = 1/4*((y0+r0)*eta+(y0-r0)*np.log(eta)-r0+3*y0)
+
+ymin= (min(y)).real
+xmin = (x[np.where(y == ymin)][0]).real
+
+
+#Verfolger
+plt.plot(x, y, 'r--')
+plt.plot(xmin, ymin, 'bo', markersize=10)
+
+#Ziel
+plt.plot(np.zeros_like(t), t, 'g--')
+plt.plot(0, ymin, 'bo', markersize=10)
+
+
+plt.plot([0, xmin], [ymin, ymin], 'k--')
+#plt.xlim(-0.1, 1)
+#plt.ylim(1, 2)
+plt.ylabel("y")
+plt.xlabel("x")
+plt.grid(True)
+plt.quiver(xmin, ymin, -0.2, 0, scale=1)
+
+plt.text(xmin+0.1, ymin-0.1, "Verfolgungskurve", size=20, rotation=20, color='r')
+plt.text(0.01, 0.02, "Fluchtkurve", size=20, rotation=90, color='g')
+
+plt.rcParams.update({
+ "text.usetex": True,
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": ["New Century Schoolbook"],
+})
+
+plt.text(xmin-0.11, ymin-0.08, r"$\dot{v}$", size=20)
+plt.text(xmin-0.02, ymin+0.05, r"$V$", size=20, c='b')
+plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b') \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
index 8fa8f9b..6632eca 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\label{lambertw:section:Was_sind_Verfolgungskurven}}
\rhead{Was sind Verfolgungskurven?}
%
-Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie "Welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt?".
+Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie ``Welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt?''.
Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel.
Der Verfolger verfolgt sein Ziel, das versucht zu entkommen.
Der Pfad, den der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt.
@@ -27,15 +27,15 @@ Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um
%
\begin{table}
\centering
- \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+ \begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
\text{Strategie}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\
\hline
\text{Jagd}
- & \text{konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\
+ & \text{konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel zu}\\
\text{Beschattung}
- & \text{-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\
+ & \text{-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel zu}\\
\text{Vorhalt}
& \text{konstant} & \text{-} & \text{etwas voraus Zielen}\\
@@ -59,7 +59,7 @@ Der Verfolger und sein Ziel werden als Punkte $V$ und $Z$ modelliert.
In der Abbildung \ref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt,
wobei $v$ der Ortsvektor des Verfolgers, $z$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{v}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist.
Der Geschwindigkeitsvektor entspricht dem Richtungsvektors des Verfolgers.
-Die konstante Geschwindigkeit kann man mit der Gleichung
+Die konstante Geschwindigkeit kann man mit
%
\begin{equation}
|\dot{v}|
@@ -67,38 +67,54 @@ Die konstante Geschwindigkeit kann man mit der Gleichung
\text{,}\quad A\in\mathbb{R}^+
\end{equation}
%
-darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor kann mit der Gleichung
-%
+darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor muss auf das Ziel zeigen, woraus folgt
+\begin{equation}
+ \dot{v}
+ \quad||\quad
+ z-v
+ \text{.}
+\end{equation}
+Um den Richtungsvektor zu konstruieren kann der Einheitsvektor parallel zu $z-v$ um $|\dot{v}|$ gestreckt werden, was zu
\begin{equation}
- \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|
+ \dot{v}
=
+ |\dot{v}|\cdot e_{z-v}
+\end{equation}
+führt. Dies kann noch ausgeschrieben werden zu
+\begin{equation}
\dot{v}
+ =
+ |\dot{v}|\cdot\frac{z-v}{|z-v|}
+ \text{.}
+ \label{lambertw:richtungsvektor}
\end{equation}
%
-beschrieben werden, wenn die Jagdstrategie verwendet wird.
-Die Differenz der Ortsvektoren $v$ und $z$ ist ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt.
-Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division durch den Betrag, ein Einheitsvektor erzeugt.
Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
-%
-Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergeben sich
+
+Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergibt sich
\begin{align}
\frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v}
&=
|\dot{v}|^2
- \\
+\end{align}
+was algebraisch zu
+\begin{align}
\label{lambertw:pursuerDGL}
\frac{z-v}{|z-v|}\cdot \frac{\dot{v}}{|\dot{v}|}
&=
- 1 \text{.}
+ 1
\end{align}
-Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, insofern der Verfolger die Jagdstrategie verwendet.
+umgeformt werden kann.
+Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, sofern der Verfolger die Jagdstrategie verwendet.
%
\subsection{Ziel
\label{lambertw:subsection:Ziel}}
Als nächstes gehen wir auf das Ziel ein.
Wie der Verfolger wird auch unser Ziel sich strikt an eine Fluchtstrategie halten, welche von Anfang an bekannt ist.
-Diese Strategie kann als Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden.
+Als Strategie eignet sich eine definierte Fluchtkurve oder ähnlich wie beim Verfolger ein Verhalten, das vom Verfolger abhängig ist.
+Ein vom Verfolger abhängiges Verhalten führt zu einem gekoppeltem DGL-System, das schwierig zu lösen sein wird.
+Eine definierte Fluchtkurve kann mit einer Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden.
Zum Beispiel könnte ein Ziel auf einer Geraden flüchten, welches auf einer Ebene mit der Parametrisierung
%
\begin{equation}
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index 2733759..e8eca2c 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -17,9 +17,10 @@ Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird.
Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
Somit gilt es
%
-\begin{equation*}
+\begin{equation}
z(t_1)=v(t_1)
-\end{equation*}
+ \label{bedingung_treffer}
+\end{equation}
%
zu lösen.
Die Parametrisierung von $z(t)$ ist im Beispiel definiert als
@@ -29,18 +30,18 @@ Die Parametrisierung von $z(t)$ ist im Beispiel definiert als
\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)\text{.}
\end{equation}
%
-Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb wird die obige Bedingung jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert.
+Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb wird die Bedingung \eqref{bedingung_treffer} jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert.
%
-\subsection{Anfangsbedingung im \RN{1}-Quadranten}
+\subsection{Anfangsbedingung im ersten Quadranten}
%
-Wenn der Verfolger im \RN{1}-Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche
-\begin{align*}
+Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche
+\begin{align}
x\left(t\right)
&=
x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\
y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
\chi
&=
\frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad
@@ -50,9 +51,10 @@ Wenn der Verfolger im \RN{1}-Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleich
r_0
=
\sqrt{x_0^2+y_0^2}
-\end{align*}
+ \text{.}
+\end{align}
%
-Der Folger ist durch
+Der Verfolger ist durch
\begin{equation}
v(t)
=
@@ -61,9 +63,9 @@ Der Folger ist durch
\end{equation}
%
parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$.
-Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher folgende Bedingungen
+Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher die Bedingungen
%
-\begin{align*}
+\begin{align}
0
&=
x(t)
@@ -74,34 +76,40 @@ Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Beding
&=
y(t)
=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,}
-\end{align*}
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,}
+\end{align}
%
-welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
+welche beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
Zuerst wird die Bedingung der $x$-Koordinate betrachtet.
-Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ mit
+Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ kann
\begin{equation}
0
=
x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}
\end{equation}
-ist diese Bedingung genau dann erfüllt, wenn
+algebraisch zu
\begin{equation}
0
=
W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
- \text{.}
\end{equation}
-%
+umgeformt werden.
Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
-Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
-\begin{equation}
+Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Mit der einzigen Nullstelle der Lambert W-Funktion bei
+\begin{equation*}
W(0)=0
+ \text{,}
+\end{equation*}
+kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
+\begin{equation}
+ 0
+ =
+ \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
+ \text{.}
\end{equation}
-%
Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
-Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre.
+Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste, damit ein Einholen möglich wäre.
Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
%
%
@@ -136,7 +144,7 @@ Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
%Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
%
\subsection{Anfangsbedingung $y_0<0$}
-Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolgers niemals das Ziel einholen.
+Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolger niemals das Ziel einholen.
Dies kann veranschaulicht werden anhand
%
\begin{equation}
@@ -184,7 +192,7 @@ was aufgelöst zu
führt.
Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet.
\subsection{Fazit}
-Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen in den Quadranten \RN{1} und \RN{2} zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
+Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen im ersten und zweiten Quadranten zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen.
Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
@@ -193,20 +201,149 @@ Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
Mathematisch kann dies mit
%
\begin{equation}
- |v-z|<a_{min} \text{,}\quad a_{min}\in\mathbb{R}^+
+ |v-z|<a_{\text{min}} \text{,}\quad a_{\text{min}}\in\mathbb{R}^+
\end{equation}
%
-beschrieben werden, wobei $a_{min}$ dem Trefferradius entspricht.
+beschrieben werden, wobei $a_{\text{min}}$ dem Trefferradius entspricht.
Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
%
\begin{equation}
- |v-z|^2<a_{min}^2 \text{,}\quad a_{min}\in \mathbb{R}^+
+ |v-z|^2<a_{\text{min}}^2 \text{,}\quad a_{\text{min}}\in \mathbb{R}^+
+ \label{lambertw:minimumAbstand}
\end{equation}
%
die neue Bedingung ist.
-Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
-
-
-
+Da sowohl der Betrag als auch $a_{\text{min}}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
+%
+\subsection{trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch
+In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine Mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
+Als erste Intuition für den Punkt bei dem $|v-z|$ minimal ist bietet sich der tiefste Punkt der Verfolgungskurve an, bei dem der y-Anteil des Richtungsvektors null entspricht.
+Es kann argumentiert werden, dass weil die Geschwindigkeiten gleich gross sind und $\dot{v}$ sich aus einem $y$- als auch einem $x$-Anteil zusammensetzt und $\dot{z}$ nur ein $y$-Anteil besitzt, der Abstand nur grösser werden kann, wenn $e_y\cdot z>e_y\cdot v$.
+Aus diesem Argument würde folgen, dass beim tiefsten Punkt der Verfolgungskurve im Beispiel den minimalen Abstand befindet.
+%
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[scale=0.4]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
+ \caption{Intuition}
+ \label{lambertw:grafic:intuition}
+\end{figure}
+%
+Dieses Argument kann leicht überprüft werden, indem lokal alle relevanten benachbarten Punkte betrachtet und das Vorzeichen der Änderung des Abstandes überprüft wird.
+Dafür wird ein Ausdruck benötigt, der den Abstand und die benachbarten Punkte beschreibt.
+Der Richtungsvektor wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$
+Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit
+\begin{align}
+ v
+ &=
+ t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right)
+ \\
+ z
+ &=
+ \left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right)
+\end{align}
+beschrieben werden. Der Verfolger wurde allgemein für jede Richtung $\alpha$ definiert, um alle unmittelbar benachbarten Punkte beschreiben zu können.
+Da der Abstand
+\begin{equation}
+ a
+ =
+ |v-z|
+ \geq
+ 0
+\end{equation}
+ist, kann durch quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
+\begin{equation}
+ a^2
+ =
+ |v-z|^2
+ =
+ (t\cdot\cos(\alpha)+x_0)^2+t^2(\sin(\alpha)-1)^2
+ \text{.}
+\end{equation}
+Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist
+\begin{equation}
+ \frac{d a^2}{d t}
+ =
+ 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
+ \text{.}
+\end{equation}
+Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in
+\begin{align}
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &=
+ 2x_0\cos(\alpha)
+ \\
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &<
+ 0\Leftrightarrow\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)
+ \\
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &>
+ 0\Leftrightarrow\alpha\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)
+ \\
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &=
+ 0\Leftrightarrow\alpha\in\left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}
+\end{align}
+unterteilt werden.
+Von Interesse ist lediglich das Intervall $\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, da der Verfolger sich stets in die negative $y$-Richtung bewegt.
+In diesem Intervall ist die Ableitung negativ, woraus folgt, dass jeglicher unmittelbar benachbarte Punkt, den der Verfolger als nächstes begehen könnte, stets näher am Ziel ist als zuvor.
+Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Verfolgungskurve nie ein lokales Minimum bezüglich des Abstandes sein kann.
+%
+\subsection{Wo ist der Abstand minimal?}
+Damit der Verfolger das Ziel erreicht muss die Bedingung \eqref{lambertw:minimumAbstand} erfüllt sein.
+Somit ist es ausreichend zu zeigen, dass
+\begin{equation}
+ \operatorname{min}(|z-v|)<a_\text{min}
+ \label{lambertw:Bedingung:abstandMinimal}
+\end{equation}
+erfüllt ist.
+Für folgende Betrachtung wurde für den Verfolger die Jagdstrategie mit $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ gewählt.
+Das Minimum des Abstandes kann mit
+\begin{equation}
+ 0=\frac{d|z-v|}{dt}
+\end{equation}
+gefunden werden.
+Mithilfe $(z-v)(z-v)=|z-v|^2$ kann die Gleichung umgeformt werden zu
+\begin{equation}
+ 0=\frac{d(\sqrt{(z-v)(z-v)})}{dt}
+ \text{.}
+\end{equation}
+Jetzt kann die Ableitung leicht ausgeführt werden, womit
+\begin{equation}
+ 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{z-v}{\sqrt{(z-v)(z-v)}}
+\end{equation}
+entsteht.
+In dieser Gleichung kann $(z-v)(z-v)=|z-v|^2$ nochmals angewendet werden, wodurch die Gleichung zu
+\begin{equation}
+ 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{z-v}{|z-v|}
+\end{equation}
+umgeformt werden kann.
+Nun ist die Struktur der Gleichung \eqref{lambertw:richtungsvektor} erkennbar.
+Wird dies ausgenutzt folgt
+\begin{equation}
+ 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{\dot{v}}{|\dot{v}|}
+ \text{.}
+\end{equation}
+Durch algebraische Umwandlung kann die Gleichung in die Form
+\begin{equation}
+ \dot{z}\dot{v}=|\dot{v}|^2
+\end{equation}
+gebracht werden.
+Da $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ folgt
+\begin{equation}
+ \cos(\alpha)=1
+ \text{,}
+\end{equation}
+wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist.
+Mit $|\dot{z}|=|\dot{v}|=1$ entsteht
+\begin{equation}
+ \cos(\alpha)=1
+ \text{,}
+\end{equation}
+woraus folgt, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann.
+$\alpha=0$ bedeutet, dass $\dot{v}=\dot{z}$ sein muss.
+Da die Richtungsvektoren bei $t\rightarrow\infty$ immer in die gleiche Richtung zeigen ist dort die Bedingung immer erfüllt.
+Dies entspricht gerade dem einen Rand von $t$, der andere Rand bei $t=0$ muss auch auf lokales bzw. globales Minimum untersucht werden.
+Daraus folgt, dass die Bedingung \eqref{lambertw:Bedingung:abstandMinimal} lediglich für den Abstand bei $t=\{0, \infty\}$ überprüft werden muss. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index c79aa0c..1053dd1 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,15 +6,15 @@
\section{Beispiel einer Verfolgungskurve
\label{lambertw:section:teil4}}
\rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
\subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
-Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
\begin{equation}
Z
=
- \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
+ \left( \begin{array}{c} 0 \\ |\dot{z}| \cdot t \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
,\:
@@ -22,13 +22,13 @@ Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter
=
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
\:\text{und}\:\:
- \bigl| \dot{V} \bigl|
+ |\dot{v}|
=
1.
\label{lambertw:Anfangsbed}
\end{equation}
Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt.
-Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich folgender Ausdruck:
+Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich der Ausdruck
\begin{equation}
\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
\cdot
@@ -42,37 +42,38 @@ Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} defin
\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
-Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen würden, werden wir uns hier nur die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
+Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers träge machen würden, werden wir uns hier nur auf die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
\subsubsection{Skalarprodukt auflösen
\label{lambertw:subsubsection:SkalProdAufl}}
-Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine. Dies führt zu:
+Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine viel handlichere Differentialgleichung erhalten. Dies führt zu
\begin{equation}
-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
\label{lambertw:eqOhneSkalarprod}
\end{equation}
-Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\) und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist.
+Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\)- und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist.
\subsubsection{Quadrieren und Gruppieren
\label{lambertw:subsubsection:QuadUndGrup}}
-Mit der Quadratwurzel in \ref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf folgende Form gebracht werden:
+Mit der Quadratwurzel in \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf die Form
\begin{equation}
\left(\dot{x}^2-1\right) \cdot x^2 -2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \left(\dot{y}^2-1\right) \cdot \left(t-y\right)^2
- =0.
+ =0
\label{lambertw:eqOhneWurzel}
\end{equation}
+gebracht werden.
Diese Form mag auf den ersten Blick nicht gerade nützlich sein, aber man kann sie mit einer Substitution weiter vereinfachen.
\subsubsection{Wichtige Substitution
\label{lambertw:subsubsection:WichtSubst}}
-Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann kann man folgende Gleichung aufstellen:
+Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann ergibt sich die Beziehung
\begin{equation}
\dot{x}^2 + \dot{y}^2
= 1.
\label{lambertw:eqGeschwSubst}
\end{equation}
-Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Ersetzt führen sie zu folgendem Ausdruck:
+Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Wenn man sie ersetzt, erhält man
\begin{equation}
\dot{y}^2 \cdot x^2 +2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \dot{x}^2 \cdot \left(t-y\right)^2
=0.
@@ -82,27 +83,31 @@ Diese unscheinbare Substitution führt dazu, dass weitere Vereinfachungen durchg
\subsubsection{Binom erkennen und vereinfachen
\label{lambertw:subsubsection:BinomVereinfach}}
-Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, welche zu folgender Gleichung führt:
+Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, wobei
\begin{equation}
(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
\end{equation}
-Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL führt:
+die faktorisierte Darstellung davon ist.
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL
\begin{equation}
x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:eqGanzVerinfacht}
\end{equation}
-Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
+führt.
+Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen.
+
+Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
\subsection{Zeitabhängigkeit loswerden
\label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}}
-Der nächste logischer Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
+Der nächste logische Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
\subsubsection{Zeitliche Ableitungen loswerden
\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
-Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\), ist es die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
+Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\) ist, die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig durch \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
\begin{equation}
x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
= 0.
@@ -126,30 +131,31 @@ Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eq
\subsubsection{Variable \(t\) eliminieren
\label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
-Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen, muss man auf die Definition der Bogenlänge zurückgreifen.
-Die Strecke \(s\) entspricht
+Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte, aber wie?
+Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er in der Zeit \(t\) die Strecke \(1\cdot t = t\) zurück. Längen und Strecken können auch mit der Bogenlänge repräsentiert werden, somit kann Zeit und zurückgelegte Strecke in der Gleichung
\begin{equation}
s
=
- v \cdot t
+ |\dot{v}| \cdot t
=
1 \cdot t
=
t
=
- \int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx.
+ \int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx
\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
\end{equation}
-
+verbunden werden.
+
Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert.
-Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
+Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich der neue Ausdruck
\begin{equation}
x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
= 0.
\label{lambertw:DGLohneT}
\end{equation}
-Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL zweiter Ordnung \eqref{lambertw:DGLohneInt}:
+Um das Integral los zu werden, leitet man \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhält die DGL zweiter Ordnung
\begin{align}
y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
&= 0, \\
@@ -157,16 +163,17 @@ Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambert
&= 0.
\label{lambertw:DGLohneInt}
\end{align}
-Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
+Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
\subsection{Differentialgleichung lösen
\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
-Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden:
+Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in die DGL
\begin{equation}
xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:DGLmitU}
\end{equation}
+erster Ordnung umgewandelt werden.
Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separierten Form
\begin{equation}
\int{\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\:du}
@@ -174,7 +181,7 @@ Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separiert
\int{\frac{1}{x}\:dx},
\end{equation}
lässt sich die Gleichung mittels einer Integrationstabelle sehr rasch lösen.
-Mit dem Ergebnis:
+Das Ergebnis ist
\begin{align}
\operatorname{arsinh}(u)
&=
@@ -184,20 +191,23 @@ Mit dem Ergebnis:
\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
\label{lambertw:loesDGLmitU}
\end{align}
-Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man folgende DGL erster Ordnung, die bereits separiert ist:
+Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man die DGL
\begin{equation}
y^{\prime}
=
- \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
+ \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C)
\label{lambertw:loesDGLmitY}
\end{equation}
-Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) mit seiner exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art folgende Lösung für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}:
+erster Ordnung, die bereits separiert ist.
+Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung
\begin{equation}
y
=
- C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}.
+ C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}
\end{equation}
-Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
+für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}.
+
+Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist.
\subsection{Lösung analysieren
\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
@@ -210,37 +220,34 @@ Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die
}
\end{figure}
-Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann:
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist die Funktion
\begin{equation}
{\color{red}{y(x)}}
=
- C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}.
+ C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
\label{lambertw:funkLoes}
\end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
+für welche die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
\begin{itemize}
\item
Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant.
\item
- Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\) aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen.
+ Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\)- aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen.
+ In diesem Punkt findet ein Monotoniewechsel in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} statt, was zu einem Minimum führt.
\item
Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn, da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger ihm nachgeht.
- \item
- Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} muss diese auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt?
- Eine Abschätzung darüber kann getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit des Verfolgers, somit auch sein Vorzeichen und dadurch entsteht auch das Minimum.
\end{itemize}
Alle diese Eigenschaften stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde.
\subsection{Anfangswertproblem
\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
-In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe erfordert ein Anfangswertproblem.
+In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe ist ein Anfangswertproblem für \(y(x)\).
-Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen.
+Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Analysis, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen.
\subsubsection{Anfangswerte bestimmen
\label{lambertw:subsubsection:Anfangswerte}}
-Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} zu definieren.
-Die Anfangswerte sind:
+Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte
\begin{equation}
y(x)\big \vert_{t=0}
=
@@ -255,15 +262,17 @@ und
=
y^{\prime}(x_0)
=
- \frac{y_0}{x_0}.
+ \frac{y_0}{x_0}
\label{lambertw:eq2Anfangswert}
\end{equation}
+zu definieren.
Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
\subsubsection{Gleichungssystem aufstellen und lösen
\label{lambertw:subsubsection:GlSys}}
-Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
+Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich das Gleichungssystem
\begin{subequations}
+ \label{lambertw:eqGleichungssystem}
\begin{align}
y_0
&=
@@ -272,9 +281,8 @@ Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq
&=
2 \cdot C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
\end{align}
- \label{lambertw:eqGleichungssystem}
\end{subequations}
-Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen des Gleichungssystems gewählt, welche wie folgt aussehen:
+Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{lambertw:eqKoeff1}
@@ -284,16 +292,17 @@ Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positive
\label{lambertw:eqKoeff2}
C_2
&=
- \frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}.
+ \frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}
\end{align}
\end{subequations}
+des Gleichungssystems gewählt.
\subsubsection{Gesuchte Parameterfunktion aufstellen
\label{lambertw:subsubsection:ParamFunk}}
-Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich nach dem Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion:
+Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich beim Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion
\begin{equation}
y(x)
=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
\label{lambertw:eqAllgLoes}
\end{equation}
Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert:
@@ -316,27 +325,28 @@ In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als
\subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen
\label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}}
-Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird:
+Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL
\begin{equation}
x y^{\prime} + t - y
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:eqDGLmitTnochmals}
\end{equation}
+aus dem Abschnitt \eqref{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wurde.
Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren Ableitung \(y^{\prime}\) benötigt, diese sind:
\begin{subequations}
+ \label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
\begin{align}
+ \label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
y
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
- \label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
y^\prime
&=
- \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right).
+ \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\right).
\end{align}
- \label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
\end{subequations}
-Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich folgenden Ausdruck:
+Wenn man diese Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich der Ausdruck
\begin{equation}
-4t
=
@@ -348,17 +358,20 @@ Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lamb
\label{lambertw:subsubsection:UmformBisZumZiel}}
Mit dem Ausdruck \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}, welcher Terme mit \(x\) und \(t\) verbindet, kann nun nach der gesuchten Variable \(x\) aufgelöst werden.
-
-In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponentiert, was wie folgt aussieht:
-\begin{align}
+In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponenziert, sodass man
+\begin{equation}
-4t+\left(y_0+r_0\right)
- &=
- \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right), \\
+ =
+ \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)
+\end{equation}
+und anschliessend
+\begin{equation}
e^{\displaystyle -4t+\left(y_0+r_0\right)}
- &=
- e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}.
+ =
+ e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}
\label{lambertw:eqMitExp}
-\end{align}
+\end{equation}
+erhält.
Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist.
Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
@@ -368,30 +381,32 @@ Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) a
\eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
\label{lambertw:eqOhnePotenz}
\end{equation}
-Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden:
+Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution
\begin{equation}
\chi
=
- \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}.
+ \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}
\label{lambertw:eqChiSubst}
\end{equation}
+gelöst werden.
Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B.
\[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\]
-die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
+die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir die Gleichung
\begin{equation}
\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
=
\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
\label{lambertw:eqNachSubst}
\end{equation}
-Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
+Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir den Ausdruck
\begin{equation}
W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
=
\chi\eta.
\end{equation}
-Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar \eqref{lambertw:eqFunktionenNachT}, besteht aus folgenden Gleichungen:
+Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar besteht also aus den Gleichungen
\begin{subequations}
+ \label{lambertw:eqFunktionenNachT}
\begin{align}
\label{lambertw:eqFunkXNachT}
x(t)
@@ -402,15 +417,14 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
=
y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
\end{align}
- \label{lambertw:eqFunktionenNachT}
\end{subequations}
Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
\subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion
\label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}}
-Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, dass man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
Nun, der Grund dafür ist die Struktur
\begin{equation}
y
@@ -420,4 +434,4 @@ Nun, der Grund dafür ist die Struktur
\end{equation}
bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt.
-Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht. \ No newline at end of file
+Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oft vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht. \ No newline at end of file
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