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path: root/buch/papers/lambertw
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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py18
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-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil4.tex343
13 files changed, 1475 insertions, 265 deletions
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py
new file mode 100644
index 0000000..d787c34
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Abstand.py
@@ -0,0 +1,18 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sat Jul 30 23:09:33 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+phi = np.pi/2
+t = np.linspace(0, 10, 10**5)
+x0 = 1
+
+def D(t):
+ return np.sqrt(x0**2+2*x0*t*np.cos(phi)+2*t**2-2*t**2*np.sin(phi))
+
+plt.plot(t, D(t))
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
new file mode 100644
index 0000000..739b02b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
new file mode 100644
index 0000000..b5428f5
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
new file mode 100644
index 0000000..975e248
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.py
@@ -0,0 +1,53 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Fri Jul 29 09:40:11 2022
+
+@author: yanik
+"""
+import pylatex
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+N = np.array([0, 0])
+V = np.array([1, 4])
+Z = np.array([5, 5])
+VZ = Z-V
+vzScale = 0.4
+
+
+a = [N, N, V]
+b = [V, Z, vzScale*VZ]
+
+X = np.array([i[0] for i in a])
+Y = np.array([i[1] for i in a])
+U = np.array([i[0] for i in b])
+W = np.array([i[1] for i in b])
+
+xlim = 6
+ylim = 6
+fig, ax = plt.subplots(1,1)
+ax.set_xlim([0, xlim]) #<-- set the x axis limits
+ax.set_ylim([0, ylim]) #<-- set the y axis limits
+#plt.figure(figsize=(xlim, ylim))
+ax.quiver(X, Y, U, W, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, headwidth=5, headlength=7, headaxislength=5.5)
+
+ax.plot([V[0], (VZ+V)[0]], [V[1], (VZ+V)[1]], 'k--')
+ax.plot(np.vstack([V, Z])[:, 0], np.vstack([V, Z])[:,1], 'bo', markersize=10)
+ax.set_xlabel("x", size=20)
+ax.set_ylabel("y", size=20)
+
+ax.text(2.5, 4.5, "Visierlinie", size=20, rotation=10)
+
+plt.rcParams.update({
+ "text.usetex": True,
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": ["New Century Schoolbook"],
+})
+
+ax.text(1.6, 4.3, r"$\dot{v}$", size=20)
+ax.text(0.65, 3.9, r"$V$", size=20, c='b')
+ax.text(5.15, 4.85, r"$Z$", size=20, c='b')
+
+
+
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg
new file mode 100644
index 0000000..30f9f22
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/Strategie.svg
@@ -0,0 +1,790 @@
+<?xml version="1.0" encoding="utf-8" standalone="no"?>
+<!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN"
+ "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
+<!-- Created with matplotlib (https://matplotlib.org/) -->
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+ <metadata>
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+ <dc:title>Matplotlib v3.3.2, https://matplotlib.org/</dc:title>
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+ <g id="patch_1">
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+z
+" style="fill:#ffffff;"/>
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+ <g id="axes_1">
+ <g id="patch_2">
+ <path d="M 57.6 307.584
+L 414.72 307.584
+L 414.72 41.472
+L 57.6 41.472
+z
+" style="fill:#ffffff;"/>
+ </g>
+ <g id="Quiver_1">
+ <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 56.33035 307.158035
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+"/>
+ <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 56.799809 306.510151
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+"/>
+ <path clip-path="url(#p4d634c2ff8)" d="M 116.874739 128.85945
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+"/>
+ </g>
+ <g id="matplotlib.axis_1">
+ <g id="xtick_1">
+ <g id="line2d_1">
+ <defs>
+ <path d="M 0 0
+L 0 3.5
+" id="mb1945b9271" style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;"/>
+ </defs>
+ <g>
+ <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="57.6" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="text_1">
+ <!-- $\mathdefault{0}$ -->
+ <g transform="translate(55.109332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
+ <defs>
+ <path d="M 42 31.84375
+C 42 37.96875 41.90625 48.421875 37.703125 56.453125
+C 34 63.484375 28.09375 66 22.90625 66
+C 18.09375 66 12 63.78125 8.203125 56.5625
+C 4.203125 49.015625 3.796875 39.671875 3.796875 31.84375
+C 3.796875 26.109375 3.90625 17.375 7 9.734375
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+C 41.59375 16.375 42 24.5 42 31.84375
+z
+M 22.90625 -0.40625
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+z
+" id="CMR17-48"/>
+ </defs>
+ <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-48"/>
+ </g>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="xtick_2">
+ <g id="line2d_2">
+ <g>
+ <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="117.12" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
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+ </g>
+ <g id="text_2">
+ <!-- $\mathdefault{1}$ -->
+ <g transform="translate(114.629332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
+ <defs>
+ <path d="M 26.59375 63.796875
+C 26.59375 65.890625 26.5 66 25.09375 66
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+C 26.796875 2.59375 26.59375 3.6875 26.59375 7.296875
+z
+" id="CMR17-49"/>
+ </defs>
+ <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-49"/>
+ </g>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="xtick_3">
+ <g id="line2d_3">
+ <g>
+ <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="176.64" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="text_3">
+ <!-- $\mathdefault{2}$ -->
+ <g transform="translate(174.149332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
+ <defs>
+ <path d="M 41.703125 15.46875
+L 39.90625 15.46875
+C 38.90625 8.390625 38.09375 7.1875 37.703125 6.59375
+C 37.203125 5.796875 30 5.796875 28.59375 5.796875
+L 9.40625 5.796875
+C 13 9.6875 20 16.765625 28.5 24.9375
+C 34.59375 30.71875 41.703125 37.5 41.703125 47.390625
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+C 10.796875 66 4.09375 56.296875 4.09375 47.296875
+C 4.09375 43.390625 7 42.890625 8.203125 42.890625
+C 9.203125 42.890625 12.203125 43.484375 12.203125 46.984375
+C 12.203125 50.09375 9.59375 51 8.203125 51
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+C 34.796875 38.703125 29.703125 31.21875 24 24.734375
+L 4.09375 2.296875
+L 4.09375 0
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+" id="CMR17-50"/>
+ </defs>
+ <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-50"/>
+ </g>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="xtick_4">
+ <g id="line2d_4">
+ <g>
+ <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="236.16" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="text_4">
+ <!-- $\mathdefault{3}$ -->
+ <g transform="translate(233.669332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
+ <defs>
+ <path d="M 22.09375 34
+C 31 34 34.90625 26.140625 34.90625 17.09375
+C 34.90625 5.03125 28.5 0.390625 22.703125 0.390625
+C 17.40625 0.390625 8.796875 3.015625 6.09375 10.796875
+C 6.59375 10.59375 7.09375 10.59375 7.59375 10.59375
+C 10 10.59375 11.796875 12.1875 11.796875 14.796875
+C 11.796875 17.6875 9.59375 19 7.59375 19
+C 5.90625 19 3.296875 18.1875 3.296875 14.484375
+C 3.296875 5.234375 12.296875 -2 22.90625 -2
+C 34 -2 42.5 6.75 42.5 16.984375
+C 42.5 26.84375 34.5 34 25 35.09375
+C 32.59375 36.671875 39.90625 43.375 39.90625 52.390625
+C 39.90625 60.25 32 66 23 66
+C 13.90625 66 5.90625 60.34375 5.90625 52.296875
+C 5.90625 48.796875 8.5 48.1875 9.796875 48.1875
+C 11.90625 48.1875 13.703125 49.484375 13.703125 52.09375
+C 13.703125 54.6875 11.90625 56 9.796875 56
+C 9.40625 56 8.90625 56 8.5 55.796875
+C 11.40625 62.484375 19.296875 63.6875 22.796875 63.6875
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+C 32.90625 49.484375 32.5 44.546875 29.09375 40.21875
+C 26.09375 36.390625 22.703125 36.1875 19.40625 35.890625
+C 18.90625 35.890625 16.59375 35.6875 16.203125 35.6875
+C 15.5 35.59375 15.09375 35.5 15.09375 34.796875
+C 15.09375 34.09375 15.203125 34 17.203125 34
+z
+" id="CMR17-51"/>
+ </defs>
+ <use transform="scale(0.996264)" xlink:href="#CMR17-51"/>
+ </g>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="xtick_5">
+ <g id="line2d_5">
+ <g>
+ <use style="stroke:#000000;stroke-width:0.8;" x="295.68" xlink:href="#mb1945b9271" y="307.584"/>
+ </g>
+ </g>
+ <g id="text_5">
+ <!-- $\mathdefault{4}$ -->
+ <g transform="translate(293.189332 321.976201)scale(0.1 -0.1)">
+ <defs>
+ <path d="M 33.59375 64.796875
+C 33.59375 66.890625 33.5 67 31.703125 67
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index 90758cd..e6e7c1e 100644
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+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py
new file mode 100644
index 0000000..dac99a7
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/konvergenz.py
@@ -0,0 +1,20 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Jul 31 14:34:13 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
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+
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+phi = np.linspace(np.pi/2, 3*np.pi/2, 10**5)
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+def D(t):
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+
+
+plt.plot(phi, D(t)) \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
new file mode 100644
index 0000000..3a90afa
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/lambertAbstandBauchgefühl.py
@@ -0,0 +1,58 @@
+# -*- coding: utf-8 -*-
+"""
+Created on Sun Jul 31 13:32:53 2022
+
+@author: yanik
+"""
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+import scipy.special as sci
+
+W = sci.lambertw
+
+
+t = np.linspace(0, 1.2, 1000)
+x0 = 1
+y0 = 1
+
+r0 = np.sqrt(x0**2+y0**2)
+chi = (r0+y0)/(r0-y0)
+
+x = x0*np.sqrt(1/chi*W(chi*np.exp(chi-4*t/(r0-y0))))
+eta = (x/x0)**2
+y = 1/4*((y0+r0)*eta+(y0-r0)*np.log(eta)-r0+3*y0)
+
+ymin= (min(y)).real
+xmin = (x[np.where(y == ymin)][0]).real
+
+
+#Verfolger
+plt.plot(x, y, 'r--')
+plt.plot(xmin, ymin, 'bo', markersize=10)
+
+#Ziel
+plt.plot(np.zeros_like(t), t, 'g--')
+plt.plot(0, ymin, 'bo', markersize=10)
+
+
+plt.plot([0, xmin], [ymin, ymin], 'k--')
+#plt.xlim(-0.1, 1)
+#plt.ylim(1, 2)
+plt.ylabel("y")
+plt.xlabel("x")
+plt.grid(True)
+plt.quiver(xmin, ymin, -0.2, 0, scale=1)
+
+plt.text(xmin+0.1, ymin-0.1, "Verfolgungskurve", size=20, rotation=20, color='r')
+plt.text(0.01, 0.02, "Fluchtkurve", size=20, rotation=90, color='g')
+
+plt.rcParams.update({
+ "text.usetex": True,
+ "font.family": "serif",
+ "font.serif": ["New Century Schoolbook"],
+})
+
+plt.text(xmin-0.11, ymin-0.08, r"$\dot{v}$", size=20)
+plt.text(xmin-0.02, ymin+0.05, r"$V$", size=20, c='b')
+plt.text(0.02, ymin+0.05, r"$Z$", size=20, c='b') \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png
new file mode 100644
index 0000000..f41dffe
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/lambertw/main.tex b/buch/papers/lambertw/main.tex
index 9e6d04f..394963f 100644
--- a/buch/papers/lambertw/main.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/main.tex
@@ -7,7 +7,7 @@
\lhead{Verfolgungskurven}
\begin{refsection}
\chapterauthor{David Hugentobler und Yanik Kuster}
-
+%
%Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
%\begin{itemize}
%\item
@@ -26,12 +26,12 @@
%Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
%Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
%\end{itemize}
-
+%
\input{papers/lambertw/teil0.tex}
%\input{papers/lambertw/teil2.tex}
%\input{papers/lambertw/teil3.tex}
\input{papers/lambertw/teil4.tex}
\input{papers/lambertw/teil1.tex}
-
+%
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil0.tex b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
index 36ef7c3..6632eca 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil0.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil0.tex
@@ -6,15 +6,14 @@
\section{Was sind Verfolgungskurven?
\label{lambertw:section:Was_sind_Verfolgungskurven}}
\rhead{Was sind Verfolgungskurven?}
-
-Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt.
+%
+Verfolgungskurven tauchen oft auf bei Fragen wie ``Welchen Pfad begeht ein Hund während er einer Katze nachrennt?''.
Ein solches Problem hat im Kern immer ein Verfolger und sein Ziel.
Der Verfolger verfolgt sein Ziel, das versucht zu entkommen.
-Der Pfad, der der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt.
+Der Pfad, den der Verfolger während der Verfolgung begeht, wird Verfolgungskurve genannt.
Um diese Kurve zu bestimmen, kann das Verfolgungsproblem als Differentialgleichung formuliert werden.
Diese Differentialgleichung entspringt der Verfolgungsstrategie des Verfolgers.
-
-
+%
\subsection{Verfolger und Verfolgungsstrategie
\label{lambertw:subsection:Verfolger}}
Wie bereits erwähnt, wird der Verfolger durch seine Verfolgungsstrategie definiert.
@@ -25,85 +24,108 @@ Der Verfolger hat nur einen direkten Einfluss auf seinen Geschwindigkeitsvektor.
Mit diesem kann er neben Richtung und Betrag auch den Abstand zwischen Verfolger und Ziel kontrollieren.
Wenn zwei dieser drei Parameter durch die Strategie definiert werden, ist der dritte nicht mehr frei.
Daraus folgt, dass eine Strategie zwei dieser drei Parameter festlegen muss, um den Verfolger komplett zu beschreiben.
-
+%
\begin{table}
\centering
- \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
+ \begin{tabular}{|>{$}l<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|}
\hline
- \text{}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\
+ \text{Strategie}&\text{Geschwindigkeit}&\text{Abstand}&\text{Richtung}\\
\hline
- \text{Strategie 1}
- & \text{konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\
+ \text{Jagd}
+ & \text{konstant} & \text{-} & \text{direkt auf Ziel zu}\\
- \text{Strategie 2}
- & \text{-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel hinzu}\\
+ \text{Beschattung}
+ & \text{-} & \text{konstant} & \text{direkt auf Ziel zu}\\
- \text{Strategie 3}
+ \text{Vorhalt}
& \text{konstant} & \text{-} & \text{etwas voraus Zielen}\\
\hline
\end{tabular}
\caption{mögliche Verfolgungsstrategien}
\label{lambertw:table:Strategien}
\end{table}
-
+%
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.1]{./papers/lambertw/Bilder/pursuerDGL2.pdf}
- \caption{Vektordarstellung Strategie 1}
+ \includegraphics[scale=0.6]{./papers/lambertw/Bilder/Strategie.pdf}
+ \caption{Vektordarstellung Jagdstrategie}
\label{lambertw:grafic:pursuerDGL2}
\end{figure}
-
-In der Tabelle \eqref{lambertw:table:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt.
-Im Folgenden wird nur noch auf die Strategie 1 eingegangen.
+%
+In der Tabelle \ref{lambertw:table:Strategien} sind drei mögliche Strategien aufgezählt.
+Im Folgenden wird nur noch auf die Jagdstrategie eingegangen.
Bei dieser Strategie ist die Geschwindigkeit konstant und der Verfolger bewegt sich immer direkt auf sein Ziel zu.
-In der Abbildung \eqref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt,
-wobei $\vec{V}$ der Ortsvektor des Verfolgers, $\vec{Z}$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{\vec{V}}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist.
-Die konstante Geschwindigkeit kann man mit der Gleichung
+Der Verfolger und sein Ziel werden als Punkte $V$ und $Z$ modelliert.
+In der Abbildung \ref{lambertw:grafic:pursuerDGL2} ist das Problem dargestellt,
+wobei $v$ der Ortsvektor des Verfolgers, $z$ der Ortsvektor des Ziels und $\dot{v}$ der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers ist.
+Der Geschwindigkeitsvektor entspricht dem Richtungsvektors des Verfolgers.
+Die konstante Geschwindigkeit kann man mit
+%
\begin{equation}
- |\dot{\vec{V}}|
+ |\dot{v}|
= \operatorname{const} = A
- \quad A\in\mathbb{R}>0
+ \text{,}\quad A\in\mathbb{R}^+
+\end{equation}
+%
+darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor muss auf das Ziel zeigen, woraus folgt
+\begin{equation}
+ \dot{v}
+ \quad||\quad
+ z-v
+ \text{.}
+\end{equation}
+Um den Richtungsvektor zu konstruieren kann der Einheitsvektor parallel zu $z-v$ um $|\dot{v}|$ gestreckt werden, was zu
+\begin{equation}
+ \dot{v}
+ =
+ |\dot{v}|\cdot e_{z-v}
\end{equation}
-darstellen. Der Geschwindigkeitsvektor wiederum kann mit der Gleichung
+führt. Dies kann noch ausgeschrieben werden zu
\begin{equation}
- \frac{\vec{Z}-\vec{V}}{|\vec{Z}-\vec{V}|}\cdot|\dot{\vec{V}}|
+ \dot{v}
=
- \dot{\vec{V}}
+ |\dot{v}|\cdot\frac{z-v}{|z-v|}
+ \text{.}
+ \label{lambertw:richtungsvektor}
\end{equation}
-beschrieben werden.
-Die Differenz der Ortsvektoren $\vec{V}$ und $\vec{Z}$ ist ein Vektor der vom Punkt $V$ auf $Z$ zeigt.
-Da die Länge dieses Vektors beliebig sein kann, wird durch Division durch den Betrag, die Länge auf eins festgelegt.
+%
Aus dem Verfolgungsproblem ist auch ersichtlich, dass die Punkte $V$ und $Z$ nicht am gleichen Ort starten und so eine Division durch Null ausgeschlossen ist.
Wenn die Punkte $V$ und $Z$ trotzdem am gleichen Ort starten, ist die Lösung trivial.
-Nun wird die Gleichung mit $\dot{\vec{V}}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergeben sich
+
+Nun wird die Gleichung mit $\dot{v}$ skalar multipliziert, um das Gleichungssystem von zwei auf eine Gleichung zu reduzieren. Somit ergibt sich
\begin{align}
- \frac{\vec{Z}-\vec{V}}{|\vec{Z}-\vec{V}|}\cdot|\dot{\vec{V}}|\cdot\dot{\vec{V}}
+ \frac{z-v}{|z-v|}\cdot|\dot{v}|\cdot\dot{v}
&=
- |\dot{\vec{V}}|^2
- \\
+ |\dot{v}|^2
+\end{align}
+was algebraisch zu
+\begin{align}
\label{lambertw:pursuerDGL}
- \frac{\vec{Z}-\vec{V}}{|\vec{Z}-\vec{V}|}\cdot \frac{\dot{\vec{V}}}{|\dot{\vec{V}}|}
+ \frac{z-v}{|z-v|}\cdot \frac{\dot{v}}{|\dot{v}|}
&=
- 1 \text{.}
+ 1
\end{align}
-Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, insofern der Verfolger die Strategie 1 verwendet.
-
+umgeformt werden kann.
+Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten Verfolgungskurven, sofern der Verfolger die Jagdstrategie verwendet.
+%
\subsection{Ziel
\label{lambertw:subsection:Ziel}}
Als nächstes gehen wir auf das Ziel ein.
Wie der Verfolger wird auch unser Ziel sich strikt an eine Fluchtstrategie halten, welche von Anfang an bekannt ist.
-Diese Strategie kann als Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden.
+Als Strategie eignet sich eine definierte Fluchtkurve oder ähnlich wie beim Verfolger ein Verhalten, das vom Verfolger abhängig ist.
+Ein vom Verfolger abhängiges Verhalten führt zu einem gekoppeltem DGL-System, das schwierig zu lösen sein wird.
+Eine definierte Fluchtkurve kann mit einer Parameterdarstellung der Position nach der Zeit beschrieben werden.
Zum Beispiel könnte ein Ziel auf einer Geraden flüchten, welches auf einer Ebene mit der Parametrisierung
-
+%
\begin{equation}
- \vec{Z}(t)
+ z(t)
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
\end{equation}
-
+%
beschrieben werden könnte.
Mit dieser Gleichung ist das Ziel auch schon vollumfänglich definiert.
-Die Fluchtkurve kann eine beliebige Form haben, jedoch wird die zu lösende Differentialgleichung für die Verfolgungskurve immer komplexer.
+Für die Fluchtkurve kann eine beliebige Form gewählt werden, jedoch wird die zu lösende Differentialgleichung für die Verfolgungskurve komplexer.
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil1.tex b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
index fa7deb1..e8eca2c 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil1.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil1.tex
@@ -6,134 +6,183 @@
\section{Wird das Ziel erreicht?
\label{lambertw:section:Wird_das_Ziel_erreicht}}
\rhead{Wird das Ziel erreicht?}
-
+%
Sehr oft kommt es vor, dass bei Verfolgungsproblemen die Frage auftaucht, ob das Ziel überhaupt erreicht wird.
Wenn zum Beispiel die Geschwindigkeit des Verfolgers kleiner ist als diejenige des Ziels, gibt es Anfangsbedingungen bei denen das Ziel nie erreicht wird.
Im Anschluss dieser Frage stellt sich meist die nächste Frage, wie lange es dauert bis das Ziel erreicht wird.
-Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und an einem Beispiel betrachtet.
+Diese beiden Fragen werden in diesem Kapitel behandelt und am Beispiel aus \ref{lambertw:section:teil4} betrachtet.
+Das Beispiel wird bei dieser Betrachtung noch etwas erweitert indem alle Punkte auf der gesamtem $xy$-Ebene als Startwerte zugelassen werden.
+
+Nun gilt es zu definieren, wann das Ziel erreicht wird.
+Da sowohl Ziel und Verfolger als Punkte modelliert wurden, gilt das Ziel als erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
+Somit gilt es
+%
+\begin{equation}
+ z(t_1)=v(t_1)
+ \label{bedingung_treffer}
+\end{equation}
+%
+zu lösen.
+Die Parametrisierung von $z(t)$ ist im Beispiel definiert als
+\begin{equation}
+ z(t)
+ =
+ \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)\text{.}
+\end{equation}
+%
+Die Parametrisierung von $v(t)$ ist von den Startbedingungen abhängig. Deshalb wird die Bedingung \eqref{bedingung_treffer} jeweils für die unterschiedlichen Startbedingungen separat analysiert.
+%
+\subsection{Anfangsbedingung im ersten Quadranten}
%
-%\subsection{Ziel erreichen (überarbeiten)
-%\label{lambertw:subsection:ZielErreichen}}
-Für diese Betrachtung wird das Beispiel aus \eqref{lambertw:section:teil4} zur Hilfe genommen.
-Wir verwenden die hergeleiteten Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkXNachT} für Startbedingung im ersten Quadranten
-\begin{align*}
+Wenn der Verfolger im ersten Quadranten startet, dann kann $v(t)$ mit den Gleichungen aus \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}, welche
+\begin{align}
x\left(t\right)
&=
- x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}} \\
+ x_0\cdot\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right) \right)} \\
y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\\
\chi
&=
- \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}\\
+ \frac{r_0+y_0}{r_0-y_0}, \quad
\eta
- &=
- \left(\frac{x}{x_0}\right)^2\\
+ =
+ \left(\frac{x}{x_0}\right)^2,\quad
r_0
- &=
- \sqrt{x_0^2+y_0^2} \text{.}\\
-\end{align*}
-%
-Das Ziel wird erreicht, wenn die Koordinaten des Verfolgers mit denen des Ziels bei einem diskreten Zeitpunkt $t_1$ übereinstimmen.
-Somit gilt es
-
-\begin{equation*}
- \vec{Z}(t_1)=\vec{V}(t_1)
-\end{equation*}
-%
-zu lösen.
-Aus dem vorangegangenem Beispiel, ist die Parametrisierung des Verfolgers und des Ziels bekannt.
-Das Ziel wird parametrisiert durch
-
-\begin{equation}
- \vec{Z}(t)
=
- \left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
-\end{equation}
+ \sqrt{x_0^2+y_0^2}
+ \text{.}
+\end{align}
%
-und der Verfolger durch
-
+Der Verfolger ist durch
\begin{equation}
- \vec{V}(t)
+ v(t)
=
\left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right)
\text{.}
\end{equation}
%
- Da $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$ wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt. Wobei die Bedingung der x- und y-Koordinaten einzeln überprüft werden. Es entstehen daher folgende Bedingungen
-
-\begin{align*}
+parametrisiert, wobei $y(t)$ viel komplexer ist als $x(t)$.
+Daher wird das Problem in zwei einzelne Teilprobleme zerlegt, wodurch die Bedingung der $x$- und $y$-Koordinaten einzeln überprüft werden müssen. Es entstehen daher die Bedingungen
+%
+\begin{align}
0
&=
x(t)
=
- x_0\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}
+ x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}
\\
t
&=
y(t)
=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)
- \\
-\end{align*}
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right)\text{,}
+\end{align}
%
-, welche Beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
-Zuerst wird die Bedingung der x-Koordinate betrachtet.
-Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt
+welche beide gleichzeitig erfüllt sein müssen, damit das Ziel erreicht wurde.
+Zuerst wird die Bedingung der $x$-Koordinate betrachtet.
+Da $x_0 \neq 0$ und $\chi \neq 0$ kann
\begin{equation}
- 0
- =
- W\left(\chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
- \text{.}
+ 0
+ =
+ x_0\sqrt{\frac{1}{\chi}W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}
\end{equation}
-%
+algebraisch zu
+\begin{equation}
+ 0
+ =
+ W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
+\end{equation}
+umgeformt werden.
Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
-Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
-
+Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Mit der einzigen Nullstelle der Lambert W-Funktion bei
\begin{equation*}
W(0)=0
+ \text{,}
\end{equation*}
-%
-besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
-
+kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
\begin{equation}
0
=
- \chi\cdot e^{\chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+ \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
\text{.}
\end{equation}
-%
Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
-Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre.
-Somit kann nach den Gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
-Aus der Symmetrie des Problems an der y-Achse können auch alle Anfangspunkte im zweiten Quadranten die Bedingungen nicht erfüllen.
-Bei allen Anfangspunkten mit $y_0<0$ ist ein Einholen unmöglich, da die Geschwindigkeit des Verfolgers und Ziels übereinstimmen und der Verfolger dem Ziel bereits am Anfang nachgeht.
-Wenn die Wertemenge der Anfangsbedingung um die positive y-Achse erweitert wird, kann das Ziel wiederum erreicht werden.
-Sobald der Verfolger auf der positiven y-Achse startet, bewegen sich Verfolger und Ziel aufeinander zu, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt und der Verfolger sich auf der Fluchtgeraden befindet.
-Dies führt zwingend dazu, dass der Verfolger das Ziel erreichen wird.
-Die Verfolgungskurve kann in diesem Fall mit
-
+Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste, damit ein Einholen möglich wäre.
+Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+%
+%
+%
+%Diese kann durch dividieren durch $x_0$, anschliessendes quadrieren und multiplizieren von $\chi$ vereinfacht werden. Daraus folgt
+%\begin{equation}
+% 0
+% =
+% W\left(\chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
+% \text{.}
+%5\end{equation}
+%
+%Es ist zu beachten, dass $W(x)$ die Lambert W-Funktion ist, welche im Kapitel \eqref{buch:section:lambertw} behandelt wurde.
+%Diese Gleichung entspricht genau den Nullstellen der Lambert W-Funktion. Da die Lambert W-Funktion genau eine Nullstelle bei
+%
+%\begin{equation*}
+% W(0)=0
+%\end{equation*}
+%
+%besitzt, kann die Bedingung weiter vereinfacht werden zu
+%
+%\begin{equation}
+% 0
+% =
+% \chi\cdot \exp\left( \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
+% \text{.}
+%\end{equation}
+%
+%Da $\chi\neq0$ und die Exponentialfunktion nie null sein kann, ist diese Bedingung unmöglich zu erfüllen.
+%Beim Grenzwert für $t\rightarrow\infty$ geht die Exponentialfunktion gegen null.
+%Dies nützt nicht viel, da unendlich viel Zeit vergehen müsste damit ein Einholen möglich wäre.
+%Somit kann nach den gestellten Bedingungen das Ziel nie erreicht werden.
+%
+\subsection{Anfangsbedingung $y_0<0$}
+Da die Geschwindigkeit des Verfolgers und des Ziels übereinstimmen, kann der Verfolger niemals das Ziel einholen.
+Dies kann veranschaulicht werden anhand
+%
+\begin{equation}
+ v(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)
+ \leq
+ z(t)\cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)
+ =
+ 1\text{.}
+\end{equation}
+%
+Da der $y$-Anteil der Geschwindigkeit des Ziels grösser-gleich der des Verfolgers ist, können die $y$-Koordinaten nie übereinstimmen.
+%
+\subsection{Anfangsbedingung auf positiven $y$-Achse}
+Wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet, befindet er sich direkt auf der Fluchtgeraden des Ziels.
+Dies führt dazu, dass der Verfolger und das Ziel sich direkt aufeinander zu bewegen, da der Geschwindigkeitsvektor des Verfolgers auf das Ziel zeigt.
+Die Folge ist, dass das Ziel zwingend erreicht wird.
+Um $t_1$ zu bestimmen, kann die Verfolgungskurve in diesem Fall mit
+%
\begin{equation}
- \vec{V}(t)
+ v(t)
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ y_0-t \end{array} \right)
\end{equation}
%
parametrisiert werden.
Nun kann der Abstand zwischen Verfolger und Ziel leicht bestimmt und nach 0 aufgelöst werden.
-Daraus folgt
-
+Woraus folgt
+%
\begin{equation}
0
=
- |\vec{V}(t_1)-\vec{Z}(t_1)|
+ |v(t_1)-z(t_1)|
=
- y_0-2t_1
+ y_0-2t_1\text{,}
\end{equation}
%
-, was aufgelöst zu
-
+was aufgelöst zu
+%
\begin{equation}
t_1
=
@@ -141,29 +190,160 @@ Daraus folgt
\end{equation}
%
führt.
-Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven y-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
+Somit wird das Ziel immer erreicht bei $t_1$, wenn der Verfolger auf der positiven $y$-Achse startet.
+\subsection{Fazit}
+Durch die Symmetrie der Fluchtkurve an der $y$-Achse führen die Anfangsbedingungen im ersten und zweiten Quadranten zu den gleichen Ergebnissen. Nun ist klar, dass lediglich Anfangspunkte auf der positiven $y$-Achse oder direkt auf dem Ziel dazu führen, dass der Verfolger das Ziel bei $t_1$ einholt.
Bei allen anderen Anfangspunkten wird der Verfolger das Ziel nie erreichen.
Dieses Resultat ist aber eher akademischer Natur, weil der Verfolger und das Ziel als Punkt betrachtet wurden.
Wobei aber in Realität nicht von Punkten sondern von Objekten mit einer räumlichen Ausdehnung gesprochen werden kann.
Somit wird in einer nächsten Betrachtung untersucht, ob der Verfolger dem Ziel näher kommt als ein definierter Trefferradius.
Falls dies stattfinden sollte, wird dies als Treffer interpretiert.
Mathematisch kann dies mit
-
+%
\begin{equation}
- |\vec{V}-\vec{Z}|<a_{min} \quad a_{min}\in\mathbb{R}>0
+ |v-z|<a_{\text{min}} \text{,}\quad a_{\text{min}}\in\mathbb{R}^+
\end{equation}
%
-beschrieben werden, wobei $a_{min}$ dem Trefferradius entspricht.
+beschrieben werden, wobei $a_{\text{min}}$ dem Trefferradius entspricht.
Durch quadrieren verschwindet die Wurzel des Betrages, womit
-
+%
\begin{equation}
- |\vec{V}-\vec{Z}|^2<a_{min}^2 \quad a_{min}\in \mathbb{R} > 0
+ |v-z|^2<a_{\text{min}}^2 \text{,}\quad a_{\text{min}}\in \mathbb{R}^+
+ \label{lambertw:minimumAbstand}
\end{equation}
%
die neue Bedingung ist.
-Da sowohl der Betrag als auch $a_{min}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
-
-
-
+Da sowohl der Betrag als auch $a_{\text{min}}$ grösser null sind, bleibt die Aussage unverändert.
+%
+\subsection{trügerische Intuition}%verleitende/trügerische/verführerisch
+In der Grafik \ref{lambertw:grafic:intuition} ist eine Mögliche Verfolgungskurve dargestellt, wobei für die Startbedingung der erste-Quadrant verwendet wurde.
+Als erste Intuition für den Punkt bei dem $|v-z|$ minimal ist bietet sich der tiefste Punkt der Verfolgungskurve an, bei dem der y-Anteil des Richtungsvektors null entspricht.
+Es kann argumentiert werden, dass weil die Geschwindigkeiten gleich gross sind und $\dot{v}$ sich aus einem $y$- als auch einem $x$-Anteil zusammensetzt und $\dot{z}$ nur ein $y$-Anteil besitzt, der Abstand nur grösser werden kann, wenn $e_y\cdot z>e_y\cdot v$.
+Aus diesem Argument würde folgen, dass beim tiefsten Punkt der Verfolgungskurve im Beispiel den minimalen Abstand befindet.
+%
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[scale=0.4]{./papers/lambertw/Bilder/Intuition.pdf}
+ \caption{Intuition}
+ \label{lambertw:grafic:intuition}
+\end{figure}
+%
+Dieses Argument kann leicht überprüft werden, indem lokal alle relevanten benachbarten Punkte betrachtet und das Vorzeichen der Änderung des Abstandes überprüft wird.
+Dafür wird ein Ausdruck benötigt, der den Abstand und die benachbarten Punkte beschreibt.
+Der Richtungsvektor wird allgemein mit dem Winkel $\alpha \in[ 0, 2\pi)$
+Die Ortsvektoren der Punkte können wiederum mit
+\begin{align}
+ v
+ &=
+ t\cdot\left(\begin{array}{c} \cos (\alpha) \\ \sin (\alpha) \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} x_0 \\ y_0 \end{array}\right)
+ \\
+ z
+ &=
+ \left(\begin{array}{c} 0 \\ t \end{array}\right)
+\end{align}
+beschrieben werden. Der Verfolger wurde allgemein für jede Richtung $\alpha$ definiert, um alle unmittelbar benachbarten Punkte beschreiben zu können.
+Da der Abstand
+\begin{equation}
+ a
+ =
+ |v-z|
+ \geq
+ 0
+\end{equation}
+ist, kann durch quadrieren ohne Informationsverlust die Rechnung vereinfacht werden zu
+\begin{equation}
+ a^2
+ =
+ |v-z|^2
+ =
+ (t\cdot\cos(\alpha)+x_0)^2+t^2(\sin(\alpha)-1)^2
+ \text{.}
+\end{equation}
+Der Abstand im Quadrat abgeleitet nach der Zeit ist
+\begin{equation}
+ \frac{d a^2}{d t}
+ =
+ 2(t\cdot\cos (\alpha)+x_0)\cdot\cos(\alpha)(\alpha)+2t(\sin(\alpha)-1)^2
+ \text{.}
+\end{equation}
+Da nur die unmittelbar benachbarten Punkten von Interesse sind, wird die Ableitung für $t=0$ untersucht. Dabei kann die Ableitung in
+\begin{align}
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &=
+ 2x_0\cos(\alpha)
+ \\
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &<
+ 0\Leftrightarrow\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)
+ \\
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &>
+ 0\Leftrightarrow\alpha\in\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)
+ \\
+ \frac{d a^2}{d t}
+ &=
+ 0\Leftrightarrow\alpha\in\left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right\}
+\end{align}
+unterteilt werden.
+Von Interesse ist lediglich das Intervall $\alpha\in\left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$, da der Verfolger sich stets in die negative $y$-Richtung bewegt.
+In diesem Intervall ist die Ableitung negativ, woraus folgt, dass jeglicher unmittelbar benachbarte Punkt, den der Verfolger als nächstes begehen könnte, stets näher am Ziel ist als zuvor.
+Dies bedeutet, dass der Scheitelpunkt der Verfolgungskurve nie ein lokales Minimum bezüglich des Abstandes sein kann.
+%
+\subsection{Wo ist der Abstand minimal?}
+Damit der Verfolger das Ziel erreicht muss die Bedingung \eqref{lambertw:minimumAbstand} erfüllt sein.
+Somit ist es ausreichend zu zeigen, dass
+\begin{equation}
+ \operatorname{min}(|z-v|)<a_\text{min}
+ \label{lambertw:Bedingung:abstandMinimal}
+\end{equation}
+erfüllt ist.
+Für folgende Betrachtung wurde für den Verfolger die Jagdstrategie mit $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ gewählt.
+Das Minimum des Abstandes kann mit
+\begin{equation}
+ 0=\frac{d|z-v|}{dt}
+\end{equation}
+gefunden werden.
+Mithilfe $(z-v)(z-v)=|z-v|^2$ kann die Gleichung umgeformt werden zu
+\begin{equation}
+ 0=\frac{d(\sqrt{(z-v)(z-v)})}{dt}
+ \text{.}
+\end{equation}
+Jetzt kann die Ableitung leicht ausgeführt werden, womit
+\begin{equation}
+ 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{z-v}{\sqrt{(z-v)(z-v)}}
+\end{equation}
+entsteht.
+In dieser Gleichung kann $(z-v)(z-v)=|z-v|^2$ nochmals angewendet werden, wodurch die Gleichung zu
+\begin{equation}
+ 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{z-v}{|z-v|}
+\end{equation}
+umgeformt werden kann.
+Nun ist die Struktur der Gleichung \eqref{lambertw:richtungsvektor} erkennbar.
+Wird dies ausgenutzt folgt
+\begin{equation}
+ 0=(\dot{z}-\dot{v})\frac{\dot{v}}{|\dot{v}|}
+ \text{.}
+\end{equation}
+Durch algebraische Umwandlung kann die Gleichung in die Form
+\begin{equation}
+ \dot{z}\dot{v}=|\dot{v}|^2
+\end{equation}
+gebracht werden.
+Da $|\dot{v}|=|\dot{z}|$ folgt
+\begin{equation}
+ \cos(\alpha)=1
+ \text{,}
+\end{equation}
+wobei $\alpha$ der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ist.
+Mit $|\dot{z}|=|\dot{v}|=1$ entsteht
+\begin{equation}
+ \cos(\alpha)=1
+ \text{,}
+\end{equation}
+woraus folgt, dass nur bei $\alpha=0$, wenn $\alpha \in [0,2\pi)$, ein lokales als auch globales Minimum vorhanden sein kann.
+$\alpha=0$ bedeutet, dass $\dot{v}=\dot{z}$ sein muss.
+Da die Richtungsvektoren bei $t\rightarrow\infty$ immer in die gleiche Richtung zeigen ist dort die Bedingung immer erfüllt.
+Dies entspricht gerade dem einen Rand von $t$, der andere Rand bei $t=0$ muss auch auf lokales bzw. globales Minimum untersucht werden.
+Daraus folgt, dass die Bedingung \eqref{lambertw:Bedingung:abstandMinimal} lediglich für den Abstand bei $t=\{0, \infty\}$ überprüft werden muss. \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/lambertw/teil4.tex b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
index 84a0ec7..1053dd1 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -6,29 +6,29 @@
\section{Beispiel einer Verfolgungskurve
\label{lambertw:section:teil4}}
\rhead{Beispiel einer Verfolgungskurve}
-In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie 1 beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt werden und anschliessend gelöst werden.
+In diesem Abschnitt wird rechnerisch das Beispiel einer Verfolgungskurve mit der Verfolgungsstrategie ``Jagd'' beschreiben. Dafür werden zuerst Bewegungsraum, Anfangspositionen und Bewegungsverhalten definiert, in einem nächsten Schritt soll eine Differentialgleichung dafür aufgestellt und anschliessend gelöst werden.
\subsection{Anfangsbedingungen definieren und einsetzen
\label{lambertw:subsection:Anfangsbedingungen}}
-Das zu verfolgende Ziel \(\vec{Z}\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(v = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(\vec{V}\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{V}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
+Das zu verfolgende Ziel \(Z\) bewegt sich entlang der \(y\)-Achse mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{z}| = 1\), beginnend beim Ursprung des Kartesischen Koordinatensystems. Der Verfolger \(V\) startet auf einem beliebigen Punkt im ersten Quadranten und bewegt sich auch mit konstanter Geschwindigkeit \(|\dot{v}| = 1\) in Richtung Ziel. Diese Anfangspunkte oder Anfangsbedingungen können wie folgt formuliert werden:
\begin{equation}
- \vec{Z}
+ Z
=
- \left( \begin{array}{c} 0 \\ v \cdot t \end{array} \right)
+ \left( \begin{array}{c} 0 \\ |\dot{z}| \cdot t \end{array} \right)
=
\left( \begin{array}{c} 0 \\ t \end{array} \right)
,\:
- \vec{V}
+ V
=
\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)
\:\text{und}\:\:
- \bigl| \dot{V} \bigl|
+ |\dot{v}|
=
1.
\label{lambertw:Anfangsbed}
\end{equation}
Wir haben nun die Anfangsbedingungen definiert, jetzt fehlt nur noch eine DGL, welche die fortlaufende Änderung der Position und Bewegungsrichtung des Verfolgers beschreibt.
-Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt ergibt sich folgender Ausdruck:
+Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} definiert, und zwar Gleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL}. Wenn man die Startpunkte einfügt, ergibt sich der Ausdruck
\begin{equation}
\frac{\left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)}{\sqrt{x^2 + (t-y)^2}}
\cdot
@@ -38,57 +38,76 @@ Diese DGL haben wir bereits in Kapitel \ref{lambertw:subsection:Verfolger} defin
\label{lambertw:eqMitAnfangsbed}
\end{equation}
-\subsection{DGL vereinfachen
+\subsection{Differentialgleichung vereinfachen
\label{lambertw:subsection:DGLvereinfach}}
-Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
-Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraische Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Also legen wir los!
+Nun haben wir eine Gleichung, es stellt sich aber die Frage, ob es überhaupt eine geschlossene Lösung dafür gibt. Eine Funktion welche die Beziehung \(y(x)\) beschreibt oder sogar \(x(t)\) und \(y(t)\) liefert. Zum jetzigen Zeitpunkt mag es nicht trivial scheinen, aber mit den gewählten Anfangsbedingungen \eqref{lambertw:Anfangsbed} ist es möglich eine geschlossene Lösung für die Gleichung \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} zu finden.
-Zuerst müssen wir den Bruch in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} los werden, der sieht so nicht handlich aus. Dafür multiplizieren wir beidseitig mit dem Nenner:
-\begin{equation}
- \left( \begin{array}{c} 0-x \\ t-y \end{array} \right)
- \cdot
- \left(\begin{array}{c} \dot{x} \\ \dot{y} \end{array}\right)
- = \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
- \label{lambertw:eqOhneBruch}
-\end{equation}
-In einem weiteren Schritt, lösen wir das Skalarprodukt auf und erhalten folgende Gleichung \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} ohne vektorielle Grössen:
+Auf dem Weg dahin muss die definierte DGL zuerst wesentlich vereinfacht werden, sei es mittels algebraischer Umformungen oder mit den Tools aus der Analysis. Da die nächsten Schritte sehr algebralastig sind und sie das Lesen dieses Papers träge machen würden, werden wir uns hier nur auf die wesentlichsten Schritte konzentrieren, welche notwendig sind, um den Lösungsweg nachvollziehen zu können.
+
+\subsubsection{Skalarprodukt auflösen
+ \label{lambertw:subsubsection:SkalProdAufl}}
+Zuerst müssen wir den Bruch und das Skalarprodukt in \eqref{lambertw:eqMitAnfangsbed} wegbringen, damit wir eine viel handlichere Differentialgleichung erhalten. Dies führt zu
\begin{equation}
-x \cdot \dot{x} + (t-y) \cdot \dot{y}
= \sqrt{x^2 + (t-y)^2}.
\label{lambertw:eqOhneSkalarprod}
\end{equation}
-Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Meiner Meinung ziemlich elegant und nicht selbstverständlich in der Lage zu sein, das Problem auf eine einzige Gleichung reduzieren zu können.
+Im letzten Schritt, fällt die Nützlichkeit des Skalarproduktes in der Verfolgungsgleichung \eqref{lambertw:pursuerDGL} markant auf. Anstatt zwei gekoppelte Differentialgleichungen zu erhalten, eine für die \(x\)- und die andere für die \(y\)-Komponente, erhält man einen einzigen Ausdruck, was in der Regel mit weniger Lösungsaufwand verbunden ist.
-Die nächsten Schritte sind sehr algebralastig und würden das lesen dieses Papers einfach nur mühsam machen, also werde ich diese auslassen. Hingegen werden ich die algebraische Hauptschritte erwähnen, die notwendig wären falls man es trotzdem selber ausprobieren möchte:
-\begin{itemize}
- \item
- Quadrieren und erweitern.
- \item
- Gruppieren.
- \item
- Substitution von einzelnen Thermen mittels der Beziehung \(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = 1\).
- \item
- Und das erkennen des Musters einer Binomischen Formel.
-\end{itemize}
-Das Resultat aller dieser Vereinfachungen führen zu folgender Gleichung \eqref{lambertw:eqAlgVerinfacht}, die viel handhabbarer ist als zuvor:
+\subsubsection{Quadrieren und Gruppieren
+ \label{lambertw:subsubsection:QuadUndGrup}}
+Mit der Quadratwurzel in \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} kann man nichts anfangen, sie steht nur im Weg, also muss man sie loswerden. Wenn man dies macht, kann \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} auf die Form
+\begin{equation}
+ \left(\dot{x}^2-1\right) \cdot x^2 -2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \left(\dot{y}^2-1\right) \cdot \left(t-y\right)^2
+ =0
+ \label{lambertw:eqOhneWurzel}
+\end{equation}
+gebracht werden.
+Diese Form mag auf den ersten Blick nicht gerade nützlich sein, aber man kann sie mit einer Substitution weiter vereinfachen.
+
+\subsubsection{Wichtige Substitution
+ \label{lambertw:subsubsection:WichtSubst}}
+Wenn man beachtet, dass die Geschwindigkeit des Verfolgers konstant und gleich 1 ist, dann ergibt sich die Beziehung
+\begin{equation}
+ \dot{x}^2 + \dot{y}^2
+ = 1.
+ \label{lambertw:eqGeschwSubst}
+\end{equation}
+Umformungen der Gleichung \eqref{lambertw:eqGeschwSubst} können in \eqref{lambertw:eqOhneWurzel} erkannt werden. Wenn man sie ersetzt, erhält man
+\begin{equation}
+ \dot{y}^2 \cdot x^2 +2x \left(t-y\right) \dot{x}\dot{y} + \dot{x}^2 \cdot \left(t-y\right)^2
+ =0.
+ \label{lambertw:eqGeschwSubstituiert}
+\end{equation}
+Diese unscheinbare Substitution führt dazu, dass weitere Vereinfachungen durchgeführt werden können.
+
+\subsubsection{Binom erkennen und vereinfachen
+ \label{lambertw:subsubsection:BinomVereinfach}}
+Versteckt im Ausdruck \eqref{lambertw:eqGeschwSubstituiert} befindet sich die erste binomische Formel, wobei
\begin{equation}
(x \dot{y} + (t-y) \dot{x})^2
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:eqAlgVerinfacht}
\end{equation}
-Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein, somit folgt eine weitere Vereinfachung, welche zu einer im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfachere DGL führt:
+die faktorisierte Darstellung davon ist.
+Da der linke Term gleich Null ist, muss auch der Inhalt des Quadrates gleich Null sein. Es ergibt sich eine weitere Vereinfachung, welche zu der im Vergleich zu \eqref{lambertw:eqOhneSkalarprod} wesentlich einfacheren DGL
\begin{equation}
x \dot{y} + (t-y) \dot{x}
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:eqGanzVerinfacht}
\end{equation}
-Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen. Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
+führt.
+Kompakt, ohne Wurzelterme und Quadrate, nur elementare Operationen und Ableitungen.
+
+Nun stellt sich die Frage wie es weiter gehen soll, bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} scheinen keine weiteren Vereinfachungen möglich zu sein. Wir brauchen einen neuen Ansatz, um unser Ziel einer möglichen Lösung zu verfolgen.
\subsection{Zeitabhängigkeit loswerden
\label{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}}
-Der nächste logischer Schritt schient irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
+Der nächste logische Schritt scheint irgendwie die Zeitabhängigkeit in der Gleichung \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} loszuwerden, aber wieso? Nun, wie am Anfang von Abschnitt \ref{lambertw:subsection:DGLvereinfach} beschrieben, suchen wir eine Lösung der Art \(y(x)\), dies ist natürlich erst möglich wenn wir die Abhängigkeit nach \(t\) eliminieren können.
-Der erste Schritt auf dem Weg dahin, ist es die zeitlichen Ableitung los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig mit \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
+\subsubsection{Zeitliche Ableitungen loswerden
+ \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
+Der erste Schritt auf dem Weg zur Funktion \(y(x)\) ist, die zeitlichen Ableitungen los zu werden, dafür wird \eqref{lambertw:eqGanzVerinfacht} beidseitig durch \(\dot{x}\) dividiert, was erlaubt ist, weil diese Änderung ungleich Null ist:
\begin{equation}
x \frac{\dot{y}}{\dot{x}} + (t-y) \frac{\dot{x}}{\dot{x}}
= 0.
@@ -103,32 +122,40 @@ Der Grund dafür ist, dass
\label{lambertw:eqQuotZeitAbleit}
\end{equation}
und somit kann der Quotient dieser zeitlichen Ableitungen in eine Ableitung nach \(x\) umgewandelt werden.
-Nach dem diese Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht folgende neue Gleichung:
+Nach dem die Eigenschaft \eqref{lambertw:eqQuotZeitAbleit} in \eqref{lambertw:eqVorKeineZeitAbleit} eingesetzt wird und vereinfacht wurde, entsteht die neue Gleichung
\begin{equation}
x y^{\prime} + t - y
= 0.
\label{lambertw:DGLmitT}
\end{equation}
-Hier wäre es natürlich passend wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte. Um dies zu erreichen muss man auf die Definition der Bogenlänge aus der Analysis zurückgreifen, wobei die Strecke \(s\) folgendem entspricht:
+
+\subsubsection{Variable \(t\) eliminieren
+ \label{lambertw:subsubsection:ZeitAbleit}}
+Hier wäre es natürlich passend, wenn man die Abhängigkeit nach \(t\) komplett wegbringen könnte, aber wie?
+Wir wissen, dass sich der Verfolger mit Geschwindigkeit 1 bewegt, also legt er in der Zeit \(t\) die Strecke \(1\cdot t = t\) zurück. Längen und Strecken können auch mit der Bogenlänge repräsentiert werden, somit kann Zeit und zurückgelegte Strecke in der Gleichung
\begin{equation}
s
=
- v \cdot t
+ |\dot{v}| \cdot t
=
1 \cdot t
=
t
=
- \int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx.
+ \int_{\displaystyle x_0}^{\displaystyle x_{\text{end}}}\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx
\label{lambertw:eqZuBogenlaenge}
\end{equation}
-Nicht gerade auffällig ist die Richtung in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert. Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich folgender Ausdruck:
+verbunden werden.
+
+Nicht gerade auffällig ist die Richtung, in welche hier integriert wird. Wenn der Verfolger sich wie vorgesehen am Anfang im ersten Quadranten befindet, dann muss sich dieser nach links bewegen, was nicht der üblichen Integrationsrichtung entspricht. Um eine Integration wie üblich von links nach rechts ausführen zu können, müssen die Integrationsgenerzen vertauscht werden, was in einem Vorzeichenwechsel resultiert.
+
+Wenn man nun \eqref{lambertw:eqZuBogenlaenge} in die DGL \eqref{lambertw:DGLmitT} einfügt, dann ergibt sich der neue Ausdruck
\begin{equation}
x y^{\prime} - \int\sqrt{1+y^{\prime\, 2}} \: dx - y
= 0.
\label{lambertw:DGLohneT}
\end{equation}
-Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhaltet folgende DGL \eqref{lambertw:DGLohneInt}:
+Um das Integral los zu werden, leitet man \eqref{lambertw:DGLohneT} nach \(x\) ab und erhält die DGL zweiter Ordnung
\begin{align}
y^{\prime}+ xy^{\prime\prime} - \sqrt{1+y^{\prime\, 2}} - y^{\prime}
&= 0, \\
@@ -136,18 +163,25 @@ Um das Integral los zu werden, leitet man den vorherigen Ausdruck \eqref{lambert
&= 0.
\label{lambertw:DGLohneInt}
\end{align}
-Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im Nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
+Nun sind wir unserem Ziel einen weiteren Schritt näher. Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} mag auf den ersten Blick nicht gerade einfach sein, aber im nächsten Abschnitt werden wir sehen, dass sie relativ einfach zu lösen ist.
-\subsection{DGL lösen
+\subsection{Differentialgleichung lösen
\label{lambertw:subsection:DGLloes}}
-Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung und kann
-mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in eine DGL erster Ordnung umgewandelt werden:
+Die Gleichung \eqref{lambertw:DGLohneInt} ist eine DGL zweiter Ordnung, in der \(y\) nicht vorkommt. Sie kann mittels der Substitution \(y^{\prime} = u\) in die DGL
\begin{equation}
xu^{\prime} - \sqrt{1+u^2}
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:DGLmitU}
\end{equation}
-Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar ist, aus diesem Grund werde ich direkt zur Lösung \eqref{lambertw:loesDGLmitU} übergehen:
+erster Ordnung umgewandelt werden.
+Diese Gleichung ist separierbar, was sie viel handlicher macht. In der separierten Form
+\begin{equation}
+ \int{\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\:du}
+ =
+ \int{\frac{1}{x}\:dx},
+\end{equation}
+lässt sich die Gleichung mittels einer Integrationstabelle sehr rasch lösen.
+Das Ergebnis ist
\begin{align}
\operatorname{arsinh}(u)
&=
@@ -157,20 +191,23 @@ Diese \eqref{lambertw:DGLmitU} zu lösen ist ziemlich einfach da sie separierbar
\operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
\label{lambertw:loesDGLmitU}
\end{align}
-Indem man die Substitution rückgängig macht, erhält man eine weitere DGL erster Ordnung die bereits separiert ist und erhält folgende Gleichung:
+Wenn man in \eqref{lambertw:loesDGLmitU} die Substitution rückgängig macht, erhält man die DGL
\begin{equation}
y^{\prime}
=
- \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C).
+ \operatorname{sinh}(\operatorname{ln}(x) + C)
\label{lambertw:loesDGLmitY}
\end{equation}
-Diese \eqref{lambertw:loesDGLmitY} kann mit den selben Methoden gelöst werden wie \eqref{lambertw:DGLmitU}, diesmal aber in Kombination mit der exponentiellen Definition der \(\operatorname{sinh}\)-Funktion:
+erster Ordnung, die bereits separiert ist.
+Ersetzt man den \(\operatorname{sinh}\) durch seine exponentiellen Definition \(\operatorname{sinh}(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})\), so resultiert auf sehr einfache Art die Lösung
\begin{equation}
y
=
- C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}.
+ C_1 + C_2 x^2 - \frac{\operatorname{ln}(x)}{8 \cdot C_2}
\end{equation}
-Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage ob sie überhaupt plausibel ist. Dieser Frage werden wir in nächsten Abschnitt \ref{lambertw:subsection:LoesAnalys} nachgehen.
+für \eqref{lambertw:loesDGLmitY}.
+
+Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die Frage, ob sie überhaupt plausibel ist.
\subsection{Lösung analysieren
\label{lambertw:subsection:LoesAnalys}}
@@ -178,36 +215,39 @@ Nun haben wir eine Lösung, aber wie es immer mit Lösungen ist, stellt sich die
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{papers/lambertw/Bilder/VerfolgungskurveBsp.png}
- \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{ln(x)}-Teil entspricht.
+ \caption[Graph der Verfolgungskurve]{Graph der Verfolgungskurve wobei, ({\color{red}rot}) die Funktion \ensuremath{y(x)} ist, ({\color{darkgreen}grün}) der quadratische Teil und ({\color{blue}blau}) dem \ensuremath{\operatorname{ln}(x)}-Teil entspricht.
\label{lambertw:BildFunkLoes}
}
\end{figure}
-Das Resultat, wie ersichtlich, ist folgende Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} welche mittels Anfangsbedingungen parametrisiert werden kann:
+Das Resultat, wie ersichtlich, ist die Funktion
\begin{equation}
{\color{red}{y(x)}}
=
- C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2}.
+ C_1 + C_2 {\color{darkgreen}{x^2}} {\color{blue}{-}} \frac{\color{blue}{\operatorname{ln}(x)}}{8 \cdot C_2},
\label{lambertw:funkLoes}
\end{equation}
-Für die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich ein Anfangswertproblem, welches für deren Bestimmung gelöst werden muss. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition, oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
+für welche die Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden können. Zuerst soll aber eine qualitative Intuition oder Idee für das Aussehen der Funktion \(y(x)\) geschaffen werden:
\begin{itemize}
\item
Für grosse \(x\)-Werte, welche in der Regel in der Nähe von \(x_0\) sein sollten, ist der quadratisch Term in der Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} dominant.
\item
- Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein.
- \item
- Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger im nachgeht.
+ Für immer kleiner werdende \(x\) geht der Verfolger in Richtung \(y\)-Achse, wobei seine Steigung stetig sinkt, was Sinn macht wenn der Verfolgte entlang der \(y\)-Achse steigt. Irgendwann werden Verfolger und Ziel auf gleicher Höhe sein, also gleiche \(y\)- aber verschiedene \(x\)-Koordinate besitzen.
+ In diesem Punkt findet ein Monotoniewechsel in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} statt, was zu einem Minimum führt.
\item
- Aufgrund des Monotoniewechsels in der Kurve \eqref{lambertw:funkLoes} muss diese auch ein Minimum aufweisen. Es stellt sich nun die Frage: Wo befindet sich dieser Punkt?
-
- Eine Abschätzung darüber kann getroffen werden und zwar, dass dieser dann entsteht, wenn \(A\) und \(P\) die gleiche \(y\)-Koordinaten besitzen. In diesem Moment ändert die Richtung der \(y\)-Komponente der Geschwindigkeit des Verfolgers, somit auch sein Vorzeichen und dadurch entsteht auch das Minimum.
+ Für \(x\)-Werte in der Nähe von \(0\) ist das asymptotische Verhalten des Logarithmus dominant, dies macht auch Sinn, da sich der Verfolgte auf der \(y\)-Achse bewegt und der Verfolger ihm nachgeht.
\end{itemize}
-Alle diese Eigenschafte stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde. Nun stellt sich die Frage wie die Kurve wirklich aussieht. Dies wird im folgenden Abschnitt \ref{lambertw:subsection:AllgLoes} behandelt.
+Alle diese Eigenschaften stimmen mit dem überein, was man von einer Kurve dieser Art erwarten würde, welche durch die Grafik \ref{lambertw:BildFunkLoes} repräsentiert wurde.
\subsection{Anfangswertproblem
\label{lambertw:subsection:AllgLoes}}
-Wie üblich bei der Suche nach einer exakten Lösung, kommt ein Anfangswertproblem vor. Um dieses zu lösen, müssen wir zuerst die Anfangswerte definieren. Da wir das Problem allgemein lösen wollen, ergeben sich folgende zwei Anfangswerte:
+In diesem Abschnitt soll eine Parameterfunktion hergeleitet werden, bei der jeder beliebige Anfangspunkt im ersten Quadranten eingesetzt werden kann, ausser der Ursprung im Koordinatensystem. Diese Aufgabe ist ein Anfangswertproblem für \(y(x)\).
+
+Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Analysis, auf welches hier nicht explizit eingegangen wird. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, wird aber das Gleichungssystem präsentiert, welches notwendig ist, um das Anfangswertproblem zu lösen.
+
+\subsubsection{Anfangswerte bestimmen
+ \label{lambertw:subsubsection:Anfangswerte}}
+Der erste Schritt auf dem Weg zur gesuchten Parameterfunktion ist, die Anfangswerte
\begin{equation}
y(x)\big \vert_{t=0}
=
@@ -222,141 +262,170 @@ und
=
y^{\prime}(x_0)
=
- \frac{y_0}{x_0}.
+ \frac{y_0}{x_0}
\label{lambertw:eq2Anfangswert}
\end{equation}
+zu definieren.
Der zweite Anfangswert \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} mag nicht grade offensichtlich sein. Die Erklärung dafür ist aber simpel: Der Verfolger wird sich zum Zeitpunkt \(t=0\) in Richtung Koordinatenursprung bewegen wollen, wo sich das Ziel befindet. Somit entsteht das Steigungsdreieck mit \(\Delta x = x_0\) und \(\Delta y = y_0\).
-Das Lösen des Anfangswertproblems ist ein Problem aus der Algebra, auf welches ich nicht unbedingt eingehen möchte. Zur Vollständigkeit und Nachvollziehbarkeit, werde ich aber das Gleichungssystem \eqref{lambertw:eqGleichungssystem} präsentieren, welches notwendig ist um das Anfangswertproblem zu lösen, sowie auch die allgemeine Lösung \eqref{lambertw:eqAllgLoes} die sich nach dem einsetzen der Koeffizienten \(C_1\) und \(C_2\) in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} ergibt.
-
-\begin{itemize}
- \item
- Gleichungssystem:
- \begin{subequations}
- \begin{align}
- y_0
- &=
- C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\
- \frac{y_0}{x_0}
- &=
- 2 \cdot C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
- \end{align}
- \label{lambertw:eqGleichungssystem}
- \end{subequations}
- \item
- Die allgemeine Funktion:
- \begin{equation}
- y(x)
- =
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right)
- \label{lambertw:eqAllgLoes}
- \end{equation}
- Damit die Funkion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem noch übersichtlich bleibt, wurden \(\eta\) und \(r_0\) wie folgt definiert:
- \begin{equation}
- \eta
- =
- \left(\frac{x}{x_0}\right)^2
- \:\:\text{und}\:\:
- r_0
- =
- \sqrt{x_0^2+y_0^2}.
- \end{equation}
-\end{itemize}
-Diese neue allgemein Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorherig hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf, einerseits einen quadratischen Teil der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird.
+\subsubsection{Gleichungssystem aufstellen und lösen
+ \label{lambertw:subsubsection:GlSys}}
+Wenn man die Anfangswerte \eqref{lambertw:eq1Anfangswert} und \eqref{lambertw:eq2Anfangswert} in die Gleichung \eqref{lambertw:funkLoes} und deren Ableitung \(y^{\prime}(x)\) einsetzt, dann ergibt sich das Gleichungssystem
+\begin{subequations}
+ \label{lambertw:eqGleichungssystem}
+ \begin{align}
+ y_0
+ &=
+ C_1 + C_2 x^2_0 - \frac{\operatorname{ln}(x_0)}{8 \cdot C_2}, \\
+ \frac{y_0}{x_0}
+ &=
+ 2 \cdot C_2 x_0 - \frac{1}{8 \cdot C_2 \cdot x_0}.
+ \end{align}
+\end{subequations}
+Damit die gesuchte Funktion im ersten Quadranten bleibt, werden nur die positiven Lösungen
+\begin{subequations}
+ \begin{align}
+ \label{lambertw:eqKoeff1}
+ C_1
+ &=
+ \frac{2\cdot\operatorname{ln}(x_0)\left(\sqrt{x_0^2 + y_0^2} - y_0 \right) - \sqrt{x_0^2 + y_0^2} + 3 y_0}{4}, \\
+ \label{lambertw:eqKoeff2}
+ C_2
+ &=
+ \frac{\sqrt{x_0^2 + y_0^2} + y_0}{4x_0^2}
+ \end{align}
+\end{subequations}
+des Gleichungssystems gewählt.
+\subsubsection{Gesuchte Parameterfunktion aufstellen
+ \label{lambertw:subsubsection:ParamFunk}}
+Wenn man die Koeffizienten \eqref{lambertw:eqKoeff1} und \eqref{lambertw:eqKoeff2} in die Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} einsetzt, dann ergibt sich beim Vereinfachen die gesuchte Parameterfunktion
+\begin{equation}
+ y(x)
+ =
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right).
+ \label{lambertw:eqAllgLoes}
+\end{equation}
+Damit die Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} trotzdem übersichtlich bleibt, wurden Anfangssteigung \(\eta\) und Anfangsentfernung \(r_0\) wie folgt definiert:
+\begin{equation}
+ \eta
+ =
+ \left(\frac{x}{x_0}\right)^2
+ \:\:\text{und}\:\:
+ r_0
+ =
+ \sqrt{x_0^2+y_0^2}.
+\end{equation}
+Diese neue allgemeine Funktion \eqref{lambertw:eqAllgLoes} weist immer noch die selbe Struktur wie die vorher hergeleitete Funktion \eqref{lambertw:funkLoes} auf. Sie enthält einerseits einen quadratischen Teil, der in \(\eta\) enthalten ist, anderseits den \(\operatorname{ln}\)-Teil. Aus dieser Ähnlichkeit kann geschlossen werden, dass sich \eqref{lambertw:eqAllgLoes} auf eine ähnliche Art verhalten wird.
-Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Ist das alles? Nein, wir können einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
+Nun sind wir soweit, dass wir eine \(y(x)\)-Beziehung für beliebige Anfangswerte darstellen können, unser erstes Ziel wurde erreicht. Wir können aber einen Schritt weiter gehen und uns Fragen: Ist es analytisch möglich herauszufinden, wo sich Verfolger und Ziel zu jedem Zeitpunkt befinden? Dieser Frage werden wir im nächsten Abschnitt nachgehen.
\subsection{Funktion nach der Zeit
\label{lambertw:subsection:FunkNachT}}
-Lieber Leser sei mir nicht böse, aber in diesem Abschnitt werde ich ein wenig mehr bei den algebraischen Umformungen ins Detail gehen. Dies hat auch einen bestimmten Grund, ich möchte den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage zu kurz zu beantworten, es ist "YouTube's favorite special function" laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-W-Funktion \(W(x)\) welche übrigens im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
+In diesem Abschnitt werden algebraischen Umformungen ein wenig detaillierter als zuvor beschrieben. Dies hat auch einen bestimmten Grund: Den Einsatz einer speziellen Funktion aufzeigen, sowie auch wann und wieso diese vorkommt. Welche spezielle Funktion? Fragst du dich wahrscheinlich in diesem Moment. Nun, um diese Frage kurz zu beantworten, es ist ``YouTube's favorite special function'' laut dem Mathematiker Michael Penn, die Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) welche im Kapitel \ref{buch:section:lambertw} bereits beschrieben wurde.
-Also fangen wir an. Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hinein gebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL \eqref{lambertw:DGLmitT}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wird:
+\subsubsection{Zeitabhängigkeit wiederherstellen
+ \label{lambertw:subsubsection:ZeitabhWiederherst}}
+Der erste Schritt ist es herauszufinden, wie die Zeitabhängigkeit wieder hineingebracht werden kann. Dafür greifen wir auf die letzte Gleichung zu, in welcher \(t\) noch enthalten war, und zwar DGL
\begin{equation}
x y^{\prime} + t - y
- = 0.
+ = 0
\label{lambertw:eqDGLmitTnochmals}
\end{equation}
+aus dem Abschnitt \eqref{lambertw:subsection:ZeitabhLoswerden}, welche zur Übersichtlichkeit hier nochmals aufgeführt wurde.
Wie in \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} zu sehen ist, werden \(y\) und deren Ableitung \(y^{\prime}\) benötigt, diese sind:
\begin{subequations}
+ \label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
\begin{align}
+ \label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
y
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
- \label{lambertw:eqFunkUndAbleit1}
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\eta+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)-r_0+3y_0\right), \\
y^\prime
&=
- \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(r_0-y_0\right)\frac{1}{x}\right).
+ \frac{1}{2}\left(\left(y_0+r_0\right)\frac{x}{x_0^2}+\left(y_0-r_0\right)\frac{1}{x}\right).
\end{align}
- \label{lambertw:eqFunkUndAbleit}
\end{subequations}
-Wenn man diese Gleichungen \ref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \label{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich folgenden Ausdruck:
+
+Wenn man diese Gleichungen \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit} in die DGL \eqref{lambertw:eqDGLmitTnochmals} einfügt, vereinfacht und nach \(t\) auflöst, dann ergibt sich der Ausdruck
\begin{equation}
-4t
=
\left(y_0+r_0\right)\left(\eta-1\right)+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right).
\label{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}
\end{equation}
-In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponentiert, was wie folgt aussieht:
-\begin{align}
+
+\subsubsection{Umformungen die zur Funktion nach der Zeit führen
+ \label{lambertw:subsubsection:UmformBisZumZiel}}
+Mit dem Ausdruck \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt}, welcher Terme mit \(x\) und \(t\) verbindet, kann nun nach der gesuchten Variable \(x\) aufgelöst werden.
+
+In einem nächsten Schritt wird alles mit \(x\) auf die eine Seite gebracht, der Rest auf die andere Seite und anschliessend beidseitig exponenziert, sodass man
+\begin{equation}
-4t+\left(y_0+r_0\right)
- &=
- \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right), \\
+ =
+ \left(y_0+r_0\right)\eta+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\eta\right)
+\end{equation}
+und anschliessend
+\begin{equation}
e^{\displaystyle -4t+\left(y_0+r_0\right)}
- &=
- e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}.
+ =
+ e^{\displaystyle \left(y_0+r_0\right)\eta}\cdot\eta^{\displaystyle \left(r_0-y_0\right)}
\label{lambertw:eqMitExp}
-\end{align}
-Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-W-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist.
+\end{equation}
+erhält.
+Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine ähnliche Struktur wie \(\eta e^\eta\) zu erkennen, dies schreit nach der Struktur die benötigt wird um \(\eta\) mittels der Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) zu erhalten. Dies macht durchaus Sinn, wenn wir die Funktion \(x(t)\) finden wollen und \(W(x)\) die Umkehrfunktion von \(x e^x\) ist.
Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
\begin{equation}
- e^{\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+ \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right)
=
- \eta\cdot e^{\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta} .
+ \eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
\label{lambertw:eqOhnePotenz}
\end{equation}
-Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden:
+Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit der Substitution
\begin{equation}
\chi
=
- \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}.
+ \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}
\label{lambertw:eqChiSubst}
\end{equation}
+gelöst werden.
Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B.
\[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\]
-die auf das selbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
+die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir die Gleichung
\begin{equation}
- \chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+ \chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
=
\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
\label{lambertw:eqNachSubst}
\end{equation}
-Schön oder? Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-W-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
+Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\) einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir den Ausdruck
\begin{equation}
- W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+ W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
=
\chi\eta.
\end{equation}
-Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar \eqref{lambertw:eqFunktionenNachT}, besteht aus folgenden Gleichungen:
+Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir die gesuchte \(x(t)\)-Funktion \eqref{lambertw:eqFunkXNachT}. Dieses \(x(t)\) in Kombination mit \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleit1} liefert die Position des Verfolgers zu jedem Zeitpunkt. Das Gleichungspaar besteht also aus den Gleichungen
\begin{subequations}
+ \label{lambertw:eqFunktionenNachT}
\begin{align}
\label{lambertw:eqFunkXNachT}
x(t)
&=
- x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}, \\
+ x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}{\chi}}, \\
\label{lambertw:eqFunkYNachT}
y(x(t))
=
y(t)
&=
- \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(r_0-y_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
+ \frac{1}{4}\left(\left(y_0+r_0\right)\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2+\left(y_0-r_0\right)\operatorname{ln}\left(\left(\frac{x(t)}{x_0}\right)^2\right)-r_0+3y_0\right).
\end{align}
- \label{lambertw:eqFunktionenNachT}
\end{subequations}
Nun haben wir unser letztes Ziel erreicht und sind in der Lage eine Verfolgung rechnerisch sowie graphisch zu repräsentieren.
-
-Wir sind aber noch nicht ganz fertig, ich muss gestehen, dass ich in diesem Abschnitt einen wichtigen Teil verschwiegen habe. Und zwar wieso, dass ich schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} wusste, dass man nach einigen Umformungen die Lambert-W-Funktion eingesetzt werden kann.
-Der Grund dafür ist die Struktur
+
+\subsubsection{Hinweise zur Lambert-\(W\)-Funktion
+ \label{lambertw:subsubsection:HinwLambertW}}
+Wir sind aber noch nicht ganz fertig, eine Frage muss noch beantwortet werden. Und zwar wieso, man schon bei der Gleichung \eqref{lambertw:eqFunkUndAbleitEingefuegt} weiss, dass die Lambert-\(W\)-Funktion zum Einsatz kommen wird.
+Nun, der Grund dafür ist die Struktur
\begin{equation}
y
=
@@ -365,4 +434,4 @@ Der Grund dafür ist die Struktur
\end{equation}
bei welcher \(p(x)\) eine beliebige Potenz von \(x\) darstellt.
-Jedes mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oftmals vorkommt, was die Lambert-W-Funktion so wichtig macht. \ No newline at end of file
+Jedes Mal wenn \(x\) gesucht ist und in einer Struktur der Art \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} vorkommt, dann kann mit ein paar Umformungen die Struktur \(f(x)e^{f(x)}\) erzielt werden. Wie bereits in diesem Abschnitt \ref{lambertw:subsection:FunkNachT} gezeigt wurde, kann \(x\) nun mittels der \(W(x)\)-Funktion aufgelöst werden. Erstaunlicherweise ist \eqref{lambertw:eqEinsatzLambW} eine Struktur die oft vorkommt, was die Lambert-\(W\)-Funktion so wichtig macht. \ No newline at end of file
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