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-rw-r--r--buch/papers/lambertw/teil4.tex10
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index c959715..c79aa0c 100644
--- a/buch/papers/lambertw/teil4.tex
+++ b/buch/papers/lambertw/teil4.tex
@@ -363,9 +363,9 @@ Auf dem rechten Term von \eqref{lambertw:eqMitExp} beginnen wir langsam eine äh
Die erste Sache die uns in \eqref{lambertw:eqMitExp} stört ist, dass \(\eta\) als Potenz da steht. Dieses Problem können wir loswerden, indem wir beidseitig mit \(\:\displaystyle \frac{1}{r_0-y_0}\:\) potenzieren:
\begin{equation}
- e^{\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}}
+ \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{-4t}{r_0-y_0}+\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\right)
=
- \eta\cdot e^{\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta} .
+ \eta\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\eta\right).
\label{lambertw:eqOhnePotenz}
\end{equation}
Das nächste Problem auf welches wir in \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} treffen ist, dass \(\eta\) nicht alleine im Exponent steht. Dies kann elegant mit folgender Substitution gelöst werden:
@@ -379,14 +379,14 @@ Es gäbe natürlich andere Substitutionen wie z.B.
\[\displaystyle \chi=\frac{y_0+r_0}{r_0-y_0}\cdot\eta,\]
die auf dasselbe Ergebnis führen würden, aber \eqref{lambertw:eqChiSubst} liefert in einem Schritt die kompakteste Lösung. Also fahren wir mit der Substitution \eqref{lambertw:eqChiSubst} weiter, setzen diese in die Gleichung \eqref{lambertw:eqOhnePotenz} ein und multiplizieren beidseitig mit \(\chi\). Daraus erhalten wir folgende Gleichung:
\begin{equation}
- \chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}
+ \chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)
=
\chi\eta\cdot e^{\displaystyle \chi\eta}.
\label{lambertw:eqNachSubst}
\end{equation}
Nun sind wir endlich soweit, dass wir die angedeutete Lambert-\(W\)-Funktion \(W(x)\)einsetzen können. Wenn wir beidseitig \(W(x)\) anwenden, dann erhalten wir folgenden Ausdruck:
\begin{equation}
- W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)
+ W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)
=
\chi\eta.
\end{equation}
@@ -396,7 +396,7 @@ Nach dem Auflösen nach \(x\) welches in \(\eta\) enthalten ist, erhalten wir di
\label{lambertw:eqFunkXNachT}
x(t)
&=
- x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot e^{\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}}\right)}{\chi}}, \\
+ x_0\cdot\sqrt{\frac{W\left(\chi\cdot \operatorname{exp}\left(\displaystyle \chi-\frac{4t}{r_0-y_0}\right)\right)}{\chi}}, \\
\label{lambertw:eqFunkYNachT}
y(x(t))
=