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Abbildung\ref{nav:beispiele}) und man müsste trigonometrisch +anders vorgehen. + +\subsection{Dreieck $ABC$} +\vspace*{-3mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Nun berechnen wir alle Seitenlängen $a$, $b$, $c$ und die +Innnenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$. +Wir können $b$ und $c$ mit den geltenten Zusammenhängen des nautischen Dreiecks wie folgt bestimmen: +\begin{align*} +b +&= +90^\circ-DEC_{\text{Deneb}} += +90^\circ - 45.361194^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{44.638806^\circ}} +\\ +c +&= +90^\circ-DEC_{\text{Arktur}} += +90^\circ - 19.063222^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{70.936778^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.4cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position2.pdf}}% +} +Um $a$ zu bestimmen, benötigen wir zuerst den Winkel +\begin{align*} +\alpha +&= +RA_{\text{Deneb}} - RA_{\text{Arktur}} += +310.55058^\circ -214.17558^\circ +\\ +&= +\underline{\underline{96.375^\circ}}. +\end{align*} +Danach nutzen wir den sphärischen Winkelkosinussatz, um $a$ zu berechnen: +\begin{align*} + a &= \cos^{-1}(\cos(b) \cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c) \cdot \cos(\alpha)) \\ + &= \cos^{-1}(\cos(44.638806) \cdot \cos(70.936778) + \sin(44.638806) \cdot \sin(70.936778) \cdot \cos(96.375)) \\ + &= \underline{\underline{80.8707801^\circ}} +\end{align*} +Für $\beta$ und $\gamma$ nutzen wir den sphärischen Seitenkosinussatz: +\begin{align*} + \beta &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(44.638806)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(70.936778)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(70.936778)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{45.0115314^\circ}} +\\ +\gamma &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(70.936778)-\cos(44.638806) \cdot \cos(80.8707801)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(44.638806)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{72.0573328^\circ}} +\end{align*} + + + +\subsection{Dreieck $BPC$} +\vspace*{-4mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als nächstes berechnen wir die Seiten $h_b$, $h_c$ und die Innenwinkel $\beta_1$ und $\gamma_1$. +\begin{align*} +h_b&=90^\circ - h_b + = 90^\circ - 47.42744^\circ \\ + &= \underline{\underline{42.572556^\circ}} +\\ + h_c &= 90^\circ - h_c + = 90^\circ - 50.256027^\circ \\ + &= \underline{\underline{39.743973^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.8cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position3.pdf}}% +} +\begin{align*} +\beta_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_c)-\cos(a) \cdot \cos(h_b)}{\sin(a) \cdot \sin(h_b)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(39.743973)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(42.572556)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(42.572556)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{12.5211127^\circ}} +\\ +\gamma_1 &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(a) \cdot \cos(h_c)}{\sin(a) \cdot \sin(h_c)}\bigg] \\ + &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(80.8707801) \cdot \cos(39.743973)}{\sin(80.8707801) \cdot \sin(39.743973)}\bigg] \\ + &=\underline{\underline{13.2618475^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Dreieck $ABP$} +\vspace*{-2mm} +\hbox to\textwidth{% +\begin{minipage}{8.4cm}% +Als erstes müssen wir den Winkel $\beta_2$ berechnen: +\begin{align*} + \beta_2 &= \beta + \beta_1 = 45.011513^\circ + 12.5211127^\circ \\ + &=\underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} +Danach können wir mithilfe von $\beta_2$, $c$ und $h_b$ die Seite $l$ berechnen: +\begin{align*} +l +&= +\cos^{-1}(\cos(c) \cdot \cos(h_b) + + \sin(c) \cdot \sin(h_b) \cdot \cos(\beta_2)) \\ +&= +\cos^{-1}(\cos(70.936778) \cdot \cos(42.572556)\\ +&\qquad + \sin(70.936778) \cdot \sin(42.572556) \cdot \cos(57.5326442)) \\ +&= \underline{\underline{54.2833404^\circ}} +\end{align*} +\end{minipage}% +\hfill% +\raisebox{-2.0cm}{\includegraphics{papers/nav/bilder/position4.pdf}}% +} + +\medskip + +Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: +\begin{align*} + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556)-\cos(70.936778) \cdot \cos(54.2833404)}{\sin(70.936778) \cdot \sin(54.2833404)}\bigg] \\ + &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} +\end{align*} + +\subsection{Längengrad und Breitengrad bestimmen} + +\begin{align*} +\delta &= 90^\circ - l & + \lambda &= \lambda_{Arktur} + \omega \\ +&= 90^\circ - 54.2833404 & + &= 95.5647759^\circ + 44.6687451^\circ \\ +&= \underline{\underline{35.7166596^\circ}} & + &= \underline{\underline{140.233521^\circ}} +\end{align*} +Wie wir sehen, stimmen die berechneten Koordinaten mit den Koordinaten des Punktes, an welchem gemessen wurde überein. + +\subsection{Fazit} +Die theoretische Anleitung im Abschnitt 21.6 scheint grundsätzlich zu funktionieren. +Allerdings gab es zwei interessante Probleme. + +Einerseits das Problem, ob der Punkt P sich oberhalb oder unterhalb von $a$ befindet. +Da wir eigentlich wussten, wo der gesuchte Punkt P ist, konnten wir das Dreieck anhand der Koordinaten der Bildpunkte richtig aufstellen. +In der Praxis muss man aber schon wissen, auf welchem Breitengrad man ungefähr ist. +Dies weis man in der Regeln aber, da die eigene Breite die Höhe des Polarsterns ist. +Diese Höhe wird mit dem Sextant gemessen. + +Andererseits ist da noch ein Problem mit dem Sinussatz. +Beim Sinussatz gibt es immer zwei Lösungen, weil \[ \sin(\pi-a)=\sin(a).\] +Da kann es sein (und war in unserem Fall auch so), dass man das falsche Ergebnis erwischt. +Durch diese Erkenntnis haben wir nur Kosinussätze verwendet und dies ebenfalls im Abschnitt 21.6 abgeändert, da es für den Leser auch relevant sein kann, wenn er es Probieren möchte. + + + + diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf Binary files differindex d0fe3dc..1f91809 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex index 5666ba6..0dfae2f 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele1.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \def\breite{4} \def\hoehe{4} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] % Povray Bild -\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele1.jpg}}; +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele1.jpg}}; % Gitter \ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf Binary files differindex 8579ee5..4b28f2f 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex index c9b70bd..04c1e4d 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele2.tex @@ -20,10 +20,10 @@ \def\breite{4} \def\hoehe{4} -\begin{tikzpicture}[>=latex,thick] +\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=0.8125] % Povray Bild -\node at (0,0) {\includegraphics[width=8cm]{beispiele2.jpg}}; +\node at (0,0) {\includegraphics[width=6.5cm]{beispiele2.jpg}}; % Gitter \ifthenelse{\boolean{showgrid}}{ diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf Binary files differindex a7189dd..049ccdf 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/beispiele3.pdf diff --git a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex index b7b3dac..81dc037 100644 --- a/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex +++ b/buch/papers/nav/images/beispiele/common.tex @@ -44,36 +44,36 @@ \def\labeldSpica{ \coordinate (dSpica) at (-1.5,2.6); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dSpica)+(-1.8,0.08)$) + ($(dSpica)+(-1.8,0.13)$) rectangle - ($(dSpica)+(-0.06,0.55)$); + ($(dSpica)+(-0.06,0.60)$); \node at (dSpica) [above left] {$90^\circ-\delta_{\text{Spica}}\mathstrut$}; } \def\labeldAltair{ \coordinate (dAltair) at (2.0,2.1); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dAltair)+(0.10,0.05)$) + ($(dAltair)+(0.10,0.10)$) rectangle - ($(dAltair)+(1.8,0.5)$); + ($(dAltair)+(2.0,0.60)$); \node at (dAltair) [above right] {$90^\circ-\delta_{\text{Altair}}\mathstrut$}; } \def\labeldArktur{ \coordinate (dArktur) at (-1.2,2.5); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dArktur)+(-1.8,0.05)$) + ($(dArktur)+(-1.8,0.10)$) rectangle - ($(dArktur)+(-0.06,0.5)$); + ($(dArktur)+(-0.06,0.55)$); \node at (dArktur) [above left] {$90^\circ-\delta_{\text{Arktur}}\mathstrut$}; } \def\labeldDeneb{ \coordinate (dDeneb) at (2.0,2.8); \fill[color=white,opacity=0.5] - ($(dDeneb)+(0.05,0.5)$) + ($(dDeneb)+(0.05,0.60)$) rectangle - ($(dDeneb)+(1.87,0.05)$); + ($(dDeneb)+(1.87,0.10)$); \node at (dDeneb) [above right] {$90^\circ-\delta_{\text{Deneb}}\mathstrut$}; } diff --git a/buch/papers/nav/main.tex b/buch/papers/nav/main.tex index 37bc83a..f993559 100644 --- a/buch/papers/nav/main.tex +++ b/buch/papers/nav/main.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \input{papers/nav/sincos.tex} \input{papers/nav/trigo.tex} \input{papers/nav/nautischesdreieck.tex} -\input{papers/nav/bsp.tex} +\input{papers/nav/bsp2.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] |