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@@ -0,0 +1,17 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+
+\begin{document}
+\section{Einleitung}
+Heut zu Tage ist die Navigation ein Teil des Lebens. 
+Man versendet dem Kollegen seinen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein um sich die Sucherei zu schenken. 
+Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Langzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt.
+Vor all diesen technologischen Fortschritten gab es lediglich die Astronavigation, welche heute noch auf kleineren Schiffen benötigt wird im Falle eines Stromausfalls. 
+Aber wie funktioniert die Navigation mit den Sternen? Welche Hilfsmittel benötigt man, welche Rolle spielt die Mathematik und weshalb kann die Erde nicht flach sein? 
+In diesem Kapitel werden genau diese Fragen mithilfe des Nautischen Dreiecks, der Sphärischen Trigonometrie und einigen Hilfsmitteln und Messgeräten beantwortet. 
+	
+	
+\end{document}
+\ No newline at end of file
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@@ -0,0 +1,31 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+
+\begin{document}
+	\section{Warum ist die Erde nicht flach?}
+	
+ \begin{figure}[h]
+ 	\begin{center}
+ 		\includegraphics[width=10cm]{bilder/projektion.png}
+ 		\caption{Mercator Projektion}
+ 	\end{center}	
+ \end{figure}
+
+Es gibt heut zu Tage viele Beweise dafür, dass die Erde eine Kugel ist. 
+Die Fotos von unserem	Planeten oder die Berichte der Astronauten. 
+	Aber schon vor ca. 2300 Jahren hat Aristotoles bemerkt, dass Schiffe im Horizont verschwinden und die einzige Erklärung dafür die Kugelgestalt der Erde ist oder der Erdschatten bei einer Mondfinsternis immer rund ist. 
+	Eratosthenes konnte etwa 100 Jahre später den Erdumfang berechnen. 
+	Er beobachtete, dass die Sonne in Syene mittags im Zenit steht und gleichzeitig in Alexandria unter einem Winkel einfällt. 
+	Mithilfe der Geometrie konnte er mit dem Abstand der Städte und dem Einfallswinkel den Umfang berechnen.
+	Auch in der Navigation würden grobe Fehler passieren, wenn man davon ausgeht, dass die Erde eine Scheibe ist. 
+Man sieht es zum Beispiel sehr gut, wenn man die Anwendung Google Earth und eine Weltkarte vergleicht. Grönland ist auf der Weltkarte so gross wie Afrika. 
+In der Anwendung Google Earth jedoch ist Grönland etwa so gross wie Algerien. 
+Das liegt daran, das man die 3D – Weltkarte nicht einfach auslegen kann. 
+Der Kartograph Gerhard Mercator projizierte die Erdkugel auf ein Papier und erstellte so eine winkeltreue Karte. Jedoch wurden die Länder, die einen grösseren Abstand zum Äquator haben vergrössert, damit die Winkel stimmen können. 
+Wurde man also nun davon ausgehen, dass die Erde flach ist so würden wir nie dort ankommen wo wir es wollen.
+	
+	
+\end{document}
+\ No newline at end of file
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--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,22 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+
+\begin{document}
+\section{Geschichte der sphärischen Navigation}
+Die Orientierung mit Hilfe der Sterne und der sphärischen Trigonometrie bewegt die Menschheit schon seit mehreren tausend Jahren. 
+Nach Hinweisen und Schätzungen von Forscher haben schon vor 4000 Jahren die Ägypter und Gelehrten aus Babylon mit Hilfe der Astronomie den Lauf der Gestirne (Himmelskörper) zu berechnen versucht, jedoch ohne Erfolg. 
+Etwa 350 vor Christus waren es die Griechen, welche den damaligen Astronomen Hilfestellungen mittels Kugel-Geometrien leisten konnten. 
+Aus diesen Geometrien wurden erste mathematische Sätze aufgestellt und ein paar Jahrhunderte später kamen zu diesem Thema auch Berechnungen dazu. 
+Ebenso wurden Kartenmaterial mit Sternenbilder angefertigt. 
+Die Sinusfunktion war noch nicht bekannt, jedoch kamen zu dieser Zeit die ersten Ansätze der Cosinusfunktion aus Indien. 
+Von diesen Hilfen darauf aufbauend konnte um 900 die Araber der Sinussatz entwickeln. 
+Doch ein paar weitere Jahrhunderte vergingen bis zu diesem Thema wieder verstärkt Forschung betrieben wurde. 
+Dies aus dem Grund, da im 15. Jahrhundert grosse Entdeckungsreisen, hauptsächlich per Schiff, erfolgten und die Orientierung vermehrt an Wichtigkeit gewann. 
+Auch die Verwendung der Tangens- und Sinusfunktion sowie der neu entwickelte Seitencosinussatz trugen zu einer Verbesserung der Orientierung herbei. 
+Im 16. Jahrhundert wurde dann ein weiterer trigonometrischer Satz, der Winkelcosinussatz hergeleitet. Stück für Stück wurden infolge der Entdeckung des Logarithmus im 17. Jahrhundert viele neue Methoden entwickelt. 
+Auch eine Verbesserung der kartographischen Verwendung der Kugelgeometrie wurde vorgenommen.  
+Es folgten weitere Entwicklungen in nicht euklidische Geometrien und im 19. Jahrhundert sowie auch im 20. Jahrhundert wurde zudem für die Relativitätstheorie auch die sphärische Trigonometrie beigezogen.
+\end{document}
+\ No newline at end of file
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--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/main.log
@@ -0,0 +1,109 @@
+This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.24 (MiKTeX 22.3) (preloaded format=pdflatex 2022.4.16)  16 MAY 2022 20:27
+entering extended mode
+ restricted \write18 enabled.
+ %&-line parsing enabled.
+**./main.tex
+(main.tex
+LaTeX2e <2021-11-15> patch level 1
+L3 programming layer <2022-02-24>
+! Undefined control sequence.
+l.6 \chapter
+            {Thema\label{chapter:nav}}
+The control sequence at the end of the top line
+of your error message was never \def'ed. If you have
+misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
+spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
+and I'll forget about whatever was undefined.
+
+
+! LaTeX Error: Missing \begin{document}.
+
+See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation.
+Type  H <return>  for immediate help.
+ ...                                              
+                                                  
+l.6 \chapter{T
+              hema\label{chapter:nav}}
+You're in trouble here.  Try typing  <return>  to proceed.
+If that doesn't work, type  X <return>  to quit.
+
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+Missing character: There is no h in font nullfont!
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+Missing character: There is no m in font nullfont!
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+! Undefined control sequence.
+l.7 \lhead
+          {Thema}
+The control sequence at the end of the top line
+of your error message was never \def'ed. If you have
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+spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
+and I'll forget about whatever was undefined.
+
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+Missing character: There is no e in font nullfont!
+Missing character: There is no m in font nullfont!
+Missing character: There is no a in font nullfont!
+
+! LaTeX Error: Environment refsection undefined.
+
+See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation.
+Type  H <return>  for immediate help.
+ ...                                              
+                                                  
+l.8 \begin{refsection}
+                      
+Your command was ignored.
+Type  I <command> <return>  to replace it with another command,
+or  <return>  to continue without it.
+
+! Undefined control sequence.
+l.9 \chapterauthor
+                  {Hans Muster}
+The control sequence at the end of the top line
+of your error message was never \def'ed. If you have
+misspelled it (e.g., `\hobx'), type `I' and the correct
+spelling (e.g., `I\hbox'). Otherwise just continue,
+and I'll forget about whatever was undefined.
+
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+Missing character: There is no n in font nullfont!
+Missing character: There is no s in font nullfont!
+Missing character: There is no M in font nullfont!
+Missing character: There is no u in font nullfont!
+Missing character: There is no s in font nullfont!
+Missing character: There is no t in font nullfont!
+Missing character: There is no e in font nullfont!
+Missing character: There is no r in font nullfont!
+
+Overfull \hbox (20.0pt too wide) in paragraph at lines 6--10
+[][]
+ []
+
+
+! LaTeX Error: File `papers/nav/einleitung.tex' not found.
+
+Type X to quit or <RETURN> to proceed,
+or enter new name. (Default extension: tex)
+
+Enter file name: 
+! Emergency stop.
+<read *> 
+         
+l.13 \input{papers/nav/einleitung.tex}
+                                      ^^M
+*** (cannot \read from terminal in nonstop modes)
+
+ 
+Here is how much of TeX's memory you used:
+ 22 strings out of 478582
+ 530 string characters out of 2856069
+ 288951 words of memory out of 3000000
+ 18307 multiletter control sequences out of 15000+600000
+ 469259 words of font info for 28 fonts, out of 8000000 for 9000
+ 1141 hyphenation exceptions out of 8191
+ 16i,0n,26p,84b,28s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,80000s
+!  ==> Fatal error occurred, no output PDF file produced!
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index e11e2c0..1ad16da 100644
--- a/buch/papers/nav/main.tex
+++ b/buch/papers/nav/main.tex
@@ -8,29 +8,14 @@
 \begin{refsection}
 \chapterauthor{Hans Muster}
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
-\input{papers/nav/teil0.tex}
-\input{papers/nav/teil1.tex}
-\input{papers/nav/teil2.tex}
-\input{papers/nav/teil3.tex}
+
+\input{papers/nav/einleitung.tex}
+\input{papers/nav/geschichte.tex}
+\input{papers/nav/flatearth.tex}
+\input{papers/nav/trigo.tex}
+\input{papers/nav/nautischesdreieck.tex}
+
 
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
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new file mode 100644
index 0000000..0bb213c
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex
@@ -0,0 +1,190 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+	\usepackage{xcolor, soul}
+	\sethlcolor{yellow}
+\begin{document}
+	\setlength{\parindent}{0em}
+\section{Das Nautische Dreieck}
+\subsection{Definition des Nautischen Dreiecks}
+Ursprünglich ist das nautische Dreieck ein Hilfsmittel der sphärischen Astronomie um die momentane Position eines Fixsterns oder Planeten an der \textbf{Himmelskugel}. 
+Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient.\\
+Das Nautische Dreieck definiert sich durch folgende Ecken:
+\begin{itemize}
+	\item Zenit 
+	\item Gestirn
+	\item Himmelspol
+\end{itemize}
+Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird.
+Ein Gestirn ist ein Planet oder ein Fixstern, zu welchen es diverse Jahrbücher mit allen astronomischen Eigenschaften gibt. 
+Der Himmelspol ist der Nordpol an die Himmelskugel projeziert.
+\\
+Zur Anwendung der Formeln der sphärischen Trigonometrie gelten folgende einfache Zusammenhänge:
+\begin{itemize}
+	\item Seitenlänge Zenit zu Himmelspol $= \frac{\pi}{2} - \phi $
+	\item Seitenlänge Himmelspol zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - \delta$
+	\item Seitenlänge Zenit zu Gestirn $= \frac{\pi}{2} - h$
+	\item Winkel von Zenit zu Himmelsnordpol zu Gestirn$=\pi - \alpha$
+	\item Winkel von Himmelsnordpol zu Zenit und Gestirn$= \tau$
+\end{itemize}
+Um mit diesen Zusammenhängen zu rechnen benötigt man folgende Legende:
+
+$\alpha \ \widehat{=} \ Rektaszension $
+
+$\delta \ \widehat{=} \ Deklination =$ Breitengrad des Gestirns 
+
+$\theta \ \widehat{=} \ Sternzeit$
+
+$\phi \ \widehat{=} \ Geographische \ Breite $
+
+$\tau = \theta-\alpha \ \widehat{=} \ Stundenwinkel =$ Längengrad des Gestirns 
+
+$a \ \widehat{=} \ Azimut $
+
+$h \ \widehat{=} \ Hoehe$
+
+
+
+\subsection{Zusammenhang des Nautischen Dreiecks und des Kugeldreiecks auf der Erdkugel}
+
+	\begin{center}
+	\includegraphics[height=5cm,width=5cm]{Bilder/kugel3.png}
+	\end{center}
+Wie man im oberen Bild sieht und auch am Anfang dieses Kapitels bereits erwähnt wurde, liegt das Nautische Dreieck auf der Himmelskugel mit den Ecken Zenit, Gestirn und Himmelsnordpol. 
+Das selbe Dreieck kann man aber auch auf die Erdkugel projezieren und hat dann die Ecken Standort, Bildpunkt und Nordpol. 
+Als Bildpunkt wird in der astronomischen Navigation der Punkt bezeichnet, an dem eine gedachte Linie vom Mittelpunkt eines beobachteten Gestirns zum Mittelpunkt der Erde die Erdoberfläche schneidet.
+
+\subsection{Varianten vom Nautischen Dreieck}
+\section{Standortbestimmung ohne elektronische Hilfsmittel}
+Um den eigenen Standort herauszufinden, wird in diesem Kapitel die Projektion Nautische Dreieck auf der Erdkugel zur Hilfe genommen. 
+Mithilfe einiger Hilfsmittel und der Sphärischen Trigonometrie kann man dann die Längen- und Breitengrade des eigenen Standortes bestimmen.
+
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=6cm]{Bilder/dreieck.png}
+	\end{center}	
+
+
+
+\subsection{Ecke P - Unser Standort}
+Unser eigener Standort ist der gesuchte Punkt A. 
+
+\subsection{Ecke A - Nordpol}
+Der Vorteil ander Idee des Nautischen Dreiecks ist, dass eine Ecke immer der Nordpol (in der Himmelskugel der Himmelsnordpol) ist. 
+Somit ist diese Ecke immer bekannt und nur deswegen sind die Zusammenhänge von Rektaszension, Sternzeit und Deklination so simpel.
+
+\subsection{Ecke B und C - Bildpunkt XXX und YYY}
+Für die Standortermittlung benötigt man als weiteren Punkt ein Gestirn bzw. seinen Bildpunkt auf der Erdkugel. 
+Damit das trigonometrische Rechnen einfacher wird, werden hier zwei Gestirne zur Hilfe genommen.
+\\
+Es gibt diverse Gestirne, die man nutzen kann.
+\begin{itemize}
+	\item Sonne
+	\item Mond
+	\item Die vier Navigationsplaneten Venus, Mars, Jupiter und Saturn
+\end{itemize} 
+
+Zu all diesen Gestirnen gibt es Ephemeriden (Jahrbücher). 
+Dort findet man unter Anderem die Rektaszension und  Deklination, welche für jeden Tag und Stunde beschrieben ist. Für Minuten genaue Angaben muss man dann zwischen den Stunden interpolieren.
+Mithilfe dieser beiden Angaben kann man die Längen- und Breitengrade diverser Gestirne berechnen.
+
+\subsubsection{Sternzeit und Rektaszension}
+Die Rektaszension $\alpha$ gibt an, in welchem Winkel das Gestirn zum Frühlingspunkt steht. 
+Der Frühlungspunkt ist der Nullpunkt auf dem Himmelsäquator. 
+Die Tatsache, dass sich die Himmelskugel  ca. vier Minuten schneller um die eigene Achse dreht als die Erdkugel, stellt hier ein kleines Problem dar.
+Die Lösung ist die Sternzeit. 
+Am Frühlingspunkt (21. März) 12:00 Uhr ist die Sternzeit
+$\theta = 0$. 
+ 
+Die Sternzeit geht vom Frühlungspunkt aus, an welchem die Sonne den Himmelsäquator schneidet.
+Für die Standortermittlung auf der Erdkugel ist es am einfachsten, wenn man die Sternzeit von Greenwich berechnet. 
+Für die Sternzeit von Greenwich braucht man als erstes das Julianische Datum vom aktuellen Tag, welches sich leicht recherchieren oder berechnen lässt: \hl{$JD=....$}
+
+Nun berechnet man $T=\frac{JD-2451545}{36525}$ und damit die mittlere Sternzeit von Greenwich
+
+ $T_{Greenwich} = 6^h 41^m 50^s,54841 + 8640184^s,812866 * T + 0^s,093104*T^2 - 0^s,0000062 * T^3$.
+ 
+ Wenn mann die Sternzeit von Greenwich ausgerechnet hat, kann man den Längengrad des Gestirns $\lambda = \theta - \alpha$ mithilfe der Rektaszension und Sternzeit bestimmen. 
+ Dies gilt analog auch für das zweite Gestirn.
+ 
+ \subsubsection{Deklination}
+ Die Deklination $\delta$ beschreibt den Winkel zwischen dem Himmelsäquator und Gestirn und ergibt schlussendlich den Breitengrad $\psi = \delta$.
+ 
+
+
+\subsection{Bestimmung des eigenen Standortes P}
+Nun hat man die Koordinaten der beiden Gestirne und man weiss die Koordinaten des Nordpols.
+Somit können wir ein erstes Kugeldreieck auf der Erde aufspannen.
+
+
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=5cm]{Bilder/dreieck.png}
+	\end{center}	
+
+
+\subsubsection{Bestimmung des ersten Dreiecks}
+ Mithilfe des sphärischen Trigonometrie und den darausfolgenden Zusammenhängen des Nautischen Dreiecks können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen.
+ 
+ Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt XXX" sei $c$. 
+ Dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. 
+ 
+ Die Seitenlänge der Seite "Nordpol zum Bildpunkt YYY" sei $b$.
+ Dann ist $b = \frac{\pi}{2} - \delta_2$. 
+ 
+ Der Innenwinkel beim der Ecke "Nordpol" sei $\alpha$.
+ Dann ist $ \alpha = |\lambda_1 - \lambda_2|$. 
+  
+mit 
+ 
+ $\delta_1 =$ Deklination Bildpunkt XXX
+ 
+$\delta_2 =$ Deklination Bildpunk YYY 
+
+$\lambda_1 =$ Längengrad Bildpunkt XXX
+
+$\lambda_2 =$ Längengrad Bildpunkt YYY
+
+ Wichtig ist: Die Differenz der Längengrade ist gleich der Innenwinkel Alpha, deswegen der Betrag!
+
+Nun haben wir die beiden Seiten $c\ und\ b$ und den Winkel $\alpha$, der sich zwischen diesen Seiten befindet. 
+Mithilfe des Seiten-Kosinussatzes $cos(a) = cos(b)*cos(c) + sin(b) * sin(c)*cos(\alpha)$ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. 
+Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. 
+Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta \ und\ \gamma$.
+
+Dieser bestimmen wir mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$.
+Hier muss man aufpassen, dass man Seite von Winkel unterscheiden kann. Im Zähler sind die Seiten, im Nenner die Winkel. Somit ist $sin(\beta) = sin(b) * \frac{sin(\alpha)}{sin(a)} $.
+
+Schlussendlich haben wir die Seiten $a,b\ und \ c$, die Ecken A,B und C und die Winkel $\alpha, \beta \ und \ \gamma$ bestimmt und somit das ganze erste Kugeldreieck berechnet.
+
+\subsubsection{Bestimmung des zweiten Dreiecks}
+Wir bilden nun ein zweites Dreieck, welches die Ecken B und C des ersten Dreiecks besitzt. 
+Die dritte Ecke ist der eigene Standort P.
+Unser Standort definiere sich aus einer geographischen Breite $\delta$ und einer geographischen Länge $\lambda$. 
+
+Die Seite von P zu B sei $pb$ und die Seite von P zu C sei $pc$.
+Die beiden Seitenlängen kann man mit dem Sextant messen und durch eine einfache Formel bestimmen, nämlich $pb=\frac{\pi}{2} - h_{B}$ und $pc=\frac{\pi}{2} - h_{C}$ 
+
+mit $h_B=$ Höhe von Gestirn in B und $h_C=$ Höhe von Gestirn in C mit Sextant gemessen.
+\\
+
+Nun muss man eine Verbindungslinie ziehen zwischen P und A. Die Länge $l$ dieser Linie entspricht der gesuchten geographischen Breite $\delta$. Diese lässt sich mithilfe des Dreiecks $ABP$ mit den bekannten Seiten $c\ und \ pb$ und des Seiten-Kosinussatzes 
+
+$cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$ berechnen. 
+
+Es fehlt uns noch $\beta1$. 
+Da wir aber $pc$, $pb$ und $a$ kennen, kann man mit dem Seiten-Kosinussatz den Winkel $\beta1$ berechnen
+\\
+
+Somit ist $\delta = cos(l) = cos(c)*cos(pb) + sin(c) * sin(pb)*cos(\beta)$.
+\\
+
+Für die Geographische Länge $\lambda$ des eigenen Standortes muss man den Winkel $\omega$, welcher sich im Dreieck $ABP$ în der Ecke bei $A$ befindet mithilfe des Sinussatzes $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)}$ bestimmen. 
+\\
+
+Somit ist $\omega=sin(pb)*\frac{sin(\beta)}{sin(l)}$ und unsere gesuchte geographische Länge schlussendlich 
+$\lambda=\lambda_1 - \omega$
+
+
+
+\end{document}
+\ No newline at end of file
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index 9faa48d..15c7fdc 100644
--- a/buch/papers/nav/packages.tex
+++ b/buch/papers/nav/packages.tex
@@ -8,3 +8,9 @@
 % following example
 %\usepackage{packagename}
 
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
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+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage{xcolor, soul}
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@@ -0,0 +1,51 @@
+\documentclass[12pt]{scrartcl}
+\usepackage{ucs}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{graphicx}
+
+
+\begin{document}
+	\section{Sphärische Trigonometrie}
+	\subsection{Das Kugeldreieck}
+	
+Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden, so entsteht ein Kugeldreieck ABC.
+A, B und C sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten. 
+Da die Länge der Grosskreisbögen wegen der Abhängigkeit vom Kugelradius ungeeignet ist, wird die Grösse einer Seite mit dem zugehörigen Mittelpunktwinkel des Grosskreisbogens angegeben. 
+Laut dieser Definition ist die Seite c der Winkel AMB. 
+Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. 
+Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Aussen ist. 
+Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. 
+Jenes Kugeldreieck mit den Seitenlängen $a, b, c < \pi$ und den Winkeln $\alpha, \beta, \gamma < \pi$ nennt man Eulersche Dreiecke.
+\begin{figure}[h]
+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=6cm]{Bilder/kugel1.png}
+	\end{center}
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+\end{figure}
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+\subsection{Rechtwinkliges Dreieck und Rechtseitiges Dreieck}
+Wie auch im uns bekannten Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein Rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. 
+Ein Rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss.
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+\subsection{Winkelangabe}
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+	\begin{center}
+		\includegraphics[width=8cm]{Bilder/kugel2.png}
+	\end{center}	
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+Die Winkel eines Kugeldreiecks sind die, welche die Halbtangenten in den Eckpunkten einschliessen. 
+Für die Summe der Innenwinkel gilt $\alpha+\beta+\gamma = \frac{A}{r^2} + \pi$ und
+$\alpha+\beta+\gamma > \pi$.
+Der sphärische Exzess $\epsilon = \alpha+\beta+\gamma - \pi$ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zum Flächeninhalt des Kugeldreiecks.
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+\subsection{Sphärischer Sinussatz}
+In jedem Dreieck ist das Verhältnis des Sinus einer Seite zum Sinus des Gegenwinkels konstant. 
+Das bedeutet, dass $\frac{\sin (a)}{\sin (\alpha)} =\frac{\sin (b)}{\sin (\beta)} = \frac{\sin (c)}{\sin (\gamma)} $ auch beim Kugeldreieck gilt.
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+\subsection{Sphärischer Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Kugeldreieck}
+Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich garkeinen "Satz des Pythagoras", wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt.
+In der sphärischen Trigonometrie gibt es aber auch einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. 
+Es gilt nämlich: $\cos c = \cos a * \cos b$ wenn $\alpha \lor \beta \lor \gamma = \frac{\pi}{2} $.
+
+\end{document}
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