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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4b251db..4a6f8f4 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -4,42 +4,65 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % \section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} -\rhead{Teil 0} -Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. -Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im -parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. -\subsection{Laplace Gleichung} -Die partielle Differentialgleichung -\begin{equation} - \Delta f = 0 -\end{equation} -ist als Laplace-Gleichung bekannt. -Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +\rhead{Einleitung} +%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht. + +\subsection{Helmholtz-Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} - \Delta f = g + \nabla f = \lambda f \end{equation} -mit g als beliebige Funktion. -In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten -verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. -Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung \begin{equation} - \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} -\label{parzyl:eq:max1} + \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t) + = + 0 \end{equation} -besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem -Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. -Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen -Potentials +mit Hilfe von Separation \begin{equation} - \nabla \phi = E. -\end{equation} -Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert + u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) +\end{equation} +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, welcher Zeit unabhängig ist \begin{equation} - \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). \end{equation} -was eine Possion-Gleichung ist. -An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. + +%\subsection{Laplace Gleichung} +%Die partielle Differentialgleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = 0 +%\end{equation} +%ist als Laplace-Gleichung bekannt. +%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +%\begin{equation} +% \Delta f = g +%\end{equation} +%mit $g$ als beliebiger Funktion. +%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten +%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +%\begin{equation} +% \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +%\label{parzyl:eq:max1} +%\end{equation} +%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem +%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist. +%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +%Potentials +%\begin{equation} +% \nabla \phi = E. +%\end{equation} +%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +%\begin{equation} +% \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +%\end{equation} +%was eine Poisson-Gleichung ist. +%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. @@ -51,7 +74,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln \begin{equation} y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} @@ -67,7 +90,6 @@ und konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} \label{parzyl:fig:cordinates} \end{figure} - Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. @@ -75,8 +97,6 @@ Ebene gezogen werden. Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. -\dots - Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} @@ -85,7 +105,7 @@ kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \label{parzyl:eq:ds} \end{equation} ausgedrückt werden. -Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +Die Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 @@ -106,7 +126,7 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} - = d \tilde{z} \\ + = d \tilde{z} \end{align} substituiert. Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} @@ -120,7 +140,7 @@ geschrieben, resultiert Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \begin{align} h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ - h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ h_{z} &= 1. \end{align} \subsection{Differentialgleichung} @@ -216,26 +236,12 @@ und + \mu \right ) - i(\tau) + i(z) = 0 \end{equation} führt. -Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} -\begin{equation} - i(z) - = - A\cos{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} - + - B\sin{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} -\end{equation} -ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + |