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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 3f890d0..705dbef 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,89 +3,105 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Anwendung in der Physik -\label{parzyl:section:teil2}} -\rhead{Teil 2} +\section{Eigenschaften + \label{parzyl:section:Eigenschaften}} +\rhead{Eigenschaften} - -\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte -\label{parzyl:subsection:bonorum}} -Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. -Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist. -Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als -\begin{equation} - F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. -\end{equation} -Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass -\begin{equation} - \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} - = - \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} - \qquad - \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} - = - -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. -\end{equation} -Aus dieser Bedingung folgt -\begin{equation} - \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} - \underbrace{ - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\nabla^2U(x,y)=0} - \qquad - \underbrace{ - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\nabla^2V(x,y) = 0}. -\end{equation} -Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind. -Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als -\begin{equation} - \nabla^2\phi(x,y) = 0. -\end{equation} -Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet. -Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes. -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist -\begin{equation} - F(z) - = - \sqrt{z} +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen +$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben +\begin{align} + w_1(\alpha,x) + &= + e^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \sqrt{x + iy}. -\end{equation} -Dies kann umgeformt werden zu -\begin{equation} - F(z) + e^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + + + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(\alpha,x) + &= + xe^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} - + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} - . -\end{equation} -Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt, + xe^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + x + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +sind. + + +Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. +Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} - \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}, + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +% c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} - \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann +Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. +\subsection{Ableitung} +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen \begin{equation} - x = \sigma \tau, -\end{equation} + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), +\end{equation} +und +%\begin{equation} +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +%\end{equation} \begin{equation} - y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ) + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + \right) \end{equation} - - - - - +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. |