diff options
Diffstat (limited to 'buch/papers/parzyl/teil2.tex')
| -rw-r--r-- | buch/papers/parzyl/teil2.tex | 109 |
1 files changed, 80 insertions, 29 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 75ba259..3f890d0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,38 +3,89 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 +\section{Anwendung in der Physik \label{parzyl:section:teil2}} \rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum + +\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte \label{parzyl:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. +Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist. +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass +\begin{equation} + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. +\end{equation} +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\nabla^2U(x,y)=0} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\nabla^2V(x,y) = 0}. +\end{equation} +Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind. +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet. +Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes. +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +\begin{equation} + F(z) + = + \sqrt{z} + = + \sqrt{x + iy}. +\end{equation} +Dies kann umgeformt werden zu +\begin{equation} + F(z) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt, +\begin{equation} + \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}, +\end{equation} +und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} + \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann +\begin{equation} + x = \sigma \tau, +\end{equation} +\begin{equation} + y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ) +\end{equation} + + + |