aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/parzyl
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/Makefile16
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/common.inc64
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpgbin0 -> 200681 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdfbin0 -> 208606 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/halfplane.pngbin0 -> 473623 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov201
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex41
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/D_plot.pngbin0 -> 746370 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.pngbin0 -> 209118 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/coordinates.pngbin0 -> 1215422 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/plane.pdfbin0 -> 2072 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/img/v_plot.pngbin0 -> 648430 bytes
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/main.tex4
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/references.bib42
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex161
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex235
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex168
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex157
18 files changed, 916 insertions, 173 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/Makefile b/buch/papers/parzyl/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..4bd13ec
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/Makefile
@@ -0,0 +1,16 @@
+#
+# Makefile to build 3d images
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+#
+
+all: halfplane.pdf
+
+halfplane.pdf: halfplane.tex halfplane.jpg
+ pdflatex halfplane.tex
+halfplane.png: halfplane.pov
+ povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ohalfplane.png halfplane.pov
+halfplane.jpg: halfplane.png Makefile
+ convert -extract 1280x1080+340+0 halfplane.png \
+ -density 300 -units PixelsPerInch halfplane.jpg
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/common.inc b/buch/papers/parzyl/images/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..28aed2b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/common.inc
@@ -0,0 +1,64 @@
+//
+// common.inc -- some common useful tools for drawing 3d images
+//
+// (c) 2018 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+//
+
+//
+// draw a right angle quarter circle at point <o> with legs <v1> and <v2> and
+// color <c>
+//
+#declare rechterwinkelradius = 0.5;
+#declare rechterwinkelthickness = 0.01;
+#macro rechterwinkel(o, v1, v2, c)
+intersection {
+ sphere { o, rechterwinkelradius }
+ #declare rnormale = vnormalize(vcross(v1, v2));
+ plane { rnormale, vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 }
+ plane { -rnormale, -vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 }
+ plane { -v1, -vdot(o, v1) }
+ plane { -v2, -vdot(o, v2) }
+ pigment {
+ color c
+ }
+}
+sphere { o + 0.45 * (vnormalize(v1) +vnormalize(v2)) * rechterwinkelradius,
+ 0.05 * rechterwinkelradius / 0.5
+ pigment {
+ color c
+ }
+}
+#end
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+ #declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+ #declare arrowlength = vlength(to - from);
+ union {
+ sphere {
+ from, 1.1 * arrowthickness
+ }
+ cylinder {
+ from,
+ from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+ arrowthickness
+ }
+ cone {
+ from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,
+ 2 * arrowthickness,
+ to,
+ 0
+ }
+ pigment {
+ color c
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+ }
+#end
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg
new file mode 100644
index 0000000..8cb5ae3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7275810
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png
new file mode 100644
index 0000000..5beefa0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov
new file mode 100644
index 0000000..419bb67
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov
@@ -0,0 +1,201 @@
+//
+// 3dimage.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "skies.inc"
+#include "common.inc"
+
+global_settings {
+ assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.63;
+#declare ar = 0.02;
+
+#declare Cameracenter = <5,3,-4>;
+#declare Worldpoint = <0,-0.80, 0>;
+#declare Lightsource = < 7,10,-3>;
+#declare Lightdirection = vnormalize(Lightsource - Worldpoint);
+#declare Lightaxis1 = vnormalize(vcross(Lightdirection, <0,1,0>));
+#declare Lightaxis2 = vnormalize(vcross(Lightaxis1, Lightdirection));
+
+camera {
+ location Cameracenter
+ look_at Worldpoint
+ right 16/9 * x * imagescale
+ up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+ Lightsource color White
+ area_light Lightaxis1 Lightaxis2, 10, 10
+ adaptive 1
+ jitter
+}
+
+sky_sphere {
+ pigment {
+ color White
+ }
+}
+
+arrow( <-2.1, 0, 0 >, < 2.2, 0, 0 >, ar, White)
+arrow( < 0, -1.1, 0 >, < 0, 1.3, 0 >, ar, White)
+arrow( < 0, 0, -2 >, < 0, 0, 2.2 >, ar, White)
+
+#declare planecolor = rgb<0.2,0.6,1.0>;
+#declare r = 0.01;
+
+#macro planebox()
+ box { <-2.1,-1.1,-2.1>, <0,1.1,2.1> }
+#end
+
+intersection {
+ plane { <0, 0, 1>, 0.001 }
+ plane { <0, 0, -1>, 0.001 }
+ planebox()
+ pigment {
+ color planecolor transmit 0.3
+ }
+ finish {
+ metallic
+ specular 0.95
+ }
+}
+
+#declare Xstep = 0.2;
+
+intersection {
+ union {
+ #declare X = 0;
+ #while (X > -2.5)
+ cylinder { <X,-3,0>, <X,+3,0>, r }
+ #declare X = X - Xstep;
+ #end
+
+ #declare Y = Xstep;
+ #while (Y < 2.5)
+ cylinder { <-3, Y, 0>, <0, Y, 0>, r }
+ cylinder { <-3, -Y, 0>, <0, -Y, 0>, r }
+ #declare Y = Y + Xstep;
+ #end
+ }
+ planebox()
+ pigment {
+ color planecolor
+ }
+ finish {
+ metallic
+ specular 0.95
+ }
+}
+
+#declare parammin = -4;
+#declare parammax = 4;
+#declare paramsteps = 100;
+#declare paramstep = (parammax - parammin) / paramsteps;
+
+#macro punkt(sigma, tau, Z)
+ <
+ 0.5 * (tau*tau - sigma*sigma)
+ Z,
+ sigma * tau,
+ >
+#end
+
+#macro sigmasurface(sigma, farbe)
+ #declare taumin1 = 2/sigma;
+ #declare taumin2 = sqrt(4+sigma*sigma);
+ #if (taumin1 > taumin2)
+ #declare taumin = -taumin2;
+ #else
+ #declare taumin = -taumin1;
+ #end
+
+ mesh {
+ #declare tau = taumin;
+ #declare taumax = -taumin;
+ #declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps;
+ #while (tau < taumax - taustep/2)
+ triangle {
+ punkt(sigma, tau, -1),
+ punkt(sigma, tau, 0),
+ punkt(sigma, tau + taustep, -1)
+ }
+ triangle {
+ punkt(sigma, tau + taustep, -1),
+ punkt(sigma, tau + taustep, 0),
+ punkt(sigma, tau, 0)
+ }
+ #declare tau = tau + taustep;
+ #end
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+ }
+
+ union {
+ #declare tau = taumin;
+ #declare taumax = -taumin;
+ #declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps;
+ #while (tau < taumax - taustep/2)
+ sphere { punkt(sigma, tau, 0), r }
+ cylinder {
+ punkt(sigma, tau, 0),
+ punkt(sigma, tau + taustep, 0),
+ r
+ }
+ #declare tau = tau + taustep;
+ #end
+ sphere { punkt(sigma, tau, 0), r }
+ pigment {
+ color farbe
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+
+ }
+#end
+
+#declare greensurfacecolor = rgb<0.6,1.0,0.6>;
+#declare redsurfacecolor = rgb<1.0,0.6,0.6>;
+
+sigmasurface(0.25, greensurfacecolor)
+sigmasurface(0.5, greensurfacecolor)
+sigmasurface(0.75, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.25, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.5, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.75, greensurfacecolor)
+sigmasurface(2, greensurfacecolor)
+
+union {
+ sigmasurface(0.25, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(0.5, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(0.75, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(1.00, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(1.25, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(1.5, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(1.75, redsurfacecolor)
+ sigmasurface(2, redsurfacecolor)
+ rotate <0, 180, 0>
+}
+
+box { <-2,-1,-2>, <2,-0.99,2>
+ pigment {
+ color rgb<1.0,0.8,0.6> transmit 0.8
+ }
+ finish {
+ specular 0.9
+ metallic
+ }
+}
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex
new file mode 100644
index 0000000..e470057
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% halfplane.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{5}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{halfplane.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0,3.7) {$z$};
+\node at (3.3,-0.3) {$x$};
+\node at (2.7,2.5) {$y$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
new file mode 100644
index 0000000..6c61eea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
new file mode 100644
index 0000000..f55e3cf
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/Plane_2D.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
new file mode 100644
index 0000000..0ea3701
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/coordinates.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c52c336
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
new file mode 100644
index 0000000..7cd5455
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
Binary files differ
diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex
index 528a2e2..fd2aea7 100644
--- a/buch/papers/parzyl/main.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/main.tex
@@ -6,13 +6,13 @@
\chapter{Parabolische Zylinderfunktionen\label{chapter:parzyl}}
\lhead{Parabolische Zylinderfunktionen}
\begin{refsection}
-\chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller}
+\chapterauthor{Alain Keller und Thierry Schwaller}
\input{papers/parzyl/teil0.tex}
\input{papers/parzyl/teil1.tex}
\input{papers/parzyl/teil2.tex}
-
+\input{papers/parzyl/teil3.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 494ff7c..9639d0b 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -33,3 +33,45 @@
url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
}
+@book{parzyl:whittaker,
+ place={Cambridge},
+ edition={4},
+ series={Cambridge Mathematical Library},
+ title={A Course of Modern Analysis},
+ DOI={10.1017/CBO9780511608759},
+ publisher={Cambridge University Press},
+ author={Whittaker, E. T. and Watson, G. N.},
+ year={1996},
+ collection={Cambridge Mathematical Library}}
+
+@book{parzyl:abramowitz-stegun,
+ added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ address = {New York},
+ author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
+ edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing},
+ interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c},
+ intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f},
+ keywords = {Handbook},
+ publisher = {Dover},
+ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+ title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
+ year = 1972
+}
+
+@online{parzyl:coordinates,
+ title = {Parabolic cylindrical coordinates},
+ url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates},
+ date = {2022-08-17},
+ year = {2022},
+ month = {8},
+ day = {17}
+}
+
+@online{parzyl:scalefac,
+ title = {An introduction to curvlinear orthogonal coordinates},
+ url = {http://dslavsk.sites.luc.edu/courses/phys301/classnotes/scalefactorscomplete.pdf},
+ date = {2022-08-18},
+ year = {2022},
+ month = {08},
+ day = {18}
+} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4b251db..e6d27b9 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -4,88 +4,113 @@
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
-Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
-In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im
-parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
-\subsection{Laplace Gleichung}
-Die partielle Differentialgleichung
-\begin{equation}
- \Delta f = 0
-\end{equation}
-ist als Laplace-Gleichung bekannt.
-Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+\rhead{Einleitung}
+%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im
+%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem,
+die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+
+\subsection{Helmholtz-Gleichung}
+Die partielle Differentialgleichung
\begin{equation}
- \Delta f = g
+ \Delta f = \lambda f
\end{equation}
-mit g als beliebige Funktion.
-In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten
-verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
-Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwertproblem für den Laplace-Operator.
+Sie ist eine der Gleichungen, welche auftritt, wenn die Wellengleichung
\begin{equation}
- \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
-\label{parzyl:eq:max1}
+ \left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) u(\textbf{r},t)
+ =
+ 0
\end{equation}
-besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem
-Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist.
-Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
-Potentials
+mit Hilfe von Separation
\begin{equation}
- \nabla \phi = E.
-\end{equation}
-Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+ u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
+\end{equation}
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil
\begin{equation}
- \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+ \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}),
\end{equation}
-was eine Possion-Gleichung ist.
-An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
+welcher zeitunabhängig ist.
+%\subsection{Laplace Gleichung}
+%Die partielle Differentialgleichung
+%\begin{equation}
+% \Delta f = 0
+%\end{equation}
+%ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+%\begin{equation}
+% \Delta f = g
+%\end{equation}
+%mit $g$ als beliebiger Funktion.
+%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
+%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen
+%\begin{equation}
+% \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+%\label{parzyl:eq:max1}
+%\end{equation}
+%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem
+%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
+%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+%Potentials
+%\begin{equation}
+% \nabla \phi = E.
+%\end{equation}
+%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+%\begin{equation}
+% \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+%\end{equation}
+%was eine Poisson-Gleichung ist.
+%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
\label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
-Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
+Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem,
+bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
+Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch
\begin{align}
- x & = \sigma \tau \\
+ x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
\label{parzyl:coordRelationsa}
- y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
+ y & = \sigma \tau\\
z & = z.
\label{parzyl:coordRelationse}
\end{align}
-Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln
+Wird $\sigma$ oder $\tau$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
+ x = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
\end{equation}
und
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
+ x = \frac{1}{2} \left( -\frac{y^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
\end{equation}
\begin{figure}
\centering
- \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
- \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein
- konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
+ \includegraphics[scale=0.32]{papers/parzyl/img/coordinates.png}
+ \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die grünen Parabeln haben ein
+ konstantes $\sigma$ und die roten ein konstantes $\tau$.}
\label{parzyl:fig:cordinates}
\end{figure}
-
-Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
+Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang der $z$-Achse dar.
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
-können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
-
-\dots
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
-Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet
-kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit
+Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem als
\begin{equation}
\left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 +
\left(dz\right)^2
\label{parzyl:eq:ds}
\end{equation}
ausgedrückt werden.
-Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass
+Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass
\begin{equation}
\left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 +
\left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
@@ -98,15 +123,15 @@ von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+ = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+ = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
\frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z}
- = d \tilde{z} \\
+ = d \tilde{z}
\end{align}
substituiert.
Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
@@ -120,21 +145,21 @@ geschrieben, resultiert
Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren
\begin{align}
h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
- h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+ h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
h_{z} &= 1.
\end{align}
\subsection{Differentialgleichung}
Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen
-Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren
mitgerechnet werden.
-Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als
+Der Laplace Operator wird dadurch zu
\begin{equation}
\Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
\left(
\frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
\right)
- + \frac{\partial^2 f}{\partial z}.
+ + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
\label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
\end{equation}
\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
@@ -162,7 +187,7 @@ gelöst wird.
% +
% \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
%\end{equation}
-Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung
+Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung
\begin{equation}
\Delta f(\sigma, \tau, z)
=
@@ -177,12 +202,11 @@ Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Hel
=
\lambda f(\sigma,\tau,z).
\end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden. Dazu wird
\begin{equation}
f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
\end{equation}
-gesetzt.
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
+gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
g''(\sigma)
-
@@ -216,26 +240,13 @@ und
+
\mu
\right )
- i(\tau)
+ i(z)
=
0
\end{equation}
-führt.
-Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
-\begin{equation}
- i(z)
- =
- A\cos{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
- \right )}
- +
- B\sin{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
- \right )}
-\end{equation}
-ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten.
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch
+als Webersche Differentialgleichungen bekannt.
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+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -5,24 +5,225 @@
%
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution
-in die Whittaker Gleichung gelöst werden.
+\rhead{Lösung}
+Zur Lösung der Helmholtz-Gleichung müssen erst die Lösungen der separierten
+Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} bis \eqref{parzyl:sep_dgl_3}
+gefunden werden.
+\subsection{Lösung der Schwingungsgleichung \eqref{parzyl:sep_dgl_3}}
+\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
+Die Lösung ist somit
+\begin{equation}
+ i(z)
+ =
+ A\cos{
+ \left ( z
+ \sqrt{\lambda + \mu}
+ \right )}
+ +
+ B\sin{
+ \left ( z
+ \sqrt{\lambda + \mu}
+ \right )}.
+\end{equation}
+\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung}
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
+mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
+\begin{satz}
+ Die Funktionen
+ \begin{equation}
+ M_{k,m}(x) =
+ e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+ \label{parzyl:eq:sol_diffEq_1}
+ \end{equation}
+ und damit auch die Linearkombinationen
+ \begin{equation}
+ W_{k,m}(x) = \frac{
+ \Gamma \left( -2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+ }
+ M_{-k, m} \left(x\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma \left( 2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+ }
+ M_{k, -m} \left(x\right)
+ \label{parzyl:eq:sol_diffEq_2}
+ \end{equation}
+ sind Lösungen der Differentialgleichung
+ \begin{equation}
+ \frac{d^2W}{d x^2} +
+ \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+ \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+ \end{equation}
+
+\end{satz}
\begin{definition}
- Die Funktion
- \begin{equation*}
- W_{k,m}(z) =
- e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
- {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z)
- \end{equation*}
- heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
- von
- \begin{equation}
- \frac{d^2W}{d z^2} +
- \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
- \end{equation}
+ Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq} heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen.
\end{definition}
-
-Lösung Folgt\dots
+%\begin{definition}
+% Die Funktionen
+% \begin{equation*}
+% M_{k,m}(x) =
+% e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% (
+% {\textstyle \frac{1}{2}}
+% + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+% \end{equation*}
+% und
+% \begin{equation*}
+% W_{k,m}(x) = \frac{
+% \Gamma \left( -2m\right)
+% }{
+% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+% }
+% M_{-k, m} \left(x\right)
+% +
+% \frac{
+% \Gamma \left( 2m\right)
+% }{
+% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+% }
+% M_{k, -m} \left(x\right)
+% \end{equation*}
+% gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
+% der Whittaker Differentialgleichung
+% \begin{equation}
+% \frac{d^2W}{d x^2} +
+% \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+% \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+% \end{equation}
+%
+%\end{definition}
+Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
+\begin{equation}
+ w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
+\end{equation}
+als Lösung hat.
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
+\begin{equation}
+ \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
+\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\end{equation}
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+$w$ als Lösung haben.
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+% \label{parzyl:eq:solution_dgl}
+% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% (
+% {\textstyle \frac{1}{4}}
+% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% ({\textstyle \frac{3}{4}}
+% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
+\subsection{Standardlösungen}
+In der Literatur gibt es verschiedene Standardlösungen für
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+ D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
+\begin{equation}
+ D_n(x) = \frac{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
+ }
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
+ }{
+ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+ }
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
+\end{equation}
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$
+\begin{align}
+ U(a,x) &=
+ \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \label{parzyl:eq:Uaz}
+ \\
+ V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+ \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+ + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+ \right\}
+ \label{parzyl:eq:Vaz}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+ Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+ e^{-x^2/4}
+ {}_{1} F_{1}
+ \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}},
+ {\textstyle \frac{1}{2}} ;
+ {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
+ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
+ \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
+ {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+ {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}}
+ x e^{-x^2/4}
+ {}_{1} F_{1}
+ \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}},
+ {\textstyle \frac{3}{2}} ;
+ {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
+\end{align}
+der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
+\end{equation}
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+ U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
+ V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+ \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind
+die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+ \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
+ \label{parzyl:fig:dnz}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+ \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+ \label{parzyl:fig:Vnz}
+\end{figure} \ No newline at end of file
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index 3f890d0..705dbef 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -3,89 +3,105 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Anwendung in der Physik
-\label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
+\section{Eigenschaften
+ \label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
-
-\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte
-\label{parzyl:subsection:bonorum}}
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will.
-Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist.
-Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
-\begin{equation}
- F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
-\end{equation}
-Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass
-\begin{equation}
- \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
- =
- \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}
- \qquad
- \frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
- =
- -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}.
-\end{equation}
-Aus dieser Bedingung folgt
-\begin{equation}
- \label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
- \underbrace{
- \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
- +
- \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
- =
- 0
- }_{\nabla^2U(x,y)=0}
- \qquad
- \underbrace{
- \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
- +
- \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
- =
- 0
- }_{\nabla^2V(x,y) = 0}.
-\end{equation}
-Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind.
-Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
-\begin{equation}
- \nabla^2\phi(x,y) = 0.
-\end{equation}
-Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet.
-Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes.
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
-\begin{equation}
- F(z)
- =
- \sqrt{z}
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+ \label{parzyl:potenz}}
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen geschrieben
+\begin{align}
+ w_1(\alpha,x)
+ &=
+ e^{-x^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
- \sqrt{x + iy}.
-\end{equation}
-Dies kann umgeformt werden zu
-\begin{equation}
- F(z)
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
+ \sum^{\infty}_{n=0}
+ \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+ &=
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
+ \left (
+ 1
+ +
+ \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+ +
+ \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}
+ +
+ \dots
+ \right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+ w_2(\alpha,x)
+ &=
+ xe^{-x^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
- \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
- +
- i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
- .
-\end{equation}
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt,
+ xe^{-\frac{x^2}{4}}
+ \sum^{\infty}_{n=0}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+ &=
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
+ \left (
+ x
+ +
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+ +
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}
+ +
+ \dots
+ \right )
+\end{align}
+sind.
+
+
+Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen.
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
- \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}},
+ \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+% c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
-und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
- \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
+\subsection{Ableitung}
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden.
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
\begin{equation}
- x = \sigma \tau,
-\end{equation}
+ \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
+\end{equation}
+und
+%\begin{equation}
+% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%\end{equation}
\begin{equation}
- y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right )
+ \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+ x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+ {}_{1} F_{1} (
+ {\textstyle \frac{3}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+ \right)
\end{equation}
-
-
-
-
-
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 4e44bd6..4176b55 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -3,6 +3,157 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Teil 3
-\label{parzyl:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
+
+\section{Anwendung in der Physik
+ \label{parzyl:section:teil2}}
+\rhead{Anwendung in der Physik}
+
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot, die des elektrischen Feldes in grün und
+semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist, kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+\end{figure}
+
+Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
+\begin{equation}
+ F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+\end{equation}
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
+\begin{equation}
+ \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
+ =
+ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}
+ \qquad
+ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
+ =
+ -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
+\end{equation}
+gelten.
+Aus dieser Bedingung folgt
+\begin{equation}
+ \label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
+ \underbrace{
+ \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
+ =
+ 0
+ }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
+ \qquad
+ \underbrace{
+ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
+ =
+ 0
+ }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
+\end{equation}
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+
+Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
+\begin{equation}
+ \nabla^2\phi(x,y) = 0.
+\end{equation}
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+
+
+Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden:
+\begin{equation}
+ \phi(x,y) = U(x,y).
+\end{equation}
+Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld
+\begin{equation}
+ E(x,y) = V(x,y).
+\end{equation}
+
+
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
+welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
+Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+\begin{equation}
+ F(s)
+ =
+ \sqrt{s}
+ =
+ \sqrt{x + iy}.
+\end{equation}
+Dies kann umgeformt werden zu
+\begin{equation}
+ F(s)
+ =
+ \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{\displaystyle{U(x,y)}}
+ +
+ i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{\displaystyle{V(x,y)}}
+ .
+\end{equation}
+
+
+%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
+%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+%\begin{equation}
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+%\end{equation}
+%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+%\begin{equation}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+%\end{equation}
+%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+\begin{equation}
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+ c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+\end{equation}
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+\begin{equation}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+\begin{align}
+ x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
+ y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
+
+Nun wurde gezeigt, wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet, um
+das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreiben.
+Um die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich zu lösen,
+da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetische Welle in der Nähe
+der Platte interessiert ist, kann man jetzt die parabolischen Zylinderfunktionen verwenden.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file