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diff --git a/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png b/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..3ee582d --- /dev/null +++ b/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index ff21c9f..528a2e2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -8,29 +8,11 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller} -Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes -\begin{itemize} -\item -Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt. -Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet. -\item -Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende -Optionen werden gelöscht. -Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen. -\item -Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. -Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen -in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt -anzuwenden. -\item -Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren -Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern. -\end{itemize} + \input{papers/parzyl/teil0.tex} \input{papers/parzyl/teil1.tex} \input{papers/parzyl/teil2.tex} -\input{papers/parzyl/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 09b4024..4b251db 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -3,20 +3,239 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 0\label{parzyl:section:teil0}} +\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} \rhead{Teil 0} -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua \cite{parzyl:bibtex}. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. -Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum -dolor sit amet. - -Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam -nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam -erat, sed diam voluptua. -At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum. Stet clita -kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit -amet. +Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. +\subsection{Laplace Gleichung} +Die partielle Differentialgleichung +\begin{equation} + \Delta f = 0 +\end{equation} +ist als Laplace-Gleichung bekannt. +Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung +\begin{equation} + \Delta f = g +\end{equation} +mit g als beliebige Funktion. +In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten +verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. +Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen +\begin{equation} + \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0} +\label{parzyl:eq:max1} +\end{equation} +besagt das die Divergenz eines Elektrischen Feldes an einem +Punkt gleich der Ladung an diesem Punkt ist. +Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen +Potentials +\begin{equation} + \nabla \phi = E. +\end{equation} +Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert +\begin{equation} + \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, +\end{equation} +was eine Possion-Gleichung ist. +An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. +\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten +\label{parzyl:subsection:finibus}} +Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +\begin{align} + x & = \sigma \tau \\ + \label{parzyl:coordRelationsa} + y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ + z & = z. + \label{parzyl:coordRelationse} +\end{align} +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln +\begin{equation} + y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) +\end{equation} +und +\begin{equation} + y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right). +\end{equation} + +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png} + \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein + konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.} + \label{parzyl:fig:cordinates} +\end{figure} + +Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. +Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der +Ebene gezogen werden. + +Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu +können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. + +\dots + +Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet +kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + + \left(dz\right)^2 + \label{parzyl:eq:ds} +\end{equation} +ausgedrückt werden. +Das Skalierungsfaktoren werden so bestimmt, dass +\begin{equation} + \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + + \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2 +\label{parzyl:eq:dspara} +\end{equation} +gilt. +Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen +von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als +\begin{align} + dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ + dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ + dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} + = d \tilde{z} \\ +\end{align} +substituiert. +Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} +geschrieben, resultiert +\begin{equation} + \left(d s\right)^2 = + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + + \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 + + \left(d \tilde{z}\right)^2. +\end{equation} +Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren +\begin{align} + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ + h_{z} &= 1. +\end{align} +\subsection{Differentialgleichung} +Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen +Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +mitgerechnet werden. +Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +\begin{equation} + \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left( + \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} + \right) + + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} +\end{equation} +\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} +Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen +%, wie bereits erwähnt, +dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) +\end{equation} +im parabolischen Zylinderkoordinatensystem +\begin{equation} + \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) +\end{equation} +gelöst wird. +%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als +%\begin{equation} +% \Delta +% = +% \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} +% \left ( +% \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} +% + +% \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} +% \right ) +% + +% \frac{\partial^2}{\partial z^2}. +%\end{equation} +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(\sigma, \tau, z) + = + \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left ( + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2} + \right ) + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2} + = + \lambda f(\sigma,\tau,z). +\end{equation} +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +\begin{equation} + f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) +\end{equation} +gesetzt. +Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} + g''(\sigma) + - + \left ( + \lambda\sigma^2 + + + \mu + \right ) + g(\sigma) + = + 0, +\end{equation} +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2} + h''(\tau) + - + \left ( + \lambda\tau^2 + - + \mu + \right ) + h(\tau) + = + 0 +\end{equation} +und +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3} + i''(z) + + + \left ( + \lambda + + + \mu + \right ) + i(\tau) + = + 0 +\end{equation} +führt. +Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} +\end{equation} +ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 9ea60e2..f297189 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -3,53 +3,26 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 1 +\section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. -Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit -aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione -voluptatem sequi nesciunt -\begin{equation} -\int_a^b x^2\, dx -= -\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b -= -\frac{b^3-a^3}3. -\label{parzyl:equation1} -\end{equation} -Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, -consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora -incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution +in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +\begin{definition} + Die Funktion + \begin{equation*} + W_{k,m}(z) = + e^{-z/2} z^{m+1/2} \, + {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z) + \end{equation*} + heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung + von + \begin{equation} + \frac{d^2W}{d z^2} + + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \end{equation} +\end{definition} -Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis -suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? -Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit -esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum -fugiat quo voluptas nulla pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{parzyl:subsection:finibus}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}. - -Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio -\ref{parzyl:section:loesung}. -Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil -impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis -voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus -\ref{parzyl:section:folgerung}. -Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum -necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et -molestiae non recusandae. -Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis -voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus -asperiores repellat. +Lösung Folgt\dots diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 75ba259..3f890d0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,38 +3,89 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Teil 2 +\section{Anwendung in der Physik \label{parzyl:section:teil2}} \rhead{Teil 2} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? -\subsection{De finibus bonorum et malorum + +\subsection{Elektrisches Feld einer semi-infiniten Platte \label{parzyl:subsection:bonorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte finden will. +Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Wobei die Platte dann nur eine Linie ist. +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(z) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad z \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei muss gelten, falls die Funktion differenzierbar ist, dass +\begin{equation} + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}. +\end{equation} +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\nabla^2U(x,y)=0} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\nabla^2V(x,y) = 0}. +\end{equation} +Zusätzlich zeigen diese Bedingungen auch, dass die zwei Funktionen $U(x,y)$ und $V(x,y)$ orthogonal zueinander sind. +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Da dies bei komplexen differenzierbaren Funktionen gilt, wie Gleichung \ref{parzyl_e_feld_zweite_ab} zeigt, kann entweder $U(x,y)$ oder $V(x,y)$ von einer solchen Funktion als das Potential angesehen werden. Im weiteren wird für das Potential $U(x,y)$ verwendet. +Da die Funktion, welche nicht das Potential beschreibt, in weiteren angenommen als $V(x,y)$, orthogonal zum Potential ist, zeigt dies das Verhalten des elektrischen Feldes. +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete komplexe Funktion $F(z)$ gefunden werden, welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. Man könnte natürlich auch nach anderen Funktionen suchen, welche andere Bedingungen erfüllen und würde dann auf andere Koordinatensysteme stossen. Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist +\begin{equation} + F(z) + = + \sqrt{z} + = + \sqrt{x + iy}. +\end{equation} +Dies kann umgeformt werden zu +\begin{equation} + F(z) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, indem man die Funktion welche das Potential beschreibt gleich eine Konstante setzt, +\begin{equation} + \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}, +\end{equation} +und die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} + \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun wie man vom kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. Werden diese Formeln nun nach x und y aufgelöst so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann +\begin{equation} + x = \sigma \tau, +\end{equation} +\begin{equation} + y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ) +\end{equation} + + + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 72c23ca..4e44bd6 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -6,35 +6,3 @@ \section{Teil 3 \label{parzyl:section:teil3}} \rhead{Teil 3} -Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem -accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa -quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae -dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit -aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores -eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam -est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci -velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore -et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima -veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam, -nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure -reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae -consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla -pariatur? - -\subsection{De finibus bonorum et malorum -\label{parzyl:subsection:malorum}} -At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui -blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos -dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non -provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia -animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis -est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis -est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime -placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor -repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut -rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae -sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a -sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias -consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat. - - |