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diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index 0996007..528a2e2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -8,10 +8,7 @@ \begin{refsection} \chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller} -Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. -Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. -In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gliechung im -parabolischen Zyplinderkoordinatensystem genauer untersucht. + \input{papers/parzyl/teil0.tex} \input{papers/parzyl/teil1.tex} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 60861ed..4b251db 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -3,21 +3,24 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Problem\label{parzyl:section:teil0}} +\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}} \rhead{Teil 0} - +Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. +Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen. +In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im +parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht. \subsection{Laplace Gleichung} Die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \Delta f = 0 \end{equation} -ist als Laplace Gleichung bekannt. -Sie ist eine spezielle Form der poisson Gleichung +ist als Laplace-Gleichung bekannt. +Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung \begin{equation} \Delta f = g \end{equation} mit g als beliebige Funktion. -In der Physik hat die Laplace Gleichung in verschieden Gebieten +In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschieden Gebieten verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus. Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen \begin{equation} @@ -35,11 +38,11 @@ Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert \begin{equation} \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0}, \end{equation} -was eine Possion gleichung ist. +was eine Possion-Gleichung ist. An Ladungsfreien Stellen, ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} -Im parabloischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ @@ -48,7 +51,7 @@ Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt z & = z. \label{parzyl:coordRelationse} \end{align} -Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt reultieren die Parabeln +Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt resultieren die Parabeln \begin{equation} y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right) \end{equation} @@ -68,10 +71,12 @@ und Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. + Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. -Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei -Punkten unabhängig vom Koordinatensystem sind. + +\dots + Wird eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten betrachtet kann dies im kartesischen Koordinatensystem mit \begin{equation} @@ -90,21 +95,21 @@ gilt. Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als \begin{align} - dx &= \frac{\delta x }{\delta \sigma} d\sigma + - \frac{\delta x }{\delta \tau} d\tau + - \frac{\delta x }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + dx &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\ - dy &= \frac{\delta y }{\delta \sigma} d\sigma + - \frac{\delta y }{\delta \tau} d\tau + - \frac{\delta y }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\ - dz &= \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \sigma} d\sigma + - \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tau} d\tau + - \frac{\delta \tilde{z} }{\delta \tilde{z}} d \tilde{z} + dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau + + \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} = d \tilde{z} \\ \end{align} substituiert. -Wird diese gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} +Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara} geschrieben, resultiert \begin{equation} \left(d s\right)^2 = @@ -112,7 +117,7 @@ geschrieben, resultiert \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 + \left(d \tilde{z}\right)^2. \end{equation} -Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren +Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren \begin{align} h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\ @@ -120,11 +125,22 @@ Daraus resultieren die Skalierungsfaktoren \end{align} \subsection{Differentialgleichung} Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen -Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren -mitgerechnet werden. -\dots -\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} -Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung +Zylinderkoordinatensystem aufstellen müssen die Skalierungsfaktoren +mitgerechnet werden. +Der Laplace Operator ist dadurch gegeben als +\begin{equation} + \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left( + \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} + + \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2} + \right) + + \frac{\partial^2 f}{\partial z}. + \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} +\end{equation} +\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} +Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen +%, wie bereits erwähnt, +dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung \begin{equation} \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) \end{equation} @@ -133,22 +149,22 @@ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) \end{equation} gelöst wird. -Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als -\begin{equation} - \nabla - = - \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} - \left ( - \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} - + - \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} - \right ) - + - \frac{\partial^2}{\partial z^2}. -\end{equation} -Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten -\begin{equation} - \nabla f(\sigma, \tau, z) +%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als +%\begin{equation} +% \Delta +% = +% \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} +% \left ( +% \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} +% + +% \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} +% \right ) +% + +% \frac{\partial^2}{\partial z^2}. +%\end{equation} +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(\sigma, \tau, z) = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} \left ( @@ -159,7 +175,7 @@ Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2} = - \lambda f(\sigma,\tau,z) + \lambda f(\sigma,\tau,z). \end{equation} Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird \begin{equation} @@ -167,7 +183,7 @@ Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werd \end{equation} gesetzt. Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen -\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1} +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1} g''(\sigma) - \left ( @@ -179,7 +195,7 @@ Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen = 0, \end{equation} -\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2} +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2} h''(\tau) - \left ( @@ -192,7 +208,7 @@ Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 0 \end{equation} und -\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3} +\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3} i''(z) + \left ( @@ -205,7 +221,7 @@ und 0 \end{equation} führt. -Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3} +Wobei die Lösung von \eqref{parzyl:sep_dgl_3} \begin{equation} i(z) = @@ -219,7 +235,7 @@ Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3} \sqrt{\lambda + \mu}z \right )} \end{equation} -ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. +ist und \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index b7e906c..f297189 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,4 +6,23 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Problemstellung} +Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} können mit einer Substitution +in die Whittaker Gleichung gelöst werden. +\begin{definition} + Die Funktion + \begin{equation*} + W_{k,m}(z) = + e^{-z/2} z^{m+1/2} \, + {}_{1} F_{1}(\frac{1}{2} + m - k, 1 + 2m; z) + \end{equation*} + heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung + von + \begin{equation} + \frac{d^2W}{d z^2} + + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. + \end{equation} +\end{definition} + +Lösung Folgt\dots + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 59f8b94..3f890d0 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,7 +3,7 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Physik sache +\section{Anwendung in der Physik \label{parzyl:section:teil2}} \rhead{Teil 2} |