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path: root/buch/papers/parzyl
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Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex20
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex112
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil2.tex207
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex226
4 files changed, 314 insertions, 251 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 3bf9257..eb1a152 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -30,12 +30,11 @@ mit Hilfe von Separation
\begin{equation}
u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
\end{equation}
-in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil,
-welcher zeitunabhängig ist
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil
\begin{equation}
- \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
+ \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}),
\end{equation}
-
+welcher zeitunabhängig ist.
%\subsection{Laplace Gleichung}
%Die partielle Differentialgleichung
%\begin{equation}
@@ -71,7 +70,7 @@ welcher zeitunabhängig ist
\label{parzyl:subsection:finibus}}
Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem,
bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
-Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
+Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch
\begin{align}
x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
\label{parzyl:coordRelationsa}
@@ -103,8 +102,8 @@ Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang d
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}.
-Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
-kann im kartesischen Koordinatensystem mit
+Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem als
\begin{equation}
\left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 +
\left(dz\right)^2
@@ -188,7 +187,7 @@ gelöst wird.
% +
% \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
%\end{equation}
-Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung
+Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung
\begin{equation}
\Delta f(\sigma, \tau, z)
=
@@ -245,8 +244,9 @@ und
=
0
\end{equation}
-führt.
-
+führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten.
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch
+als Webersche Differentialgleichungen bekannt.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 0e1ad1b..e6a55b2 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -6,7 +6,7 @@
\section{Lösung
\label{parzyl:section:teil1}}
\rhead{Lösung}
-
+\subsection{Lösung harmonischer Oszillator}
\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
Die Lösung ist somit
\begin{equation}
@@ -22,43 +22,83 @@ Die Lösung ist somit
\sqrt{\lambda + \mu}
\right )}.
\end{equation}
+\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung}
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
+\begin{satz}
+ Die Funktionen
+ \begin{equation}
+ M_{k,m}(x) =
+ e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+ \label{parzyl:eq:sol_diffEq_1}
+ \end{equation}
+ und damit auch die Linearkombinationen
+ \begin{equation}
+ W_{k,m}(x) = \frac{
+ \Gamma \left( -2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+ }
+ M_{-k, m} \left(x\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma \left( 2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+ }
+ M_{k, -m} \left(x\right)
+ \label{parzyl:eq:sol_diffEq_2}
+ \end{equation}
+ sind Lösungen der Differentialgleichung
+ \begin{equation}
+ \frac{d^2W}{d x^2} +
+ \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+ \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+ \end{equation}
+
+\end{satz}
\begin{definition}
- Die Funktionen
- \begin{equation*}
- M_{k,m}(x) =
- e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
- {}_{1} F_{1}
- (
- {\textstyle \frac{1}{2}}
- + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
- \end{equation*}
- und
- \begin{equation*}
- W_{k,m}(x) = \frac{
- \Gamma \left( -2m\right)
- }{
- \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
- }
- M_{-k, m} \left(x\right)
- +
- \frac{
- \Gamma \left( 2m\right)
- }{
- \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
- }
- M_{k, -m} \left(x\right)
- \end{equation*}
- gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
- der Whittaker Differentialgleichung
- \begin{equation}
- \frac{d^2W}{d x^2} +
- \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
- \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
- \end{equation}
-
+ Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq} heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen.
\end{definition}
+%\begin{definition}
+% Die Funktionen
+% \begin{equation*}
+% M_{k,m}(x) =
+% e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% (
+% {\textstyle \frac{1}{2}}
+% + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+% \end{equation*}
+% und
+% \begin{equation*}
+% W_{k,m}(x) = \frac{
+% \Gamma \left( -2m\right)
+% }{
+% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+% }
+% M_{-k, m} \left(x\right)
+% +
+% \frac{
+% \Gamma \left( 2m\right)
+% }{
+% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+% }
+% M_{k, -m} \left(x\right)
+% \end{equation*}
+% gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
+% der Whittaker Differentialgleichung
+% \begin{equation}
+% \frac{d^2W}{d x^2} +
+% \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+% \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+% \end{equation}
+%
+%\end{definition}
Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
\begin{equation}
w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
@@ -123,6 +163,8 @@ Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
}
M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
\end{equation}
+
+
In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$
\begin{align}
U(a,x) &=
@@ -161,7 +203,7 @@ der Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
\end{equation}
-beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$
ausgedrückt werden
\begin{align}
U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
index 0cf4283..1b63c8e 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex
@@ -3,134 +3,105 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Anwendung in der Physik
-\label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Anwendung in der Physik}
+\section{Eigenschaften
+ \label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
-Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
-\begin{figure}
- \centering
- \begin{minipage}{.7\textwidth}
- \centering
- \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
- \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
- \label{parzyl:fig:leiterplatte}
- \end{minipage}%
- \begin{minipage}{.25\textwidth}
- \centering
- \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
- \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
- \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
- \end{minipage}
-\end{figure}
-Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
-Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
-
-
-Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
-\begin{equation}
- F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
-\end{equation}
-Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
-\begin{equation}
- \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
- =
- \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}
- \qquad
- \frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
- =
- -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
-\end{equation}
-gelten.
-Aus dieser Bedingung folgt
-\begin{equation}
- \label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
- \underbrace{
- \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
- +
- \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
- =
- 0
- }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
- \qquad
- \underbrace{
- \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
- +
- \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
- =
- 0
- }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
-\end{equation}
-Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
-
-
-Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
-\begin{equation}
- \nabla^2\phi(x,y) = 0.
-\end{equation}
-Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
-
-
-Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
-\begin{equation}
- \phi(x,y) = U(x,y).
-\end{equation}
-Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld
-\begin{equation}
- E(x,y) = V(x,y).
-\end{equation}
-
-
-Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete
-komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
-welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
-
-
-Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
-\begin{equation}
- F(s)
- =
- \sqrt{s}
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+ \label{parzyl:potenz}}
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
+$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
+\begin{align}
+ w_1(\alpha,x)
+ &=
+ e^{-x^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
- \sqrt{x + iy}.
-\end{equation}
-Dies kann umgeformt werden zu
-\begin{equation}
- F(s)
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
+ \sum^{\infty}_{n=0}
+ \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+ &=
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
+ \left (
+ 1
+ +
+ \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+ +
+ \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}
+ +
+ \dots
+ \right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+ w_2(\alpha,x)
+ &=
+ xe^{-x^2/4} \,
+ {}_{1} F_{1}
+ (
+ {\textstyle \frac{1}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
=
- \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
- +
- i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
- .
-\end{equation}
+ xe^{-\frac{x^2}{4}}
+ \sum^{\infty}_{n=0}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+ \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+ &=
+ e^{-\frac{x^2}{4}}
+ \left (
+ x
+ +
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+ +
+ \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}
+ +
+ \dots
+ \right )
+\end{align}
+sind.
-Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
-indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen.
+Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
\begin{equation}
+ \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
-Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
\begin{equation}
-% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
- c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
-beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
-kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
-%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
-%\begin{equation}
-% x = \sigma \tau,
-%\end{equation}
+Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
+\subsection{Ableitung}
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden.
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+\begin{equation}
+ \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
+\end{equation}
+und
%\begin{equation}
-% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
%\end{equation}
-%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
-Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
-\begin{align}
- x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
- y &= 2c_1 c_2,
-\end{align}
-so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
-zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
-
+\begin{equation}
+ \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+ x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+ {}_{1} F_{1} (
+ {\textstyle \frac{3}{2}}
+ + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+ \right)
+\end{equation}
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 1b59ed9..12c28fe 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -3,102 +3,152 @@
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
-\section{Eigenschaften
-\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
-\rhead{Eigenschaften}
-\subsection{Potenzreihenentwicklung
- \label{parzyl:potenz}}
-%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind,
-%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
-Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
-Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen
-$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$
-und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen
-\begin{align}
- w_1(\alpha,x)
- &=
- e^{-x^2/4} \,
- {}_{1} F_{1}
- (
- \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
- =
- e^{-\frac{x^2}{4}}
- \sum^{\infty}_{n=0}
- \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
- \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
- &=
- e^{-\frac{x^2}{4}}
- \left (
- 1
- +
- \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
- +
- \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}
- +
- \dots
- \right )
-\end{align}
-und
-\begin{align}
- w_2(\alpha,x)
- &=
- xe^{-x^2/4} \,
- {}_{1} F_{1}
- (
- {\textstyle \frac{1}{2}}
- + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
- =
- xe^{-\frac{x^2}{4}}
- \sum^{\infty}_{n=0}
- \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
- \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
- &=
- e^{-\frac{x^2}{4}}
- \left (
- x
- +
- \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
- +
- \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}
- +
- \dots
- \right )
-\end{align}
-sind.
-Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen.
-Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden
-und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
-Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls
+\section{Anwendung in der Physik
+ \label{parzyl:section:teil2}}
+\rhead{Anwendung in der Physik}
+
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
+Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt.
+Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht.
+\begin{figure}
+ \centering
+ \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png}
+ \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D}
+ \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d}
+\end{figure}
+
+Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
+\begin{equation}
+ F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+\end{equation}
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
\begin{equation}
- \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+ \frac{\partial U(x,y)}{\partial x}
+ =
+ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}
+ \qquad
+ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
+ =
+ -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
\end{equation}
-und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
+gelten.
+Aus dieser Bedingung folgt
+\begin{equation}
+ \label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
+ \underbrace{
+ \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
+ =
+ 0
+ }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
+ \qquad
+ \underbrace{
+ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
+ =
+ 0
+ }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
+\end{equation}
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist.
+
+
+Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als
+\begin{equation}
+ \nabla^2\phi(x,y) = 0.
+\end{equation}
+Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen.
+
+
+Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden:
+\begin{equation}
+ \phi(x,y) = U(x,y).
+\end{equation}
+Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld
+\begin{equation}
+ E(x,y) = V(x,y).
+\end{equation}
+
+
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden,
+welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+
+
+Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
\begin{equation}
- \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+ F(s)
+ =
+ \sqrt{s}
+ =
+ \sqrt{x + iy}.
\end{equation}
-Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet.
-Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt
-$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
-\subsection{Ableitung}
-Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$
-können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt
-\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden.
-Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+Dies kann umgeformt werden zu
\begin{equation}
- \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
-\end{equation}
-und
+ F(s)
+ =
+ \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)}
+ +
+ i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+ .
+\end{equation}
+
+
+%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
+%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+%\begin{equation}
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+%\end{equation}
+%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
%\begin{equation}
-% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
%\end{equation}
+%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden,
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
\begin{equation}
- \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
- x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
- {}_{1} F_{1} (
- {\textstyle \frac{3}{2}}
- + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
- \right)
+% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+ c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
\end{equation}
-Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+\begin{equation}
+% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+ c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+\begin{align}
+ x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\
+ y &= 2c_1 c_2,
+\end{align}
+so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung
+zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem.
+Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen.
+%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst
+%\begin{equation}
+% x = \sigma \tau,
+%\end{equation}
+%\begin{equation}
+% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+%\end{equation}
+%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. \ No newline at end of file