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diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 3bf9257..eb1a152 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -30,12 +30,11 @@ mit Hilfe von Separation \begin{equation} u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t) \end{equation} -in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, -welcher zeitunabhängig ist +in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil \begin{equation} - \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}). + \nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}), \end{equation} - +welcher zeitunabhängig ist. %\subsection{Laplace Gleichung} %Die partielle Differentialgleichung %\begin{equation} @@ -71,7 +70,7 @@ welcher zeitunabhängig ist \label{parzyl:subsection:finibus}} Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden. -Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit +Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt durch \begin{align} x & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\ \label{parzyl:coordRelationsa} @@ -103,8 +102,8 @@ Die Flächen mit $\tau = 0$ oder $\sigma = 0$ stellen somit Halbebenen entlang d Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$ \cite{parzyl:scalefac}. -Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten -kann im kartesischen Koordinatensystem mit +Eine infinitesimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten +kann im kartesischen Koordinatensystem als \begin{equation} \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + \left(dz\right)^2 @@ -188,7 +187,7 @@ gelöst wird. % + % \frac{\partial^2}{\partial z^2}. %\end{equation} -Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung +Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz-Gleichung \begin{equation} \Delta f(\sigma, \tau, z) = @@ -245,8 +244,9 @@ und = 0 \end{equation} -führt. - +führt. $\lambda$ und $\mu$ sind dabei die Separationskonstanten. +\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} sind auch +als Webersche Differentialgleichungen bekannt. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 0e1ad1b..e6a55b2 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \section{Lösung \label{parzyl:section:teil1}} \rhead{Lösung} - +\subsection{Lösung harmonischer Oszillator} \eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator. Die Lösung ist somit \begin{equation} @@ -22,43 +22,83 @@ Die Lösung ist somit \sqrt{\lambda + \mu} \right )}. \end{equation} +\subsection{Lösung der Weberschen Differentialgleichung} Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. +\begin{satz} + Die Funktionen + \begin{equation} + M_{k,m}(x) = + e^{-x/2} x^{m+1/2} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} + \label{parzyl:eq:sol_diffEq_1} + \end{equation} + und damit auch die Linearkombinationen + \begin{equation} + W_{k,m}(x) = \frac{ + \Gamma \left( -2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) + } + M_{-k, m} \left(x\right) + + + \frac{ + \Gamma \left( 2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) + } + M_{k, -m} \left(x\right) + \label{parzyl:eq:sol_diffEq_2} + \end{equation} + sind Lösungen der Differentialgleichung + \begin{equation} + \frac{d^2W}{d x^2} + + \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. + \label{parzyl:eq:whitDiffEq} + \end{equation} + +\end{satz} \begin{definition} - Die Funktionen - \begin{equation*} - M_{k,m}(x) = - e^{-x/2} x^{m+1/2} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} - \end{equation*} - und - \begin{equation*} - W_{k,m}(x) = \frac{ - \Gamma \left( -2m\right) - }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) - } - M_{-k, m} \left(x\right) - + - \frac{ - \Gamma \left( 2m\right) - }{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) - } - M_{k, -m} \left(x\right) - \end{equation*} - gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen - der Whittaker Differentialgleichung - \begin{equation} - \frac{d^2W}{d x^2} + - \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. - \label{parzyl:eq:whitDiffEq} - \end{equation} - + Die Differentialgleichung \ref{parzyl:eq:whitDiffEq} heisst Whittaker-Differentialgleichung. Die Funktionen \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_1} und \ref{parzyl:eq:sol_diffEq_2} sind Teil der Familie der Whittaker-Funktionen. \end{definition} +%\begin{definition} +% Die Funktionen +% \begin{equation*} +% M_{k,m}(x) = +% e^{-x/2} x^{m+1/2} \, +% {}_{1} F_{1} +% ( +% {\textstyle \frac{1}{2}} +% + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C} +% \end{equation*} +% und +% \begin{equation*} +% W_{k,m}(x) = \frac{ +% \Gamma \left( -2m\right) +% }{ +% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) +% } +% M_{-k, m} \left(x\right) +% + +% \frac{ +% \Gamma \left( 2m\right) +% }{ +% \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) +% } +% M_{k, -m} \left(x\right) +% \end{equation*} +% gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen +% der Whittaker Differentialgleichung +% \begin{equation} +% \frac{d^2W}{d x^2} + +% \biggl( -\frac{1}{4} + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0. +% \label{parzyl:eq:whitDiffEq} +% \end{equation} +% +%\end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right) @@ -123,6 +163,8 @@ Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert } M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right). \end{equation} + + In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ \begin{align} U(a,x) &= @@ -161,7 +203,7 @@ der Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0 \end{equation} -beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$ +beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch durch $D_n(z)$ ausgedrückt werden \begin{align} U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil2.tex b/buch/papers/parzyl/teil2.tex index 0cf4283..1b63c8e 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil2.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil2.tex @@ -3,134 +3,105 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Anwendung in der Physik -\label{parzyl:section:teil2}} -\rhead{Anwendung in der Physik} +\section{Eigenschaften + \label{parzyl:section:Eigenschaften}} +\rhead{Eigenschaften} -Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. -\begin{figure} - \centering - \begin{minipage}{.7\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte} - \label{parzyl:fig:leiterplatte} - \end{minipage}% - \begin{minipage}{.25\textwidth} - \centering - \includegraphics[width=\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} - \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} - \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} - \end{minipage} -\end{figure} -Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. -Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. - - -Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als -\begin{equation} - F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. -\end{equation} -Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen -\begin{equation} - \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} - = - \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} - \qquad - \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} - = - -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} -\end{equation} -gelten. -Aus dieser Bedingung folgt -\begin{equation} - \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} - \underbrace{ - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} - \qquad - \underbrace{ - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} - + - \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} - = - 0 - }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. -\end{equation} -Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. - - -Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als -\begin{equation} - \nabla^2\phi(x,y) = 0. -\end{equation} -Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. - - -Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden -\begin{equation} - \phi(x,y) = U(x,y). -\end{equation} -Orthogonal zu den Äquipotenzialfläche sind die Feldlinien des elektrische Feld -\begin{equation} - E(x,y) = V(x,y). -\end{equation} - - -Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete -komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, -welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. - - -Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist -\begin{equation} - F(s) - = - \sqrt{s} +\subsection{Potenzreihenentwicklung + \label{parzyl:potenz}} +%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, +%können auch als Potenzreihen geschrieben werden +Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. +Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen +$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ +und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen +\begin{align} + w_1(\alpha,x) + &= + e^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \sqrt{x + iy}. -\end{equation} -Dies kann umgeformt werden zu -\begin{equation} - F(s) + e^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + 1 + + + \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} + + + \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +und +\begin{align} + w_2(\alpha,x) + &= + xe^{-x^2/4} \, + {}_{1} F_{1} + ( + {\textstyle \frac{1}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) = - \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} - + - i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} - . -\end{equation} + xe^{-\frac{x^2}{4}} + \sum^{\infty}_{n=0} + \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} + \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ + &= + e^{-\frac{x^2}{4}} + \left ( + x + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} + + + \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} + + + \dots + \right ) +\end{align} +sind. -Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, -indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +Die Potenzreihen sind in der Regel unendliche Reihen. +Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden +und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. +Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls \begin{equation} + \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 % \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +und bei $w_2(\alpha,x)$ falls \begin{equation} -% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} - c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. \end{equation} -beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom -kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. -%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -%\begin{equation} -% x = \sigma \tau, -%\end{equation} +Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. +Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt +$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. +\subsection{Ableitung} +Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ +können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt +\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. +Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +\begin{equation} + \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), +\end{equation} +und %\begin{equation} -% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). %\end{equation} -%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. -Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst -\begin{align} - x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ - y &= 2c_1 c_2, -\end{align} -so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung -zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. - +\begin{equation} + \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( + x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) + {}_{1} F_{1} ( + {\textstyle \frac{3}{2}} + + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) + \right) +\end{equation} +Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 1b59ed9..12c28fe 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -3,102 +3,152 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\section{Eigenschaften -\label{parzyl:section:Eigenschaften}} -\rhead{Eigenschaften} -\subsection{Potenzreihenentwicklung - \label{parzyl:potenz}} -%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, -%können auch als Potenzreihen geschrieben werden -Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden. -Parabolische Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen -$A(\alpha)w_1(\alpha, x) + B(\alpha)w_2(\alpha, x)$ aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ -und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihen -\begin{align} - w_1(\alpha,x) - &= - e^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - \alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - e^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - 1 - + - \left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!} - + - \left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -und -\begin{align} - w_2(\alpha,x) - &= - xe^{-x^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - = - xe^{-\frac{x^2}{4}} - \sum^{\infty}_{n=0} - \frac{\left ( \frac{1}{2} + \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}} - \frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\ - &= - e^{-\frac{x^2}{4}} - \left ( - x - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!} - + - \left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!} - + - \dots - \right ) -\end{align} -sind. -Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. -Es gibt allerdings die Möglichkeit, dass für bestimmte $\alpha$ die Terme in der Klammer gleich null werden -und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat. -Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$, falls +\section{Anwendung in der Physik + \label{parzyl:section:teil2}} +\rhead{Anwendung in der Physik} + +Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{papers/parzyl/images/halfplane.pdf} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte} + \label{parzyl:fig:leiterplatte} +\end{figure} +Die Äquipotentiallinien sind dabei in rot ,die des elektrischen Feldes in grün und semi-infinite Platte ist in blau dargestellt. +Das dies so ist kann im Zweidimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Halbgerade, was man in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte_2d} sieht. +\begin{figure} + \centering + \includegraphics[width=0.6\textwidth]{papers/parzyl/img/Plane_2D.png} + \caption{Semi-infinite Leiterplatte dargestellt in 2D} + \label{parzyl:fig:leiterplatte_2d} +\end{figure} + +Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als +\begin{equation} + F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \quad s = x + iy \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}. +\end{equation} +Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen \begin{equation} - \alpha = -n \qquad n \in \mathbb{N}_0 + \frac{\partial U(x,y)}{\partial x} + = + \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} + \qquad + \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} + = + -\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} \end{equation} -und bei $w_2(\alpha,x)$ falls +gelten. +Aus dieser Bedingung folgt +\begin{equation} + \label{parzyl_e_feld_zweite_ab} + \underbrace{ + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}} + \qquad + \underbrace{ + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2} + + + \frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2} + = + 0 + }_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}. +\end{equation} +Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. + + +Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla^2\phi(x,y) = 0. +\end{equation} +Dies ist eine Bedingung, welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. + + +Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden: +\begin{equation} + \phi(x,y) = U(x,y). +\end{equation} +Orthogonal zu den Äquipotenzialflächen sind die Feldlinien des elektrische Feld +\begin{equation} + E(x,y) = V(x,y). +\end{equation} + + +Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen, muss nur noch eine geeignete +komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, +welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann. + + +Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist \begin{equation} - \alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0. + F(s) + = + \sqrt{s} + = + \sqrt{x + iy}. \end{equation} -Der Wert von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$, $U(a,x)$ oder $V(a,x)$ verwendet. -Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt -$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$. -\subsection{Ableitung} -Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ -können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt -\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. -Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen +Dies kann umgeformt werden zu \begin{equation} - \frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x), -\end{equation} -und + F(s) + = + \underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} + + + i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)} + . +\end{equation} + + +%Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +%indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, +%\begin{equation} +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. +%\end{equation} +%Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als %\begin{equation} -% \frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k). +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} %\end{equation} +%beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +%kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. + +Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, +indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt, \begin{equation} - \frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left( - x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right) - {}_{1} F_{1} ( - {\textstyle \frac{3}{2}} - + \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) - \right) +% \sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. + c_1 = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}. \end{equation} -Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden. +Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als +\begin{equation} +% \tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} + c_2 = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}} +\end{equation} +beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom +kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann. +Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +\begin{align} + x &= c_1^2 - c_2^2 ,\\ + y &= 2c_1 c_2, +\end{align} +so beschreiben sie mit $\tau = c_1 \sqrt{2}$ und $\sigma = c_2 \sqrt{2}$ die Beziehung +zwischen dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem und dem kartesischen Koordinatensystem. +Nun wurde gezeigt wieso sich das parabolische Zylinderkoordinatensystem am besten eignet um das Potential und das elektrische Feld einer semi-infiniten Leiterplatte zu beschreien. Falls man nun die Helmholtz-Gleichung in diesem Bereich lösen müsste, da man zum Beispiel am Verhalten einer elektromagnetischne Welle in der Nähe der Platte interessiert wäre, so würde man auf die parabolischen Zylinderfunktionen kommen. +%Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst +%\begin{equation} +% x = \sigma \tau, +%\end{equation} +%\begin{equation} +% y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ), +%\end{equation} +%so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
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