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diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib index 40be69a..390d5ed 100644 --- a/buch/papers/parzyl/references.bib +++ b/buch/papers/parzyl/references.bib @@ -56,4 +56,13 @@ timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200}, title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables}, year = 1972 +} + +@online{parzyl:coordinates, + title = {Parabolic cylindrical coordinates}, + url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates}, + date = {2022-08-17}, + year = {2022}, + month = {8}, + day = {17} }
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 4a6f8f4..f24a5c1 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -65,7 +65,7 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der %An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. \subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten \label{parzyl:subsection:finibus}} -Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. +Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen. Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit \begin{align} x & = \sigma \tau \\ diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex index 673fa7f..a4253b8 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex @@ -25,63 +25,92 @@ Die Lösung ist somit Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker} mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst. \begin{definition} - Die Funktion + Die Funktionen \begin{equation*} - W_{k,m}(z) = + M_{k,m}(z) = e^{-z/2} z^{m+1/2} \, {}_{1} F_{1} ( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k, 1 + 2m; z) \end{equation*} - heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung + und + \begin{equation*} + W_{k,m}(z) = \frac{ + \Gamma \left( -2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right) + } + M_{-k, m} \left(z\right) + + + \frac{ + \Gamma \left( 2m\right) + }{ + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right) + } + M_{k, -m} \left(z\right) + \end{equation*} + gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen von der Whittaker Differentialgleichung \begin{equation} \frac{d^2W}{d z^2} + \left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0. \label{parzyl:eq:whitDiffEq} \end{equation} + \end{definition} Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche \begin{equation} w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) \end{equation} als Lösung hat. -Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus +Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus \begin{equation} \frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0 \label{parzyl:eq:weberDiffEq} \end{equation} -resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie +resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie \eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit $w$ als Lösung haben. -Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur -eine sondern zwei Lösungen. -Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. -Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} -\begin{align} - w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ - w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) -\end{align} -als Lösungen. -Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen -\begin{align} - \label{parzyl:eq:solution_dgl} - w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ( - {\textstyle \frac{1}{4}} - - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ - w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, - {}_{1} F_{1} - ({\textstyle \frac{3}{4}} - - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). -\end{align} -In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert. -Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung +%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur +%eine sondern zwei Lösungen. +%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$. +%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} +%\begin{align} +% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\ +% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right) +%\end{align} +%als Lösungen. +%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen +%\begin{align} +% \label{parzyl:eq:solution_dgl} +% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \, +% {}_{1} F_{1} +% ( +% {\textstyle \frac{1}{4}} +% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\ +% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \, +% {}_{1} F_{1} +% ({\textstyle \frac{3}{4}} +% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2). +%\end{align} + +In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für +\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils +unterschiedlich geschrieben wird. +Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung +\begin{equation} + D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right) +\end{equation} +welche die Differentialgleichung +\begin{equation} + \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 +\end{equation} +löst. +Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert \begin{equation} D_n(z) = \frac{ - \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} + \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}} }{ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n) } @@ -92,14 +121,8 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung }{ \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right) } - M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right) + M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right). \end{equation} -welche die Differentialgleichung -\begin{equation} - \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0 -\end{equation} -löst. - In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$ \begin{align} U(a,z) &= @@ -115,11 +138,22 @@ mit Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\ + {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} + e^{-z^2/4} + {}_{1} F_{1} + \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, + {\textstyle \frac{1}{2}} ; + {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) + \\ Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)} - {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2 + {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} + z e^{-z^2/4} + {}_{1} F_{1} + \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, + {\textstyle \frac{3}{2}} ; + {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right) \end{align} der Differentialgleichung \begin{equation} @@ -132,7 +166,8 @@ ausgedrückt werden V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi} \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right]. \end{align} -TODO Plot +In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind +die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet. \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png} |