aboutsummaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/buch/papers/parzyl
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat (limited to '')
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/references.bib9
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex2
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil1.tex115
3 files changed, 85 insertions, 41 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 40be69a..390d5ed 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -56,4 +56,13 @@
timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
year = 1972
+}
+
+@online{parzyl:coordinates,
+ title = {Parabolic cylindrical coordinates},
+ url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates},
+ date = {2022-08-17},
+ year = {2022},
+ month = {8},
+ day = {17}
} \ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 4a6f8f4..f24a5c1 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -65,7 +65,7 @@ in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der
%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$.
\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
\label{parzyl:subsection:finibus}}
-Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
+Im parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} bilden parabolische Zylinder die Koordinatenflächen.
Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
\begin{align}
x & = \sigma \tau \\
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil1.tex b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
index 673fa7f..a4253b8 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil1.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil1.tex
@@ -25,63 +25,92 @@ Die Lösung ist somit
Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
\begin{definition}
- Die Funktion
+ Die Funktionen
\begin{equation*}
- W_{k,m}(z) =
+ M_{k,m}(z) =
e^{-z/2} z^{m+1/2} \,
{}_{1} F_{1}
(
{\textstyle \frac{1}{2}}
+ m - k, 1 + 2m; z)
\end{equation*}
- heisst Whittaker Funktion und ist eine Lösung
+ und
+ \begin{equation*}
+ W_{k,m}(z) = \frac{
+ \Gamma \left( -2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+ }
+ M_{-k, m} \left(z\right)
+ +
+ \frac{
+ \Gamma \left( 2m\right)
+ }{
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+ }
+ M_{k, -m} \left(z\right)
+ \end{equation*}
+ gehören zu den Whittaker Funktionen und sind die Lösungen
von der Whittaker Differentialgleichung
\begin{equation}
\frac{d^2W}{d z^2} +
\left(-\frac{1}{4} + \frac{k}{z} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{z^2} \right) W = 0.
\label{parzyl:eq:whitDiffEq}
\end{equation}
+
\end{definition}
Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
\begin{equation}
w = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
\end{equation}
als Lösung hat.
-Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt woraus
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
\begin{equation}
\frac{d^2 w}{dz^2} - \left(\frac{1}{4} z^2 - 2k\right) w = 0
\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
\end{equation}
-resultiert. DIese Differentialgleichung ist dieselbe wie
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie
\eqref{parzyl:sep_dgl_2} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
$w$ als Lösung haben.
-Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
-eine sondern zwei Lösungen.
-Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
-Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
-\begin{align}
- w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
- w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
-\end{align}
-als Lösungen.
-Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
-\begin{align}
- \label{parzyl:eq:solution_dgl}
- w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
- {}_{1} F_{1}
- (
- {\textstyle \frac{1}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
- w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
- {}_{1} F_{1}
- ({\textstyle \frac{3}{4}}
- - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
-\end{align}
-In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für $w(k,z)$ präsentiert.
-Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+% w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+% w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+% \label{parzyl:eq:solution_dgl}
+% w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% (
+% {\textstyle \frac{1}{4}}
+% - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+% w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+% {}_{1} F_{1}
+% ({\textstyle \frac{3}{4}}
+% - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
+
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq} präsentiert, wobei die Differentialgleichung jeweils
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+ D_n(z) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}z^2\right)
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+ \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(z)$ geschrieben resultiert
\begin{equation}
D_n(z) = \frac{
- \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} z^{-\frac{1}{2}}
+ \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} z^{-\frac{1}{2}}
}{
\Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} \right) - {\textstyle \frac{1}{2}} n)
}
@@ -92,14 +121,8 @@ Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} eine Lösung
}{
\Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
}
- M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right)
+ M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}z^2\right).
\end{equation}
-welche die Differentialgleichung
-\begin{equation}
- \frac{d^2D_n(z)}{dz^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} z^2\right)D_n(z) = 0
-\end{equation}
-löst.
-
In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, z)$ und $V(a,z)$
\begin{align}
U(a,z) &=
@@ -115,11 +138,22 @@ mit
Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
- {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}} w_1\\
+ {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+ e^{-z^2/4}
+ {}_{1} F_{1}
+ \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}},
+ {\textstyle \frac{1}{2}} ;
+ {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
+ \\
Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}}
\frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} -
{\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
- {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} w_2
+ {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}}
+ z e^{-z^2/4}
+ {}_{1} F_{1}
+ \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}},
+ {\textstyle \frac{3}{2}} ;
+ {\textstyle \frac{1}{2}}z^2\right)
\end{align}
der Differentialgleichung
\begin{equation}
@@ -132,7 +166,8 @@ ausgedrückt werden
V(a,z) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
\left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(z) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
\end{align}
-TODO Plot
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind
+die Funktionen $D_a(z)$ und $V(a,z)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{papers/parzyl/img/D_plot.png}