17 files changed, 969 insertions, 146 deletions

diff --git a/buch/papers/parzyl/images/Makefile b/buch/papers/parzyl/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..4bd13ec
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/Makefile
@@ -0,0 +1,16 @@
+#
+# Makefile to build 3d images
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+#
+
+all:	halfplane.pdf
+
+halfplane.pdf:	halfplane.tex halfplane.jpg
+	pdflatex halfplane.tex
+halfplane.png:	halfplane.pov
+	povray +A0.1 -W1920 -H1080 -Ohalfplane.png halfplane.pov
+halfplane.jpg: halfplane.png Makefile
+	convert -extract 1280x1080+340+0 halfplane.png \
+		-density 300 -units PixelsPerInch halfplane.jpg
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/common.inc b/buch/papers/parzyl/images/common.inc
new file mode 100644
index 0000000..28aed2b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/common.inc
@@ -0,0 +1,64 @@
+//
+// common.inc -- some common useful tools for drawing 3d images
+//
+// (c) 2018 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+//
+
+//
+// draw a right angle quarter circle at point <o> with legs <v1> and <v2> and 
+// color <c>
+//
+#declare rechterwinkelradius = 0.5;
+#declare rechterwinkelthickness = 0.01;
+#macro rechterwinkel(o, v1, v2, c)
+intersection {
+	sphere { o, rechterwinkelradius }
+	#declare rnormale = vnormalize(vcross(v1, v2));
+	plane { rnormale, vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 }
+	plane { -rnormale, -vdot(o, rnormale) + rechterwinkelthickness * rechterwinkelradius / 0.5 }
+	plane { -v1, -vdot(o, v1) }
+	plane { -v2, -vdot(o, v2) }
+	pigment {
+		color c
+	}
+}
+sphere { o + 0.45 * (vnormalize(v1) +vnormalize(v2)) * rechterwinkelradius,
+	0.05 * rechterwinkelradius / 0.5
+	pigment {
+		color c
+	}
+}
+#end
+
+//
+// draw an arrow from <from> to <to> with thickness <arrowthickness> with
+// color <c>
+//
+#macro arrow(from, to, arrowthickness, c)
+        #declare arrowdirection = vnormalize(to - from);
+        #declare arrowlength = vlength(to - from);
+        union { 
+                sphere {
+                        from, 1.1 * arrowthickness
+                }
+                cylinder {
+                        from,
+                        from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,                     
+                        arrowthickness
+                }
+                cone {  
+                        from + (arrowlength - 5 * arrowthickness) * arrowdirection,                     
+                        2 * arrowthickness,
+                        to,
+                        0
+                }
+                pigment {
+                        color c
+                }
+                finish {
+                        specular 0.9
+                        metallic
+                }
+        }
+#end
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg
new file mode 100644
index 0000000..8cb5ae3
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.jpg
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..7275810
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pdf
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png
new file mode 100644
index 0000000..5beefa0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov
new file mode 100644
index 0000000..419bb67
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.pov
@@ -0,0 +1,201 @@
+//
+// 3dimage.pov
+//
+// (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller
+//
+#version 3.7;
+#include "colors.inc"
+#include "skies.inc"
+#include "common.inc"
+
+global_settings {
+        assumed_gamma 1
+}
+
+#declare imagescale = 0.63;
+#declare ar = 0.02;
+
+#declare Cameracenter = <5,3,-4>;
+#declare Worldpoint = <0,-0.80, 0>;
+#declare Lightsource = < 7,10,-3>;
+#declare Lightdirection = vnormalize(Lightsource - Worldpoint);
+#declare Lightaxis1 = vnormalize(vcross(Lightdirection, <0,1,0>));
+#declare Lightaxis2 = vnormalize(vcross(Lightaxis1, Lightdirection));
+
+camera {
+	location Cameracenter
+	look_at Worldpoint
+	right 16/9 * x * imagescale
+	up y * imagescale
+}
+
+light_source {
+	Lightsource color White
+	area_light Lightaxis1 Lightaxis2, 10, 10
+	adaptive 1
+	jitter
+}
+
+sky_sphere {
+	pigment {
+		color White
+	}
+}
+
+arrow( <-2.1, 0,   0 >, < 2.2, 0,   0 >, ar, White)
+arrow( < 0,  -1.1, 0 >, < 0, 1.3, 0 >, ar, White)
+arrow( < 0,   0,  -2 >, < 0, 0,   2.2 >, ar, White)
+
+#declare planecolor = rgb<0.2,0.6,1.0>;
+#declare r = 0.01;
+
+#macro planebox()
+	box { <-2.1,-1.1,-2.1>, <0,1.1,2.1> }
+#end
+
+intersection {
+	plane { <0, 0,  1>, 0.001 }
+	plane { <0, 0, -1>, 0.001 }
+	planebox()
+	pigment {
+		color planecolor transmit 0.3
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.95
+	}
+}
+
+#declare Xstep = 0.2;
+
+intersection {
+	union {
+		#declare X = 0;
+		#while (X > -2.5)
+			cylinder { <X,-3,0>, <X,+3,0>, r }
+			#declare X = X - Xstep;
+		#end
+
+		#declare Y = Xstep;
+		#while (Y < 2.5)
+			cylinder { <-3,  Y, 0>, <0,  Y, 0>, r }
+			cylinder { <-3, -Y, 0>, <0, -Y, 0>, r }
+			#declare Y = Y + Xstep;
+		#end
+	}
+	planebox()
+	pigment {
+		color planecolor
+	}
+	finish {
+		metallic
+		specular 0.95
+	}
+}
+
+#declare parammin = -4;
+#declare parammax = 4;
+#declare paramsteps = 100;
+#declare paramstep = (parammax - parammin) / paramsteps;
+
+#macro punkt(sigma, tau, Z)
+	<
+		0.5 * (tau*tau - sigma*sigma)
+		Z,
+		sigma * tau,
+	>
+#end
+
+#macro sigmasurface(sigma, farbe)
+	#declare taumin1 = 2/sigma;
+	#declare taumin2 = sqrt(4+sigma*sigma);
+	#if (taumin1 > taumin2)
+		#declare taumin = -taumin2;
+	#else
+		#declare taumin = -taumin1;
+	#end
+	
+	mesh {
+		#declare tau = taumin;
+		#declare taumax = -taumin;
+		#declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps;
+		#while (tau < taumax - taustep/2)
+			triangle {
+				punkt(sigma, tau,           -1),
+				punkt(sigma, tau,            0),
+				punkt(sigma, tau + taustep, -1)
+			}
+			triangle {
+				punkt(sigma, tau + taustep, -1),
+				punkt(sigma, tau + taustep,  0),
+				punkt(sigma, tau,            0)
+			}
+			#declare tau = tau + taustep;
+		#end
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+	}
+
+	union {
+		#declare tau = taumin;
+		#declare taumax = -taumin;
+		#declare taustep = (taumax - taumin) / paramsteps;
+		#while (tau < taumax - taustep/2)
+			sphere { punkt(sigma, tau, 0), r }
+			cylinder {
+				punkt(sigma, tau,           0),
+				punkt(sigma, tau + taustep, 0),
+				r
+			}
+			#declare tau = tau + taustep;
+		#end
+		sphere { punkt(sigma, tau, 0), r }
+		pigment {
+			color farbe
+		}
+		finish {
+			specular 0.9
+			metallic
+		}
+		
+	}
+#end
+
+#declare greensurfacecolor = rgb<0.6,1.0,0.6>;
+#declare redsurfacecolor = rgb<1.0,0.6,0.6>;
+
+sigmasurface(0.25, greensurfacecolor)
+sigmasurface(0.5,  greensurfacecolor)
+sigmasurface(0.75, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1,    greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.25, greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.5,  greensurfacecolor)
+sigmasurface(1.75, greensurfacecolor)
+sigmasurface(2,    greensurfacecolor)
+
+union {
+	sigmasurface(0.25, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(0.5,  redsurfacecolor)
+	sigmasurface(0.75, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.00, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.25, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.5,  redsurfacecolor)
+	sigmasurface(1.75, redsurfacecolor)
+	sigmasurface(2,    redsurfacecolor)
+	rotate <0, 180, 0>
+}
+
+box { <-2,-1,-2>, <2,-0.99,2> 
+	pigment {
+		color rgb<1.0,0.8,0.6> transmit 0.8
+	}
+	finish {
+		specular 0.9
+		metallic
+	}
+}
diff --git a/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex
new file mode 100644
index 0000000..e470057
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/images/halfplane.tex
@@ -0,0 +1,41 @@
+%
+% halfplane.tex
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{times}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphics}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\usepackage{ifthen}
+\begin{document}
+
+\newboolean{showgrid}
+\setboolean{showgrid}{false}
+\def\breite{5}
+\def\hoehe{4}
+
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick]
+
+% Povray Bild
+\node at (0,0) {\includegraphics[width=10cm]{halfplane.jpg}};
+
+% Gitter
+\ifthenelse{\boolean{showgrid}}{
+\draw[step=0.1,line width=0.1pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw[step=0.5,line width=0.4pt] (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\draw                            (-\breite,-\hoehe) grid (\breite, \hoehe);
+\fill (0,0) circle[radius=0.05];
+}{}
+
+\node at (0,3.7) {$z$};
+\node at (3.3,-0.3) {$x$};
+\node at (2.7,2.5) {$y$};
+
+\end{tikzpicture}
+
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
new file mode 100644
index 0000000..6c61eea
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/D_plot.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png b/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png
new file mode 100644
index 0000000..3ee582d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/koordinaten.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c52c336
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/plane.pdf
diff --git a/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
new file mode 100644
index 0000000..7cd5455
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/parzyl/img/v_plot.png
diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex
index ff21c9f..fd2aea7 100644
--- a/buch/papers/parzyl/main.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/main.tex
@@ -6,31 +6,13 @@
 \chapter{Parabolische Zylinderfunktionen\label{chapter:parzyl}}
 \lhead{Parabolische Zylinderfunktionen}
 \begin{refsection}
-\chapterauthor{Thierry Schwaller, Alain Keller}
+\chapterauthor{Alain Keller und Thierry Schwaller}
+
 
-Ein paar Hinweise für die korrekte Formatierung des Textes
-\begin{itemize}
-\item
-Absätze werden gebildet, indem man eine Leerzeile einfügt.
-Die Verwendung von \verb+\\+ ist nur in Tabellen und Arrays gestattet.
-\item
-Die explizite Platzierung von Bildern ist nicht erlaubt, entsprechende
-Optionen werden gelöscht. 
-Verwenden Sie Labels und Verweise, um auf Bilder hinzuweisen.
-\item
-Beginnen Sie jeden Satz auf einer neuen Zeile. 
-Damit ermöglichen Sie dem Versionsverwaltungssysteme, Änderungen
-in verschiedenen Sätzen von verschiedenen Autoren ohne Konflikt 
-anzuwenden.
-\item 
-Bilden Sie auch für Formeln kurze Zeilen, einerseits der besseren
-Übersicht wegen, aber auch um GIT die Arbeit zu erleichtern.
-\end{itemize}
 
 \input{papers/parzyl/teil0.tex}
 \input{papers/parzyl/teil1.tex}
 \input{papers/parzyl/teil2.tex}
 \input{papers/parzyl/teil3.tex}
-
 \printbibliography[heading=subbibliography]
 \end{refsection}
diff --git a/buch/papers/parzyl/references.bib b/buch/papers/parzyl/references.bib
index 494ff7c..390d5ed 100644
--- a/buch/papers/parzyl/references.bib
+++ b/buch/papers/parzyl/references.bib
@@ -33,3 +33,36 @@
         url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
 }
 
+@book{parzyl:whittaker, 
+		place={Cambridge}, 
+		edition={4}, 
+		series={Cambridge Mathematical Library}, 
+		title={A Course of Modern Analysis}, 
+		DOI={10.1017/CBO9780511608759}, 
+		publisher={Cambridge University Press}, 
+		author={Whittaker, E. T. and Watson, G. N.}, 
+		year={1996}, 
+		collection={Cambridge Mathematical Library}}
+
+@book{parzyl:abramowitz-stegun,
+  added-at = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+  address = {New York},
+  author = {Abramowitz, Milton and Stegun, Irene A.},
+  edition = {ninth Dover printing, tenth GPO printing},
+  interhash = {d4914a420f489f7c5129ed01ec3cf80c},
+  intrahash = {23ec744709b3a776a1af0a3fd65cd09f},
+  keywords = {Handbook},
+  publisher = {Dover},
+  timestamp = {2008-06-25T06:25:58.000+0200},
+  title = {Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables},
+  year = 1972
+}
+
+@online{parzyl:coordinates,
+	title = {Parabolic cylindrical coordinates},
+	url = {https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_cylindrical_coordinates},
+	date = {2022-08-17},
+	year = {2022},
+	month = {8},
+	day = {17}
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 09b4024..8be936d 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -3,20 +3,249 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 0\label{parzyl:section:teil0}}
-\rhead{Teil 0}
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua \cite{parzyl:bibtex}.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.
-Stet clita kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum
-dolor sit amet.
-
-Lorem ipsum dolor sit amet, consetetur sadipscing elitr, sed diam
-nonumy eirmod tempor invidunt ut labore et dolore magna aliquyam
-erat, sed diam voluptua.
-At vero eos et accusam et justo duo dolores et ea rebum.  Stet clita
-kasd gubergren, no sea takimata sanctus est Lorem ipsum dolor sit
-amet.
+\section{Einleitung\label{parzyl:section:teil0}}
+\rhead{Einleitung}
+%Die Laplace-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik.
+%Mit ihr lässt sich zum Beispiel das elektrische Feld in einem ladungsfreien Raum bestimmen.
+%In diesem Kapitel wird die Lösung der Laplace-Gleichung im 
+%parabolischen Zylinderkoordinatensystem genauer untersucht.
+Die Helmholtz-Gleichung ist eine wichtige Gleichung in der Physik. 
+Mit ihr lässt sich zum Beispiel das Verhalten von elektromagnetischen Wellen beschreiben.
+In diesem Kapitel werden die Lösungen der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem, 
+die parabolischen Zylinderfunktionen, genauer untersucht.
+
+\subsection{Helmholtz-Gleichung}
+Die partielle Differentialgleichung 
+\begin{equation}
+	\Delta f = \lambda f
+\end{equation}
+ist als Helmholtz-Gleichung bekannt und beschreibt das Eigenwert Problem für den Laplace-Operator. 
+Sie ist eine der Gleichungen welche auftritt wenn die Wellengleichung
+\begin{equation}
+	\left ( \nabla^2 - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}  \right ) u(\textbf{r},t)
+	=
+	0 
+\end{equation}
+mit Hilfe von Separation
+\begin{equation}
+	u(\textbf{r},t) = A(\textbf{r})T(t)
+\end{equation} 
+in zwei Differentialgleichungen aufgeteilt wird. Die Helmholtz-Gleichung ist der Teil, 
+welcher zeitunabhängig ist
+\begin{equation}
+	\nabla^2 A(\textbf{r}) = \lambda A(\textbf{r}).
+\end{equation}
+
+%\subsection{Laplace Gleichung}
+%Die partielle Differentialgleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = 0
+%\end{equation}
+%ist als Laplace-Gleichung bekannt.
+%Sie ist eine spezielle Form der Poisson-Gleichung
+%\begin{equation}
+%    \Delta f = g
+%\end{equation}
+%mit $g$ als beliebiger Funktion.
+%In der Physik hat die Laplace-Gleichung in verschiedenen Gebieten
+%verwendet, zum Beispiel im Elektromagnetismus.
+%Das Gaussche Gesetz in den Maxwellgleichungen 
+%\begin{equation}
+%     \nabla \cdot E = \frac{\varrho}{\epsilon_0}
+%\label{parzyl:eq:max1}
+%\end{equation}
+%besagt, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes an einem 
+%Punkt gleich der Ladungsdichte an diesem Punkt ist.
+%Das elektrische Feld ist hierbei der Gradient des elektrischen
+%Potentials
+%\begin{equation}
+%    \nabla \phi = E.
+%\end{equation}
+%Eingesetzt in \eqref{parzyl:eq:max1} resultiert
+%\begin{equation}
+%    \nabla \cdot \nabla \phi = \Delta \phi = \frac{\varrho}{\epsilon_0},
+%\end{equation}
+%was eine Poisson-Gleichung ist.
+%An ladungsfreien Stellen ist der rechte Teil der Gleichung $0$. 
+\subsection{Parabolische Zylinderkoordinaten
+\label{parzyl:subsection:finibus}}
+Das parabolischen Zylinderkoordinatensystem \cite{parzyl:coordinates} ist ein krummliniges Koordinatensystem, 
+bei dem parabolische Zylinder die Koordinatenflächen bilden.
+Die Koordinate $(\sigma, \tau, z)$ sind in kartesischen Koordinaten ausgedrückt mit
+\begin{align}
+    x & = \sigma \tau \\
+    \label{parzyl:coordRelationsa}
+    y & = \frac{1}{2}\left(\tau^2 - \sigma^2\right) \\
+    z & = z.
+    \label{parzyl:coordRelationse}
+\end{align}
+Wird $\tau$ oder $\sigma$ konstant gesetzt, resultieren die Parabeln
+\begin{equation}
+    y = \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{\sigma^2} - \sigma^2 \right)
+\end{equation}
+und 
+\begin{equation}
+    y = \frac{1}{2} \left( -\frac{x^2}{\tau^2} + \tau^2 \right).
+\end{equation}
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.4]{papers/parzyl/img/koordinaten.png}
+    \caption{Das parabolische Koordinatensystem. Die roten Parabeln haben ein 
+    konstantes $\sigma$ und die grünen ein konstantes $\tau$.}
+    \label{parzyl:fig:cordinates}
+\end{figure}
+Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
+Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
+Ebene gezogen werden. 
+
+Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu 
+können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
+
+Eine infinitessimal kleine Distanz $ds$ zwischen zwei Punkten
+kann im kartesischen Koordinatensystem mit
+\begin{equation}
+    \left(ds\right)^2 = \left(dx\right)^2 + \left(dy\right)^2 + 
+    \left(dz\right)^2
+    \label{parzyl:eq:ds}
+\end{equation}
+ausgedrückt werden.
+Die Skalierungsfaktoren werden in einem orthogonalen Koordinatensystem so bestimmt, dass
+\begin{equation}
+    \left(ds\right)^2 = \left(h_{\sigma}d\sigma\right)^2 + 
+    \left(h_{\tau}d\tau\right)^2 + \left(h_z dz\right)^2
+\label{parzyl:eq:dspara}
+\end{equation}
+gilt.
+Dafür werden $dx$, $dy$, und $dz$ in \eqref{parzyl:eq:ds} mit den Beziehungen
+von \eqref{parzyl:coordRelationsa} - \eqref{parzyl:coordRelationse} als
+\begin{align}
+    dx  &= \frac{\partial x }{\partial \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\partial x }{\partial \tau} d\tau + 
+        \frac{\partial x }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = \tau d\sigma + \sigma d \tau \\
+    dy &= \frac{\partial y }{\partial \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\partial y }{\partial \tau} d\tau +
+        \frac{\partial y }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = \tau d\tau - \sigma d \sigma \\
+    dz &= \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \sigma} d\sigma + 
+        \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tau} d\tau +
+        \frac{\partial \tilde{z} }{\partial \tilde{z}} d \tilde{z} 
+        = d \tilde{z}
+\end{align}
+substituiert.
+Wird diese Gleichung in der Form von \eqref{parzyl:eq:dspara}
+geschrieben, resultiert
+\begin{equation}
+    \left(d s\right)^2 = 
+        \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\sigma\right)^2 + 
+        \left(\sigma^2 + \tau^2\right)\left(d\tau\right)^2 +
+        \left(d \tilde{z}\right)^2.
+\end{equation}
+Daraus ergeben sich die Skalierungsfaktoren 
+\begin{align}
+    h_{\sigma} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{\tau} &= \sqrt{\sigma^2 + \tau^2}\\
+    h_{z} &= 1.
+\end{align}
+\subsection{Differentialgleichung}
+Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen 
+Zylinderkoordinatensystem aufstellen, müssen die Skalierungsfaktoren
+mitgerechnet werden.
+Der Laplace Operator wird dadurch zu
+\begin{equation}
+    \Delta f = \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} 
+        \left( 
+            \frac{\partial^2 f}{\partial \sigma ^2} +
+            \frac{\partial^2 f}{\partial \tau ^2}
+        \right)
+        + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
+    \label{parzyl:eq:laplaceInParZylCor}
+\end{equation}
+\subsubsection{Lösung der Helmholtz-Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen, tauchen
+%, wie bereits erwähnt, 
+dann auf, wenn die Helmholtz-Gleichung
+\begin{equation}
+	\Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) 
+\end{equation}
+im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
+\begin{equation}
+	\Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) 
+\end{equation}
+gelöst wird.
+%Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+%\begin{equation}
+%	\Delta 
+%	= 
+%	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+%	\left ( 
+%	\frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} 
+%	+ 
+%	\frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+%	\right )
+%	+ 
+%	\frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+%\end{equation}
+Mit dem Laplace Operator aus \eqref{parzyl:eq:laplaceInParZylCor} lautet die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+	\Delta f(\sigma, \tau, z)
+	=
+	\frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+	\left ( 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} 
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
+	\right )
+	+ 
+	\frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
+	= 
+	\lambda f(\sigma,\tau,z).
+\end{equation}
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird 
+\begin{equation}
+	f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
+\end{equation}
+gesetzt, was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen 
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_1}
+	g''(\sigma) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\sigma^2
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	g(\sigma)
+	=
+	0,
+\end{equation}
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_2}
+	h''(\tau) 
+	- 
+	\left (
+	\lambda\tau^2
+	-
+	\mu 
+	\right )
+	h(\tau)
+	=
+	0
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}\label{parzyl:sep_dgl_3}
+	i''(z) 
+	+
+	\left (
+	\lambda
+	+
+	\mu 
+	\right )
+	i(z)
+	=
+	0
+\end{equation}
+führt.
+
+
 
 
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@@ -3,53 +3,182 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 1
+\section{Lösung
 \label{parzyl:section:teil1}}
-\rhead{Problemstellung}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo.
-Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit aspernatur aut odit
-aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores eos qui ratione
-voluptatem sequi nesciunt
+\rhead{Lösung}
+
+\eqref{parzyl:sep_dgl_3} beschriebt einen ungedämpften harmonischen Oszillator.
+Die Lösung ist somit
 \begin{equation}
-\int_a^b x^2\, dx
-=
-\left[ \frac13 x^3 \right]_a^b
-=
-\frac{b^3-a^3}3.
-\label{parzyl:equation1}
+	i(z) 
+	= 
+	A\cos{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}
+	+
+	B\sin{ 
+		\left ( 
+		\sqrt{\lambda + \mu}z
+		\right )}.
 \end{equation}
-Neque porro quisquam est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet,
-consectetur, adipisci velit, sed quia non numquam eius modi tempora
-incidunt ut labore et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem.
-
-Ut enim ad minima veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis
-suscipit laboriosam, nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur?
-Quis autem vel eum iure reprehenderit qui in ea voluptate velit
-esse quam nihil molestiae consequatur, vel illum qui dolorem eum
-fugiat quo voluptas nulla pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{parzyl:subsection:finibus}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga \eqref{000tempmlate:equation1}.
-
-Et harum quidem rerum facilis est et expedita distinctio
-\ref{parzyl:section:loesung}.
-Nam libero tempore, cum soluta nobis est eligendi optio cumque nihil
-impedit quo minus id quod maxime placeat facere possimus, omnis
-voluptas assumenda est, omnis dolor repellendus
-\ref{parzyl:section:folgerung}.
-Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut rerum
-necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae sint et
-molestiae non recusandae.
-Itaque earum rerum hic tenetur a sapiente delectus, ut aut reiciendis
-voluptatibus maiores alias consequatur aut perferendis doloribus
-asperiores repellat.
+Die Differentialgleichungen \eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2} werden in \cite{parzyl:whittaker}
+mit Hilfe der Whittaker Gleichung gelöst.
+\begin{definition}
+    Die Funktionen
+    \begin{equation*}
+        M_{k,m}(x) = 
+    e^{-x/2} x^{m+1/2} \,
+    {}_{1} F_{1}
+    (
+        {\textstyle \frac{1}{2}} 
+        + m - k, 1 + 2m; x) \qquad x \in \mathbb{C}
+    \end{equation*}
+    und
+    \begin{equation*}
+        W_{k,m}(x) = \frac{
+            \Gamma \left( -2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - m - k\right)
+        }
+        M_{-k, m} \left(x\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma \left( 2m\right)
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} + m - k\right)
+        }
+        M_{k, -m} \left(x\right)
+    \end{equation*}
+    gehören zu den Whittaker Funktionen und sind Lösungen
+    von der Whittaker Differentialgleichung
+    \begin{equation}
+        \frac{d^2W}{d x^2} +
+        \biggl( -\frac{1}{4}  + \frac{k}{x} + \frac{\frac{1}{4} - m^2}{x^2} \biggr) W = 0.
+        \label{parzyl:eq:whitDiffEq}
+    \end{equation}
 
+\end{definition}
+Es wird nun die Differentialgleichung bestimmt, welche
+\begin{equation}
+    w = x^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} x^2\right)
+\end{equation}
+als Lösung hat.
+Dafür wird $w$ in \eqref{parzyl:eq:whitDiffEq} eingesetzt, woraus
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 w}{dx^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 - 2k\right) w = 0
+\label{parzyl:eq:weberDiffEq}
+\end{equation}
+resultiert. Diese Differentialgleichung ist dieselbe wie 
+\eqref{parzyl:sep_dgl_1} und \eqref{parzyl:sep_dgl_2}, welche somit
+$w$ als Lösung haben.
+%Da es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung handelt, hat sie nicht nur
+%eine sondern zwei Lösungen.
+%Die zweite Lösung der Whittaker-Gleichung ist $W_{k,-m} (z)$.
+%Somit hat \eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}
+%\begin{align}
+%    w_1(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,-1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)\\
+%    w_2(k, z) & = z^{-1/2} W_{k,1/4} \left({\textstyle \frac{1}{2}} z^2\right)
+%\end{align}
+%als Lösungen.
+%Mit der Hypergeometrischen Funktion ausgeschrieben ergeben sich die Lösungen
+%\begin{align}
+%	\label{parzyl:eq:solution_dgl}
+%    w_1(k,z) &= e^{-z^2/4} \,
+%    {}_{1} F_{1}
+%    (
+%        {\textstyle \frac{1}{4}} 
+%         - k, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2) \\
+%    w_2(k,z) & = z e^{-z^2/4} \,
+%         {}_{1} F_{1}
+%         ({\textstyle \frac{3}{4}} 
+%              - k, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}z^2).
+%\end{align}
 
+In der Literatur gibt es verschiedene Standartlösungen für 
+\eqref{parzyl:eq:weberDiffEq}, wobei die Differentialgleichung jeweils 
+unterschiedlich geschrieben wird.
+Whittaker und Watson zeigen in \cite{parzyl:whittaker} die Lösung
+\begin{equation}
+    D_n(x) = 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} W_{n/2 + 1/4, -1/4}\left(\frac{1}{2}x^2\right),
+\end{equation}
+welche die Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2D_n(x)}{dx^2} + \left(n + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} x^2\right)D_n(x) = 0
+\end{equation}
+löst.
+Mit $M_{k,m}(x)$ geschrieben resultiert
+\begin{equation}
+    D_n(x) = \frac{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma \left( {\textstyle \frac{1}{2}} - {\textstyle \frac{1}{2}} n \right)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right)
+        +
+        \frac{
+            \Gamma\left(-{\textstyle \frac{1}{2}}\right) 2^{\frac{1}{2}n + \frac{1}{4}} x^{-\frac{1}{2}}
+        }{
+            \Gamma\left(- {\textstyle \frac{1}{2}} n\right)
+        }
+        M_{\frac{1}{2} n + \frac{1}{4}, \frac{1}{4}} \left(\frac{1}{2}x^2\right).
+\end{equation}
+In \cite{parzyl:abramowitz-stegun} sind zwei Lösungen $U(a, x)$ und $V(a,x)$ 
+\begin{align}
+    U(a,x) &= 
+    \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    - \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2 
+    \label{parzyl:eq:Uaz}
+    \\
+    V(a,x) &= \frac{1}{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2} - a}\right)} \left\{
+    \sin\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_1
+    + \cos\left[\pi \left({\textstyle \frac{1}{4}} + {\textstyle \frac{1}{2}} a\right)\right] Y_2
+    \right\}
+    \label{parzyl:eq:Vaz}
+\end{align}
+mit
+\begin{align}
+    Y_1 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{1}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a + \frac{1}{4}}}
+            e^{-x^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{1}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{1}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)\\
+        Y_2 &= \frac{1}{\sqrt{\pi}} 
+            \frac{\Gamma\left({\textstyle \frac{3}{4} - 
+            {\textstyle \frac{1}{2}}a}\right)}
+            {2^{\frac{1}{2} a - \frac{1}{4}}} 
+            x e^{-x^2/4} 
+            {}_{1} F_{1}
+                \left({\textstyle \frac{1}{2}}a + {\textstyle \frac{3}{4}}, 
+                {\textstyle \frac{3}{2}} ; 
+                {\textstyle \frac{1}{2}}x^2\right)
+\end{align}
+der Differentialgleichung
+\begin{equation}
+    \frac{d^2 y}{d x^2} - \left(\frac{1}{4} x^2 + a\right) y = 0
+\end{equation}
+beschrieben. Die Lösungen $U(a,z)$ und $V(a, z)$ können auch mit $D_n(z)$
+ausgedrückt werden
+\begin{align}
+    U(a,x) &= D_{-a-1/2}(x) \\
+    V(a,x) &= \frac{\Gamma \left({\textstyle \frac{1}{2}} + a\right)}{\pi}
+    \left[\sin\left(\pi a\right) D_{-a-1/2}(x) + D_{-a-1/2}(-x)\right].
+\end{align}
+In den Abbildungen \ref{parzyl:fig:dnz} und \ref{parzyl:fig:Vnz} sind 
+die Funktionen $D_n(x)$ und $V(a,x)$ mit verschiedenen Werten für $a$ abgebildet.
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/D_plot.png}
+    \caption{$D_n(x)$ mit unterschiedlichen Werten für $n$.}
+    \label{parzyl:fig:dnz}
+\end{figure}
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.35]{papers/parzyl/img/v_plot.png}
+    \caption{$V(a,x)$ mit unterschiedlichen Werten für $a$.}
+    \label{parzyl:fig:Vnz}
+\end{figure}
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index 75ba259..573432a 100644
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@@ -3,38 +3,102 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 2 
+\section{Anwendung in der Physik 
 \label{parzyl:section:teil2}}
-\rhead{Teil 2}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{parzyl:subsection:bonorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
-
+\rhead{Anwendung in der Physik}
 
+Die parabolischen Zylinderkoordinaten tauchen auf, wenn man das elektrische Feld einer semi-infiniten Platte, wie in Abbildung \ref{parzyl:fig:leiterplatte} gezeigt, finden will.
+\begin{figure}
+	 \centering
+	\includegraphics[width=0.9\textwidth]{papers/parzyl/img/plane.pdf}
+	\caption{Semi-infinite Leiterplatte}
+	\label{parzyl:fig:leiterplatte}
+\end{figure}
+Das dies so ist kann im zwei Dimensionalen mit Hilfe von komplexen Funktionen gezeigt werden. Die Platte ist dann nur eine Linie, was man in Abbildung TODO sieht.
+Jede komplexe Funktion $F(z)$ kann geschrieben werden als
+\begin{equation}
+	F(s) = U(x,y) + iV(x,y) \qquad s \in \mathbb{C}; x,y \in \mathbb{R}.
+\end{equation}  
+Dabei müssen, falls die Funktion differenzierbar ist, die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen 
+\begin{equation}
+	\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} 
+	=
+	\frac{\partial V(x,y)}{\partial y} 
+	\qquad
+	\frac{\partial V(x,y)}{\partial x}
+	=
+	-\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}
+\end{equation}
+gelten.
+Aus dieser Bedingung folgt 
+\begin{equation}
+	\label{parzyl_e_feld_zweite_ab}
+	\underbrace{
+	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial x^2}
+	+ 
+	\frac{\partial^2 U(x,y)}{\partial y^2}
+	=
+	0
+	}_{\displaystyle{\nabla^2U(x,y)=0}}
+	\qquad
+	\underbrace{
+	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial x^2}
+	+
+	\frac{\partial^2 V(x,y)}{\partial y^2}
+	=
+	0
+	}_{\displaystyle{\nabla^2V(x,y) = 0}}.
+\end{equation}
+Zusätzlich kann auch gezeigt werden, dass die Funktion $F(z)$ eine winkeltreue Abbildung ist. 
+Der Zusammenhang zum elektrischen Feld ist jetzt, dass das Potential an einem quellenfreien Punkt gegeben ist als 
+\begin{equation}
+	\nabla^2\phi(x,y) = 0.
+\end{equation}
+Dies ist eine Bedingung welche differenzierbare Funktionen, wie in Gleichung \eqref{parzyl_e_feld_zweite_ab} gezeigt wird, bereits besitzen. 
+Nun kann zum Beispiel $U(x,y)$ als das Potential angeschaut werden
+\begin{equation}
+	\phi(x,y) = U(x,y).
+\end{equation}
+Orthogonal zum Potential ist das elektrische Feld
+\begin{equation}
+	E(x,y) = V(x,y).
+\end{equation}
+Um nun zu den parabolische Zylinderkoordinaten zu gelangen muss nur noch eine geeignete 
+komplexe Funktion $F(s)$ gefunden werden, 
+welche eine semi-infinite Platte beschreiben kann.
+Die gesuchte Funktion in diesem Fall ist
+\begin{equation}
+	F(s) 
+	= 
+	\sqrt{s} 
+	= 
+	\sqrt{x + iy}.
+\end{equation}
+Dies kann umgeformt werden zu
+\begin{equation}
+	F(s) 
+	= 
+	\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}}_{U(x,y)} 
+	+ 
+	i\underbrace{\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}}_{V(x,y)}
+	.
+\end{equation}
+Die Äquipotentialflächen können nun betrachtet werden, 
+indem man die Funktion, welche das Potential beschreibt, gleich eine Konstante setzt,
+\begin{equation}
+	\sigma = U(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}}.
+\end{equation}
+Die Flächen mit der gleichen elektrischen Feldstärke können als
+\begin{equation}
+	\tau = V(x,y) = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}}
+\end{equation}
+beschrieben werden. Diese zwei Gleichungen zeigen nun, wie man vom 
+kartesischen Koordinatensystem ins parabolische Zylinderkoordinatensystem kommt. 
+Werden diese Formeln nun nach $x$ und $y$ aufgelöst 
+\begin{equation}
+	x = \sigma \tau,
+\end{equation}
+\begin{equation}
+	y = \frac{1}{2}\left ( \tau^2 - \sigma^2 \right ),
+\end{equation}
+so beschreibe sie, wie man aus dem parabolischen Zylinderkoordinatensystem zurück ins kartesische rechnen kann.
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@@ -3,38 +3,102 @@
 %
 % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
 %
-\section{Teil 3
-\label{parzyl:section:teil3}}
-\rhead{Teil 3}
-Sed ut perspiciatis unde omnis iste natus error sit voluptatem
-accusantium doloremque laudantium, totam rem aperiam, eaque ipsa
-quae ab illo inventore veritatis et quasi architecto beatae vitae
-dicta sunt explicabo. Nemo enim ipsam voluptatem quia voluptas sit
-aspernatur aut odit aut fugit, sed quia consequuntur magni dolores
-eos qui ratione voluptatem sequi nesciunt. Neque porro quisquam
-est, qui dolorem ipsum quia dolor sit amet, consectetur, adipisci
-velit, sed quia non numquam eius modi tempora incidunt ut labore
-et dolore magnam aliquam quaerat voluptatem. Ut enim ad minima
-veniam, quis nostrum exercitationem ullam corporis suscipit laboriosam,
-nisi ut aliquid ex ea commodi consequatur? Quis autem vel eum iure
-reprehenderit qui in ea voluptate velit esse quam nihil molestiae
-consequatur, vel illum qui dolorem eum fugiat quo voluptas nulla
-pariatur?
-
-\subsection{De finibus bonorum et malorum
-\label{parzyl:subsection:malorum}}
-At vero eos et accusamus et iusto odio dignissimos ducimus qui
-blanditiis praesentium voluptatum deleniti atque corrupti quos
-dolores et quas molestias excepturi sint occaecati cupiditate non
-provident, similique sunt in culpa qui officia deserunt mollitia
-animi, id est laborum et dolorum fuga. Et harum quidem rerum facilis
-est et expedita distinctio. Nam libero tempore, cum soluta nobis
-est eligendi optio cumque nihil impedit quo minus id quod maxime
-placeat facere possimus, omnis voluptas assumenda est, omnis dolor
-repellendus. Temporibus autem quibusdam et aut officiis debitis aut
-rerum necessitatibus saepe eveniet ut et voluptates repudiandae
-sint et molestiae non recusandae. Itaque earum rerum hic tenetur a
-sapiente delectus, ut aut reiciendis voluptatibus maiores alias
-consequatur aut perferendis doloribus asperiores repellat.
+\section{Eigenschaften
+\label{parzyl:section:Eigenschaften}}
+\rhead{Eigenschaften}
 
+\subsection{Potenzreihenentwicklung
+	\label{parzyl:potenz}}
+%Die parabolischen Zylinderfunktionen, welche in Gleichung \ref{parzyl:eq:solution_dgl} gegeben sind, 
+%können auch als Potenzreihen geschrieben werden
+Die parabolischen Zylinderfunktionen können auch als Potenzreihen geschrieben werden.
+Im folgenden Abschnitt werden die Terme welche nur von $n$ oder $a$ abhängig sind vernachlässigt.
+Die parabolischen Zylinderfunktionen sind Linearkombinationen aus einem geraden Teil $w_1(\alpha, x)$ 
+und einem ungeraden Teil $w_2(\alpha, x)$, welche als Potenzreihe
+\begin{align}
+	w_1(\alpha,x)
+	&=  
+	e^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	\alpha, {\textstyle \frac{1}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
+	= 
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \alpha \right )_{n}}{\left ( \frac{1}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	1 
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\frac{x^2}{2!}
+	+
+	\left ( 2\alpha \right )\left ( 2 + 2\alpha \right )\frac{x^4}{4!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+und
+\begin{align}
+	w_2(\alpha,x)
+	&=  
+	xe^{-x^2/4} \,
+	{}_{1} F_{1}
+	(
+	{\textstyle \frac{1}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{3}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2) 
+	= 
+	xe^{-\frac{x^2}{4}}
+	\sum^{\infty}_{n=0}
+	\frac{\left ( \frac{3}{4} - k \right )_{n}}{\left ( \frac{3}{2}\right )_{n}}
+	\frac{\left ( \frac{1}{2} x^2\right )^n}{n!} \\
+	&=
+	e^{-\frac{x^2}{4}}
+	\left ( 
+	x 
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\frac{x^3}{3!}
+	+
+	\left ( 1 + 2\alpha \right )\left ( 3 + 2\alpha \right )\frac{x^5}{5!}  
+	+
+	\dots
+	\right )
+\end{align}
+sind.
+Die Potenzreihen sind in der regel unendliche Reihen. 
+Es gibt allerdings die Möglichkeit für bestimmte $\alpha$ das die Terme in der Klammer gleich null werden 
+und die Reihe somit eine endliche Anzahl $n$ Summanden hat.
+Dies geschieht bei $w_1(\alpha,x)$ falls
+\begin{equation}
+	\alpha =  -n \qquad n \in \mathbb{N}_0
+\end{equation}
+und bei $w_2(\alpha,x)$ falls
+\begin{equation}
+	\alpha = -\frac{1}{2} - n \qquad n \in \mathbb{N}_0.
+\end{equation}
+Der Wert des von $\alpha$ ist abhängig, ob man $D_n(x)$ oder $U(a,x)$ / $V(a,x)$ verwendet.
+Bei $D_n(x)$ gilt $\alpha = -{\textstyle \frac{1}{2}} n$ und bei $U(a,z)$ oder $V(a,x)$ gilt 
+$\alpha = {\textstyle \frac{1}{2}} a + {\textstyle \frac{1}{4}}$.
+\subsection{Ableitung}
+Die Ableitungen $\frac{\partial w_1(\alpha, x)}{\partial x}$ und $\frac{\partial w_2(\alpha, x)}{\partial x}$ 
+können mit den Eigenschaften der hypergeometrischen Funktionen in Abschnitt 
+\ref{buch:rekursion:hypergeometrisch:stammableitung} berechnet werden. 
+Zusammen mit der Produktregel ergeben sich die Ableitungen
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_1(\alpha,x)}{\partial x} = 2\alpha w_2(\alpha + \frac{1}{2}, x) - \frac{1}{2} x w_1(\alpha, x),
+\end{equation} 
+und
+%\begin{equation}
+%	\frac{\partial w_2(z,k)}{\partial z} = w_1(z, k -\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} z w_2(z,k).
+%\end{equation}
+\begin{equation}
+	\frac{\partial w_2(\alpha,x)}{\partial x} = e^{-x^2/4} \left(
+		x^{-1} w_2(\alpha, x) - \frac{x}{2} w_2(\alpha, x) + 2 x^2 \left(\frac{\alpha + 1}{3}\right)
+		{}_{1} F_{1} (
+	{\textstyle \frac{3}{2}} 
+	+ \alpha, {\textstyle \frac{5}{2}} ; {\textstyle \frac{1}{2}}x^2)
+	\right)
+\end{equation}
+Nach dem selben Vorgehen können weitere Ableitungen berechnet werden.