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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index 8616172..0f1f235 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -5,25 +5,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -% TODO: -% state goal -% use only what is necessary -% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) -% -> Eigenvalue problem with matrices only -% -> prepare reader for following examples -% -% order: -% 1. Eigenvalue problems with matrices -% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem -% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) -% 4. Spectral theorem (brief) -% 5. Base of orthonormal functions - \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:sec:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} -Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines +Im Weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösung eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert. Im wesentlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen zustande kommt, damit diese später in den Beispielen verwendet werden kann. @@ -97,13 +83,25 @@ Um auf die Orthogonalität der Lösungsfunktion zu schliessen, wird dafür der Operator $L$ genauer betrachtet. Analog zur Matrix $A$ aus Abschnitt~\ref{sturmliouville:sec:eigenvalue-problem-matrix} kann auch für -$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist, also dass +$L$ gezeigt werden, dass dieser Operator selbstadjungiert ist. + +Dazu wird das modifizierte Skalarprodukt +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:modified-dot-product} + \langle f, g \rangle_w + = + \int_a^b f(x)g(x)w(x)\,dx +\end{equation} +aus Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} verwendet, +welches auch die Gewichtsfunktion $w(x)$ berücksichtigt. +Damit $L$ bezüglich dieses Skalarproduktes selbstadjungiert ist, muss also \[ - \langle L v, w\rangle + \langle L u, v\rangle_w = - \langle v, L w\rangle + \langle u, L v\rangle_w \] -gilt. +gelten. + Wie in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} bereits gezeigt, ist dies durch die Randbedingungen~\eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen} des |