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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex new file mode 100644 index 0000000..16dba19 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -0,0 +1,124 @@ +% +% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung +% Author: Réda Haddouche +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} +\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} +Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen +Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem +französischen Mathematiker Joseph Liouville. +Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie +entwickelt. +Diese gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen. +Handelt es sich um eine partielle +Differentialgleichung, kann man sie mittels Separation in +mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. + +\begin{definition} + \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% +Wenn die lineare homogene Differentialgleichung +\[ + \frac{d^2y}{dx^2} + a(x)\frac{dy}{dx} + b(x)y = 0 +\] +als +\begin{equation} + \label{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} + \frac{d}{dx} \biggl ( p(x) \frac{dy}{dx}\biggr ) + (q(x) + + \lambda w(x)) y + = + 0 +\end{equation} +geschrieben werden kann, dann wird die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als +Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. +\end{definition} +Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können +in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} +umgewandelt werden. + +Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die +Randbedingungen, die im nächsten Unterkapitel behandelt werden. + +\subsection{Randbedingungen +\label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} +Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer +Differentialgleichung eindeutig zu bestimmen. +Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs +\begin{equation} + \begin{aligned} + \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} + k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 + \end{aligned} +\end{equation} +ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. + + +\subsection{Koeffizientenfunktionen +\label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen +bezeichnet. +Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die +Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. +Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion +oder Dichtefunktion bezeichnet. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben +einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden +im nächsten Abschnitt diskutiert. + +% +%Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" +% + +\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem +\label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige +Bedingungen beachtet werden. +\begin{definition} + \label{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} + \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} + Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: + \begin{itemize} + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und + reell sein + \item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + sein. + \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. + \item Es gelten die Randbedingungen + \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, wobei + $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \end{itemize} +\end{definition} +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um +ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. + +\begin{beispiel} + Das Randwertproblem + \begin{equation} + \begin{aligned} + x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\ + y(a) &= 0 + \end{aligned} + \end{equation} + ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem. + Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann + erhält man + die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. + Schaut man jetzt die Bedingungen in + Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und + vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige + Probleme: + \begin{itemize} + \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. + \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. + \item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt. + \end{itemize} +\end{beispiel} + +Bei einem regulärem Problem, besteht die Lösung nur aus Eigenvektoren. +Handelt es sich um ein singuläres Problem, so besteht die Lösung im Allgemeinen +nicht mehr nur aus Eigenvektoren. + |