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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex13
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index 5ede99d..5fb3a0c 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
@@ -9,9 +9,10 @@
\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
In diesem Unterkapitel wird anhand der
-Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl} gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
-überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden können.
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden.
Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
@@ -43,7 +44,7 @@ erhält man
\begin{equation}
\begin{aligned}
k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
- k_b y(1) + h_b p(1) y'(-1) &= 0.
+ k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
@@ -62,7 +63,7 @@ damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
-\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder Singuläres Problem?}
+\subsubsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
Für das reguläre Problem muss laut der
Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
@@ -92,8 +93,8 @@ Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Stu
\[
\int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0.
\]
- Eigesetzt ergibt dies $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$
- ergibt
+ mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
+ Eigesetzt ergibt dies
\[
\begin{aligned}
\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=