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+++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex
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+% tschebyscheff_beispiel.tex
+% Author: Réda Haddouche
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+\section{Beispiel: Tschebyscheff-Polynome
+\label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}}
+\rhead{Tschebyscheff-Polynome}
+In diesem Unterkapitel wird anhand der
+Tschebyscheff-Differentialgleichung~\eqref{buch:potenzen:tschebyscheff:dgl}
+gezeigt, dass die Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander sind.
+Zu diesem Zweck werden die Koeffizientenfunktionen nochmals dargestellt, so dass
+überprüft werden kann, ob die Randbedingungen erfüllt werden.
+Sobald feststeht, ob das Problem regulär oder singulär ist, zeigt eine
+kleine Rechnung, dass die Lösungen orthogonal sind.
+
+\subsection*{Definition der Koeffizientenfunktion}
+Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die
+Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet:
+\begin{align*}
+	w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\
+	p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\
+	q(x) &= 0.
+\end{align*}
+Da die Sturm-Liouville-Gleichung
+\begin{equation}
+	\label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby}
+	\frac{d}{dx} \biggl (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}\biggr ) +
+	\biggl (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\biggr ) y
+	=
+	0 
+\end{equation}
+nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage,
+ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt.
+Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet.
+
+\subsection*{Randwertproblem}
+Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$.
+Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$.
+Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen},
+erhält man
+\begin{equation}
+	\begin{aligned}
+		k_a y(-1) + h_a p(-1) y'(-1) &= 0\\
+		k_b y(1) + h_b p(1) y'(1) &= 0.
+	\end{aligned} 
+\end{equation}
+Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome
+(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}).
+Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die
+Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$.
+Somit erhält man
+\begin{equation}
+	\begin{aligned}
+		k_a T_0(-1) + h_a p(-1) T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\
+		k_b T_0(1) + h_b p(1) T_{0}'(1) &= k_b = 0.
+	\end{aligned}
+\end{equation}
+Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab können,
+damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige
+$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden.
+Es wurde somit gezeigt, dass die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt sind.
+
+\subsection*{Handelt es sich um ein reguläres oder singuläres Problem?}
+Für das reguläre Problem muss laut der
+Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion
+$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und
+$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein.
+Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art
+\begin{equation}
+	T_n(x)
+	=
+	\cos n (\arccos x).
+\end{equation}
+Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein
+müssen.
+Die Funktion
+\begin{equation*}
+	p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
+\end{equation*}
+ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung.
+Es zeigt sich also, dass $p(x)$, $p'(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
+die Bedingungen erfüllen.
+Da auch die Randbedingungen erfüllt sind, handelt es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem.
+
+
+\begin{beispiel}
+	In diesem Beispiel wird zuletzt die Orthogonalität der Lösungsfunktion
+	illustriert.
+	Dazu verwendet man das Skalarprodukt
+	\[
+		\int_{a}^{b} w(x) y_m(x) y_n(x) = 0.
+	\]
+	mit $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$, sowie $a=-1$ und $b = 1$.
+	Eigesetzt ergibt dies
+	\[
+	\begin{aligned}
+	\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} x (2x^2-1) dx &=
+	\biggl [ - \frac{\sqrt{1-x^2}(2x^2+1)}{3} \biggr ]_{-1}^{1}\\
+	&= 0.
+	\end{aligned}
+	\]
+	Somit ist gezeigt, dass $T_1(x)$ und $T_2(x)$ orthogonal sind.
+	Analog kann Orthogonalität für alle $y_n(x)$ und $y_m(x)$ mit $n \ne m$ gezeigt werden.
+\end{beispiel}