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@@ -139,8 +139,8 @@ An dieser Stelle wird nun gezeigt, dass die Gleichung in $x$ ein
Sturm-Liouville-Problem ist.
Dazu werden zunächst die Koeffizientenfunktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$
benötigt.
-Dafür wird die Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x}
-mit der
+Um diese zu erhalten, wird die
+Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} mit der
Sturm-Liouville-Form~\eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation}
verglichen, was zu
\[
@@ -166,7 +166,7 @@ Es gilt also beispielsweise wegen
\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant},
dass $X(0) = X(l) = 0$.
-Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also noch die Gleichungen
+Damit die Lösungen von $X$ orthogonal sind, müssen also die Gleichungen
\begin{equation}
\begin{aligned}
\label{sturmliouville:eq:example-fourier-randbedingungen}
@@ -287,7 +287,7 @@ und \eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-isolated}
benötigt.
Da die Koeffizienten $A$ und $B$, sowie die Parameter $\alpha$ und $\beta$ im
-allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
+Allgemeinen ungleich $0$ sind, müssen die Randbedingungen durch die
trigonometrischen Funktionen erfüllt werden.
\subsubsection{Einsetzen der
@@ -425,7 +425,7 @@ gilt, endet man somit bei
\sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right).
\]
Dies ist die allgemeine Fourierreihe, welche unsere Stab-Probleme löst.
-Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir dass sämtliche Lösungsfunktionen
+Wie zuvor bereits erwähnt, wissen wir, dass sämtliche Lösungsfunktionen
orthogonal zueinander sind bezüglich des
Skalarproduktes~\eqref{sturmliouville:eq:modified-dot-product}.
Dieses vereinfacht sich noch etwas, da aus
@@ -706,7 +706,7 @@ was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
\subsection{Lösung der Differentialgleichung in \texorpdfstring{$t$}{t}}
Zuletzt wird die zweite Gleichung der
Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet.
-Dazu betrachtet man das charakteristische Polynom
+Dazu nimmt man das charakteristische Polynom
\[
\lambda - \kappa \mu
=