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-rw-r--r-- | buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex | 165 |
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex new file mode 100644 index 0000000..b25fc89 --- /dev/null +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -0,0 +1,165 @@ +% +% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Erster Entwurf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +% +% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil +% + +\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} + +In diesem Abschnitt betrachten wir das Problem der Wärmeleitung in einem +homogenen Stab und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses +physikalischen Phänomenes auftritt. + +Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und +Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem +die partielle Differentialgleichung +\[ + \frac{\partial u}{\partial t} = + \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} +\] +wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. + +Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen +Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise +die Lösung für einen Stab zu finden, bei dem die Enden auf konstanter +Tempreatur gehalten werden. + +%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit konstanten Endtemperaturen %%%%%%%%% + +\subsubsection{Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} + +Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die +Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene +Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun +\[ + u(t,0) + = + u(t,l) + = + 0 +\] +als Randbedingungen. + +%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\subsubsection{Stab mit isolierten Enden} + +Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und +$x = l$ auftreten. In diesem Fall nicht erlaubt ist es, dass Wärme vom Stab +an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. + +Aus der Physik ist bekannt, dass Wärme immer von der höheren zur tieferen +Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt +werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder +dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$ +verschwinden. Somit folgen +\[ + \frac{\partial}{\partial x} u(t, 0) + = + \frac{\partial}{\partial x} u(t, l) + = + 0 +\] +als Randbedingungen. + +%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\subsubsection{Lösung der Differenzialgleichung} + +% TODO: Referenz Separationsmethode +% TODO: Formeln sauber in Text einbinden. + +Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz +die Separationsmethode verwendet. Dazu wird +\[ + u(t,x) + = + T(t)X(x) +\] +in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich +\[ + T^{\prime}(t)X(x) + = + \kappa T(t)X^{\prime \prime}(x) +\] +als neue Form. + +Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle +von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels +der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden: +\[ + \frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)} + = + \frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)} + = + \mu +\] +Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate +Differenzialgleichungen aufgeteilt werden: +\[ + T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t) + = + 0 +\] +\[ + X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) + = + 0 +\] + +Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in +Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch +die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits die Aussage +getroffen werden, dass alle Lösungen für die Gleichung in $x$ orthogonal sein +werden. + +Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das +charakteristische Polynom +\[ + \lambda - \kappa \mu + = + 0. +\] +Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur +Lösung +\[ + T(t) + = + e^{\kappa \mu t} +\] +führt. + +Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. + +% TODO: Rechenweg +TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur: +\[ + u(t,x) + = + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} + \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +\[ + a_{n} + = + \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\] + +TODO: Rechenweg... Enden isoliert: +\[ + u(t,x) + = + a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t} + \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) +\] +\[ + a_{0} + = + \frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx +\] +\[ + a_{n} + = + \frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx +\] |