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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index 2552574..08e25f2 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -15,19 +15,20 @@ % Check for readability \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} -\rhead{Einleitung} +\rhead{Was ist das Sturm-Liouville-Problem} Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie -entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, -jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen +entwickelt. +Dies gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, +jedoch verwendet man die Theorie beim lösen von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche -Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle -Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche -Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die -partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Man betrachtet für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche +Differentialgleichung 2. Ordnung. +Wenn es sich um eine partielle +Differentialgleichung handelt, kann man sie mittels Separation in mehrere gewöhnliche +Differentialgleichungen umwandeln. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -43,7 +44,7 @@ als = 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung +geschrieben werden kann, dann wird die Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. \end{definition} Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können @@ -51,7 +52,7 @@ in die Form der Gleichung \eqref{sturmliouville:eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. Damit es sich um ein Sturm-Liouville-Problem handelt, benötigt es noch die -Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. +Randbedingung, die im nächsten Unterkapitel behandelt wird. \subsection{Randbedingungen \label{sturmliouville:sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} @@ -62,7 +63,7 @@ Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{aligned} \label{sturmliouville:eq:randbedingungen} k_a y(a) + h_a p(a) y'(a) &= 0 \\ - k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0. + k_b y(b) + h_b p(b) y'(b) &= 0 \end{aligned} \end{equation} ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. @@ -70,21 +71,21 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. \subsection{Koeffizientenfunktionen \label{sturmliouville:sub:koeffizientenfunktionen}} -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit -ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen +bezeichnet. Diese Funktionen erhält man, indem man eine Differentialgleichung in die -Sturm-Liouville-Form bringt. +Sturm-Liouville-Form bringt und dann die Koeffizientenfunktionen vergleicht. Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen sowie andere Bedingungen haben einen großen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems und werden -im nächsten Kapitel diskutiert. +im nächsten Kapitel diskutiert. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem +\subsection{Das reguläre und singuläre Sturm-Liouville-Problem \label{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. @@ -94,8 +95,8 @@ Bedingungen beachtet werden. Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und - reell sein. - \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + reell sein + \item sowie in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. \item Es gelten die Randbedingungen @@ -103,36 +104,32 @@ Bedingungen beachtet werden. $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Werden diese Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres +Wird eine oder mehrere dieser Bedingungen nicht erfüllt, so handelt es sich um ein singuläres Sturm-Liouville-Problem. \begin{beispiel} Das Randwertproblem \begin{equation} \begin{aligned} - x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0, 0<x<a,\\ + x^2y'' + xy' + (\lambda^2x^2 - m^2)y &= 0 \qquad 0<x<a,\\ y(a) &= 0 \end{aligned} \end{equation} ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben + Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformt, dann + erhält man die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. - Schaut man jetzt die Bedingungen im - Kapitel~\ref{sturmliouville:sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und + Schaut man jetzt die Bedingungen in + Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} an und vergleicht diese mit unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. - \item Die Randbedingung bei $x = 0$ fehlt. + \item Die Randbedingung bei $x = 0$ und $x = a$ fehlt. \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide +Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder mehrere Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung -eindeutige Ergebnisse hat. -Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der -Lösungsfunktion liegen. -Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es -immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die -Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen. +eindeutig ist. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index 18e6198..8f673a5 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,14 +4,15 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? +\subsection{Tschebyscheff-Polynome \label{sturmliouville:sub:tschebyscheff-polynome}} +\rhead{Tschebyscheff-Polynome} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die -Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgelistet: \begin{align*} - w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ - p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ + w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \\ + p(x) &= \sqrt{1-x^2}, \\ q(x) &= 0. \end{align*} Da die Sturm-Liouville-Gleichung @@ -24,66 +25,65 @@ Da die Sturm-Liouville-Gleichung \end{equation} nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. - -\subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der -Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion -$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und -$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe -von Hyperbelfunktionen -\begin{equation} - T_n(x) - = - \cos n (\arccos x) -\end{equation}. -Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: -\begin{equation} - T_n(x) = \left\{\begin{array}{ll} \cosh (n \arccos x), & x > 1\\ - (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. -\end{equation}, -jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein -müssen. -Die Funktion -\begin{equation*} - p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -\end{equation*} -ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. +Zunächst werden jedoch die Randbedingungen betrachtet. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, -sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. -Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, +Die Randwerte setzt man $a = -1$ und $b = 1$. +Beim Einsetzen in die Randbedingung \eqref{sturmliouville:eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} -\begin{aligned} - k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ - k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. -\end{aligned} + \begin{aligned} + k_a y(-1) + h_a y'(-1) &= 0\\ + k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. + \end{aligned} \end{equation} Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die -Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=0$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} - k_a T_2(-1) + h_a T_{2}'(-1) &= k_a = 0\\ - k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. + k_a T_0(-1) + h_a T_{0}'(-1) &= k_a = 0\\ + k_b T_0(1) + h_b T_{0}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, -damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome -auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden -Lösungen orthogonal sind. +Es wird also erneut gezeigt, dass die Randbedingungen $[-1,1]$, +die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen. + +\subsubsection*{regulär oder singulär?} +Für das reguläre Problem muss laut der +Definition~\ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem} die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art +\begin{equation} + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x). +\end{equation} +Die nächste Bedingung, laut der Definition \ref{sturmliouville:def:reguläres_sturm-liouville-problem}, beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. +Die Funktion +\begin{equation*} + p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} +\end{equation*} +ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. + + \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit - $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ + Die Gleichung + \[ + \int_{a}^{b} w(x) y_m y_n = 0 + \] + + mit + $y_m(x) = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. |