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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex index fda8be6..4ab5e62 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/eigenschaften.tex @@ -1,17 +1,78 @@ % % eigenschaften.tex -- Eigenschaften der Lösungen +% Author: Erik Löffler % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + +% TODO: +% state goal +% use only what is necessary +% make sure it is easy enough to understand (sentences as shot as possible) +% -> Eigenvalue problem with matrices only +% -> prepare reader for following examples +% +% order: +% 1. Eigenvalue problems with matrices +% 2. Sturm-Liouville is an Eigenvalue problem +% 3. Sturm-Liouville operator (self-adjacent) +% 4. Spectral theorem (brief) +% 5. Base of orthonormal functions + \section{Eigenschaften von Lösungen \label{sturmliouville:section:solution-properties}} \rhead{Eigenschaften von Lösungen} Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines +Sturm-Liouville-Problems diskutiert. +Im wesendlichen wird darauf eingegangen, wie die Orthogonalität der Lösungen +zustande kommt. +Dazu wird zunächst das Eigenwertproblem für Matrizen wiederholt und angeschaut +unter welchen Voraussetzungen die Lösungen orthogonal sind. +Dann wird gezeigt, dass das Sturm-Liouville-Problem auch ein Eigenwertproblem +dieser Art ist und es wird auf au die Orthogononalität der Lösungsfunktion +geschlossen. + +\subsection{Eigenwertprobleme mit Matrizen} + +Das Eigenwertprobelm +\[ + A v + = + \lambda v +\] +für die $n \times n$-Matrix $A$, dem Eigenwert $\lambda$ und dem Eigenvektor $v$ +in der linearen Algebra wird häufig im Zusammenhang mit +Matrixzerlegungen diskutiert. + +Mittels Spektralsatzes kann zum Beispiel geschlossen werden, dass wenn +\[ + <Av, w> + = + <v, Aw> +\] +gilt, die Matrix A symmetrisch (und somit selbstadjungiert) ist und somit eine +Orthonormalbasis aus Eigenvektoren besitzt. +In aneren Worten: durch diese Eigenschaft ist gegeben, dass A diagonalisierbar +ist und alle Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. + +\subsection{} + + +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OLD section %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + +\iffalse + +\section{OLD: Eigenschaften von Lösungen +%\label{sturmliouville:section:solution-properties} +} +\rhead{Eigenschaften von Lösungen} + +Im weiteren werden nun die Eigenschaften der Lösungen eines Sturm-Liouville-Problems diskutiert und aufgezeigt, wie diese Eigenschaften zustande kommen. -Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in +Dazu wird der Operator $L_0$ welcher bereits in Kapitel~\ref{buch:integrale:subsection:sturm-liouville-problem} betrachtet wurde, noch etwas genauer angeschaut. Es wird also im Folgenden @@ -36,43 +97,49 @@ für die Lösungen des Sturm-Liouville-Problems zur Folge hat. \subsubsection{Exkurs zum Spektralsatz} -Um zu verstehen was für Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in +Um zu verstehen welche Eigenschaften der selbstadjungierte Operator $L_0$ in den Lösungen hervorbringt, wird der Spektralsatz benötigt. Dieser wird in der linearen Algebra oft verwendet um zu zeigen, dass eine Matrix diagonalisierbar ist, beziehungsweise dass eine Orthonormalbasis existiert. -Dazu wird zunächst gezeigt, dass eine gegebene $n\times n$-Matrix $A$ aus einem -endlichdimensionalem $\mathbb{K}$-Vektorraum selbstadungiert ist, also dass + +Im Fall einer gegebenen $n\times n$-Matrix $A$ mit reellen Einträgen wird dazu +zunächst gezeigt, dass $A$ selbstadjungiert ist, also dass \[ \langle Av, w \rangle = \langle v, Aw \rangle \] -für $ v, w \in \mathbb{K}^n$ gilt. -Ist dies der Fall, folgt direkt, dass $A$ auch normal ist. -Dann wird die Aussage des Spektralsatzes -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended, welche besagt, dass für -Endomorphismen genau dann eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, -wenn sie normal sind und nur Eigenwerte aus $\mathbb{K}$ besitzten. +für $ v, w \in \mathbb{R}^n$ gilt. +Ist dies der Fall, kann die Aussage des Spektralsatzes +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki} verwended werden. +Daraus folgt dann, dass eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +wenn $A$ nur Eigenwerte aus $\mathbb{R}$ besitzt. Dies ist allerdings nicht die Einzige Version des Spektralsatzes. -Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren -\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}. -Dieser besagt, dass wenn ein linearer kompakter Operator in -$\mathbb{R}$ selbstadjungiert ist, ein (eventuell endliches) -Orthonormalsystem existiert. +Unter anderen gibt es den Spektralsatz für kompakte Operatoren +\cite{sturmliouville:spektralsatz-wiki}, welcher für das +Sturm-Liouville-Problem von Bedeutung ist. +Welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um diese Version des +Satzes verwenden zu können, wird hier aber nicht diskutiert und kann bei den +Beispielen in diesem Kapitel als gegeben betrachtet werden. +Grundsätzlich ist die Aussage in dieser Version dieselbe, wie bei den Matrizen, +also dass für ein Operator eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert, +falls er selbstadjungiert ist. \subsubsection{Anwendung des Spektralsatzes auf $L_0$} Der Spektralsatz besagt also, dass, weil $L_0$ selbstadjungiert ist, eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren existiert. Genauer bedeutet dies, dass alle Eigenvektoren, beziehungsweise alle Lösungen -des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich dem -Skalarprodukt, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. +des Sturm-Liouville-Problems orthogonal zueinander sind bezüglich des +Skalarprodukts, in dem $L_0$ selbstadjungiert ist. Erfüllt also eine Differenzialgleichung die in -Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und +Abschnitt~\ref{sturmliouville:section:teil0} präsentierten Eigenschaften und erfüllen die Randbedingungen der Differentialgleichung die Randbedingungen des Sturm-Liouville-Problems, kann bereits geschlossen werden, dass die Lösungsfunktion des Problems eine Linearkombination aus orthogonalen -Basisfunktionen ist.
\ No newline at end of file +Basisfunktionen ist. + +\fi diff --git a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex index f58baf9..62d9509 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/einleitung.tex @@ -3,11 +3,31 @@ % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % + +% TODO: +% order: +% 1. State goal of showing examples in intro +% 2. Show Sturm-Liouville form +% 3. Explain boundary conditions as necessary in regards to examples +% (make singular property brief) +% +% Remove Eigenvaluedecomposition -> is discussed in properties of solutions +% Check for readability + \section{Was ist das Sturm-Liouville-Problem\label{sturmliouville:section:teil0}} \rhead{Einleitung} -Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem französischen Mathematiker Joseph Liouville. -Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen. -Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. +Das Sturm-Liouville-Problem wurde benannt nach dem schweizerisch-französischen +Mathematiker und Physiker Jacques Charles Fran\c{c}ois Sturm und dem +französischen Mathematiker Joseph Liouville. +Gemeinsam haben sie in der mathematischen Physik die Sturm-Liouville-Theorie +entwickelt und gilt für die Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, +jedoch verwendet man die Theorie öfters bei der Lösung von partiellen +Differentialgleichungen. +Normalerweise betrachtet man für das Strum-Liouville-Problem eine gewöhnliche +Differentialgleichung 2. Ordnung, und wenn es sich um eine partielle +Differentialgleichung handelt, kann man sie in mehrere gewöhnliche +Differentialgleichungen umwandeln. Wie z. B. den Separationsansatz, die +partielle Differentialgleichung mit mehreren Variablen. \begin{definition} \index{Sturm-Liouville-Gleichung}% @@ -18,14 +38,21 @@ Wenn die lineare homogene Differentialgleichung als \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation} - \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + \lambda w(x) \rbrack y = 0 + \frac{d}{dx}\lbrack p(x) \frac{dy}{dx} \rbrack + \lbrack q(x) + + \lambda w(x) \rbrack y + = + 0 \end{equation} -geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung bezeichnet. +geschrieben werden kann, dann wird diese Gleichung als Sturm-Liouville-Gleichung +bezeichnet. \end{definition} -Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt werden. +Alle homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen 2. Ordnung können +in die Form der Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} umgewandelt +werden. \subsection{Randbedingungen\label{sub:was-ist-das-slp-randbedingungen}} -Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer Differentialgleichung genau zu bestimmen. +Geeignete Randbedingungen sind erforderlich, um die Lösungen einer +Differentialgleichung genau zu bestimmen. Die Sturm-Liouville-Gleichung mit homogenen Randbedingungen des dritten Typs \begin{equation} \begin{aligned} @@ -38,17 +65,24 @@ ist das klassische Sturm-Liouville-Problem. \subsection{Eigenwertproblem} -Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines Eigenwertproblems. -Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; +Die Gleichungen \eqref{eq:sturm-liouville-equation} hat die Form eines +Eigenwertproblems. +Wenn bei der Sturm-Liouville-Gleichung \eqref{eq:sturm-liouville-equation} alles +konstant bleibt, aber der Wert von $\lambda$ sich ändert, erhält man eine andere +Eigenfunktion, weil man eine andere gewöhnliche Differentialgleichung löst; der Parameter $\lambda$ wird als Eigenwert bezeichnet. -Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben andere Eigenvektoren. +Es ist genau das gleiche Prinzip wie bei den Matrizen, andere Eigenwerte ergeben +andere Eigenvektoren. Es besteht eine Korrespondenz zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren. Das gleiche gilt auch beim Sturm-Liouville-Problem, und zwar \begin{equation} \lambda \overset{Korrespondenz}\leftrightarrow y. \end{equation} -Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, $\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ orthogonal zu y - +Die Theorie besagt, wenn $y_m$, $y_n$ Eigenfuktionen des +Sturm-Liouville-Problems sind, die verschiedene Eigenwerte $\lambda_m$, +$\lambda_n$ ($\lambda_m \neq \lambda_n$) entsprechen, so sind $y_m$, $y_n$ +orthogonal zu y - dies gilt für das Intervall (a,b). Somit ergibt die Gleichung \begin{equation} @@ -57,31 +91,38 @@ Somit ergibt die Gleichung \end{equation} \subsection{Koeffizientenfunktionen} -Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. -Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion oder Dichtefunktion bezeichnet. -Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. +Die Funktionen $p(x)$, $q(x)$ und $w(x)$ werden als Koeffizientenfunktionen mit +ihren freien Variablen $x$ bezeichnet. +Die Funktion $w(x)$ (manchmal auch $r(x)$ genannt) wird als Gewichtsfunktion +oder Dichtefunktion bezeichnet. +Die Eigenschaften der Koeffizientenfunktionen haben einen grossen Einfluss auf +die Lösbarkeit des Sturm-Liouville-Problems. % %Kapitel mit "Das reguläre Sturm-Liouville-Problem" % -\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} -Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige Bedingungen beachtet werden. +\subsection{Das reguläre oder singuläre Sturm-Liouville-Problem +\label{sub:reguläre_sturm_liouville_problem}} +Damit es sich um ein reguläres Sturm-Liouville-Problem handelt, müssen einige +Bedingungen beachtet werden. \begin{definition} \label{def:reguläres_sturm-liouville-problem} \index{regläres Sturm-Liouville-Problem} Die Bedingungen für ein reguläres Sturm-Liouville-Problem sind: \begin{itemize} - \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und reell sein. - \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar sein. + \item Die Funktionen $p(x), p'(x), q(x)$ und $w(x)$ müssen stetig und + reell sein. + \item sowie müssen in einem endlichen Intervall $[a,b]$ integrierbar + sein. \item $p(x)$ und $w(x)$ sind $>0$. - \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. + \item Es gelten die Randbedingungen \eqref{eq:randbedingungen}, wobei + $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ mit $i=a,b$. \end{itemize} \end{definition} -Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu kennen. - - - +Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige +Eigenschaften der Eigenfunktionen beschreiben zu können, ohne sie genau zu +kennen. \begin{beispiel} Das Randwertproblem @@ -92,8 +133,11 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaft \end{aligned} \end{equation} ist kein reguläres Sturm-Liouville-Problem. - Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. - Schaut man jetzt die Bedingungen im Kapitel \ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: + Wenn man die Gleichung in die Sturm-Liouville Form umformen, dann ergeben + die Koeffizientenfunktionen $p(x) = w(x) = x$ und $q(x) = -m^2/x$. + Schaut man jetzt die Bedingungen im + Kapitel~\ref{sub:reguläre_sturm_liouville_problem} an und vergleicht diese + unseren Koeffizientenfunktionen, so erkennt man einige Probleme: \begin{itemize} \item $p(x)$ und $w(x)$ sind nicht positiv, wenn $x = 0$ ist. \item $q(x)$ ist nicht kontinuierlich, wenn $x = 0$ ist. @@ -101,11 +145,11 @@ Bei einem regulären Sturm-Liouville-Problem geht es darum, wichtige Eigenschaft \end{itemize} \end{beispiel} -Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung eindeutige Ergebnisse hat. -Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der Lösungsfunktion liegen. -Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen. - - - - - +Verwendet man das reguläre Sturm-Liouville-Problem, obwohl eine oder beide +Bedingungen nicht erfüllt sind, dann ist es schwierig zu sagen, ob die Lösung +eindeutige Ergebnisse hat. +Es ist schwierig, Kriterien anzuwenden, da die Formulierungen z. B. in der +Lösungsfunktion liegen. +Ähnlich wie bei der Fourier-Reihe gegenüber der Fourier-Transformation gibt es +immer noch eine zugehörige Eigenfunktionsentwicklung, und zwar die +Integraltransformation sowie gibt es weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen. diff --git a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex index c304632..cad71d7 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/tschebyscheff_beispiel.tex @@ -4,9 +4,11 @@ % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander?\label{sub:tschebyscheff-polynome}} +\subsection{Sind Tschebyscheff-Polynome orthogonal zueinander? +\label{sub:tschebyscheff-polynome}} \subsubsection*{Definition der Koeffizientenfunktion} -Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit +Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die +Koeffizientenfunktionen, die man braucht, schon aufgeliste, und zwar mit \begin{align*} w(x) &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ p(x) &= \sqrt{1-x^2} \\ @@ -15,15 +17,25 @@ Im Kapitel \ref{sub:beispiele_sturm_liouville_problem} sind die Koeffizientenfun Da die Sturm-Liouville-Gleichung \begin{equation} \label{eq:sturm-liouville-equation-tscheby} - \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y = 0 + \frac{d}{dx} (\sqrt{1-x^2} \frac{dy}{dx}) + + (0 + \lambda \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) y + = + 0 \end{equation} -nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. +nun mit den Koeffizientenfunktionen aufgestellt werden kann, bleibt die Frage, +ob es sich um ein reguläres oder singuläres Sturm-Liouville-Problem handelt. \subsubsection*{regulär oder singulär?} -Für das reguläre Problem laut der Definition \ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion $p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und $w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. -Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe von Hyperbelfunktionen +Für das reguläre Problem laut der +Definition~\ref{def:reguläres_sturm-liouville-problem} muss die funktion +$p(x) = \sqrt{1-x^2}$, $p'(x) = -2x$, $q(x) = 0$ und +$w(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ stetig und reell sein --- und sie sind es auch. +Auf dem Intervall $(-1,1)$ sind die Tschebyscheff-Polynome erster Art mit Hilfe +von Hyperbelfunktionen \begin{equation} - T_n(x) = \cos n (\arccos x) + T_n(x) + = + \cos n (\arccos x) \end{equation}. Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: \begin{equation} @@ -31,7 +43,8 @@ Für $x>1$ und $x<-1$ sehen die Polynome wie folgt aus: (-1)^n \cosh (n \arccos (-x)), & x<-1 \end{array}\right. \end{equation}, jedoch ist die Orthogonalität nur auf dem Intervall $[ -1, 1]$ sichergestellt. -Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein müssen. +Die nächste Bedingung beinhaltet, dass die Funktion $p(x)$ und $w(x)>0$ sein +müssen. Die Funktion \begin{equation*} p(x)^{-1} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} @@ -40,7 +53,8 @@ ist die gleiche wie $w(x)$ und erfüllt die Bedingung. \subsubsection*{Randwertproblem} Für die Verifizierung der Randbedingungen benötigt man erneut $p(x)$. -Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. +Da sich die Polynome nur auf dem Intervall $[ -1,1 ]$ orthogonal verhalten, +sind $a = -1$ und $b = 1$ gesetzt. Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man \begin{equation} \begin{aligned} @@ -48,8 +62,10 @@ Beim einsetzen in die Randbedingung \eqref{eq:randbedingungen}, erhält man k_b y(-1) + h_b y'(-1) &= 0. \end{aligned} \end{equation} -Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome (siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). -Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. +Die Funktion $y(x)$ und $y'(x)$ sind in diesem Fall die Tschebyscheff Polynome +(siehe \ref{sub:definiton_der_tschebyscheff-Polynome}). +Die Funktion $y(x)$ wird nun mit der Funktion $T_n(x)$ ersetzt und für die +Verifizierung der Randbedingung wählt man $n=2$. Somit erhält man \begin{equation} \begin{aligned} @@ -57,24 +73,17 @@ Somit erhält man k_b T_2(1) + h_b T_{2}'(1) &= k_b = 0. \end{aligned} \end{equation} -Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige $h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. -Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden Lösungen orthogonal sind. +Ähnlich wie beim Beispiel der Wärmeleitung in einem homogenen Stab kann man, +damit die Bedingung $|k_i|^2 + |h_i|^2\ne 0$ erfüllt ist, können beliebige +$h_a \ne 0$ und $h_b \ne 0$ gewählt werden. +Somit ist erneut gezeigt, dass die Randbedingungen der Tschebyscheff-Polynome +auf die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllt und alle daraus resultierenden +Lösungen orthogonal sind. \begin{beispiel} - Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt + Die Gleichung \eqref{eq:skalar-sturm-liouville} mit $y_m = T_1(x)$ und + $y_n(x) = T_2(x)$ eingesetzt sowie $a=-1$ und $b = 1$ ergibt \[ \int_{-1}^{1} w(x) x (2x^2-1) dx = 0. \] \end{beispiel} - - - - - - - - - - - - diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex index b22d5f5..4992150 100644 --- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex +++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex @@ -1,15 +1,20 @@ % -% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab. +% Author: Erik Löffler % % (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil % -\subsection{Wärmeleitung in einem Homogenen Stab} +\subsection{Fourierreihe als Lösung des Sturm-Liouville-Problems +(Wärmeleitung)} In diesem Abschnitt wird das Problem der Wärmeleitung in einem homogenen Stab betrachtet und wie das Sturm-Liouville-Problem bei der Beschreibung dieses physikalischen Phänomenes auftritt. +% TODO: u is dependent on 2 variables (t, x) +% TODO: mention initial conditions u(0, x) + Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und Wärmeleitkoeffizient $\kappa$ betrachtet. Es ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem @@ -17,9 +22,9 @@ die partielle Differentialgleichung \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-heat-equation} \frac{\partial u}{\partial t} = - \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}} + \kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}, \end{equation} -wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. +wobei der Stab in diesem Fall auf der $x$-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt. Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen Stab beschreibt, werden zusätzliche Bedingungen benötigt, um beispielsweise @@ -34,7 +39,7 @@ Tempreatur gehalten werden. Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene Temperatur zurückgeben darf. Diese wird einfachheitshalber als $0$ angenomen. -Es folgen nun +Es folgt nun \begin{equation} \label{sturmliouville:eq:example-fourier-boundary-condition-ends-constant} u(t,0) @@ -51,7 +56,7 @@ als Randbedingungen. \subsubsection{Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden} -Bei isolierten Enden des Stabes können belibige Temperaturen für $x = 0$ und +Bei isolierten Enden des Stabes können beliebige Temperaturen für $x = 0$ und $x = l$ auftreten. In diesem Fall ist es nicht erlaubt, dass Wärme vom Stab an die Umgebung oder von der Umgebung an den Stab abgegeben wird. @@ -186,8 +191,9 @@ somit auch zu orthogonalen Lösungen führen. % Lösung von X(x), Teil mu % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x} -Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen. +\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in $x$} +Als erstes wird auf die +Gleichung~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-x} eingegangen. Aufgrund der Struktur der Gleichung \[ X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x) @@ -353,6 +359,14 @@ wie auch mit isolierten Enden -\frac{n^{2}\pi^{2}}{l^{2}}. \end{equation} +% TODO: infinite base vectors and fourier series +\subsubsection{TODO: Auf Anzahl Lösungen und Fourierreihe eingehen} + +% TODO: check ease of reading +\subsubsection{Berechnung der Koeffizienten} + +% TODO: move explanation A/B -> a_n/b_n to fourier subsection + % % Lösung von X(x), Teil: Koeffizienten a_n und b_n mittels skalarprodukt. % @@ -417,7 +431,7 @@ sein, welche Integralgrenzen zu verwenden sind. In diesem Fall haben die $\sin$ und $\cos$ Terme beispielsweise keine ganze Periode im Intervall $x \in [0, l]$ für ungerade $n$ und $m$. Um die Skalarprodukte aber korrekt zu berechnen, muss über ein ganzzahliges -Vielfaches der Periode der triginimetrischen Funktionen integriert werden. +Vielfaches der Periode der trigonometrischen Funktionen integriert werden. Dazu werden die Integralgrenzen $-l$ und $l$ verwendet und es werden ausserdem neue Funktionen $\hat{u}_c(0, x)$ für die Berechnung mit Cosinus und $\hat{u}_s(0, x)$ für die Berechnung mit Sinus angenomen, welche $u(0, t)$ @@ -471,7 +485,7 @@ berechnet: \\ 2\int_{0}^{l}u(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx =& - a_0 \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + a_0 \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right] @@ -485,9 +499,9 @@ berechnet: Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass nahezu alle Terme verschwinden, denn \[ - \int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx + \int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx = - 0 + 0, \] da hier über ein ganzzahliges Vielfaches der Periode integriert wird, \[ @@ -526,10 +540,10 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird: \frac{\sin\left(2u\right)}{4}\right]_{u=-m\pi}^{m\pi} \\ &= - a_m\frac{l}{m\pi}\left(\frac{m\pi}{2} + + a_m\frac{l}{m\pi}\biggl(\frac{m\pi}{2} + \underbrace{\frac{\sin\left(2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0} - \frac{-m\pi}{2} - - \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\right) + \underbrace{\frac{\sin\left(-2m\pi\right)}{4}}_{\displaystyle = 0}\biggr) \\ &= a_m l @@ -611,7 +625,7 @@ Es bleibt also noch % Lösung von T(t) % -\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t} +\subsubsection{Lösung der Differentialgleichung in $t$} Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-separated-t} betrachtet. Diese wird über das charakteristische Polynom @@ -627,7 +641,7 @@ Lösung \[ T(t) = - e^{-\kappa \mu t} + e^{\kappa \mu t} \] führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution} \[ @@ -637,9 +651,11 @@ führt und mit dem Resultat~\eqref{sturmliouville:eq:example-fourier-mu-solution \] ergibt. -Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt +Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zusammengesetzt werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten. +% TODO: elaborate + \subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur} \[ \begin{aligned} |