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@@ -170,6 +170,7 @@ Analog dazu kann gezeit werden, dass die Randbedingungen für einen Stab mit
isolierten Enden ebenfalls die Sturm-Liouville-Randbedingungen erfüllen und
somit auch zu orthogonalen Lösungen führen.
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in x}
Als erstes wird auf die erste erste Gleichung eingegangen.
Aufgrund der Struktur der Gleichung
\[
@@ -463,7 +464,7 @@ Zunächst wird nun das Skalaprodukt \eqref{eq:slp-dot-product-cosine} berechnet:
\]
Betrachtet man nun die Summanden auf der rechten Seite stellt man fest, dass
-nahezu alle Terme verschinden, denn
+nahezu alle Terme verschwinden, denn
\[
\int_{-l}^{l}cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right) dx
=
@@ -520,6 +521,74 @@ mit $u = \frac{m \pi}{l}x$ substituiert wird:
\end{aligned}
\]
+Analog dazu kann durch das Bilden des Skalarproduktes mit
+$ \sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right) $ gezeigt werden, dass
+\[
+ b_m
+ =
+ \frac{2}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)\sin\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
+\]
+gilt.
+
+Etwas anders ist es allerdings bei $a_0$.
+Wie der Name bereits suggeriert, handelt es sich hierbei um den Koeffizienten
+zur Basisfunktion $ \cos\left(\frac{0 \pi}{l}x\right) $ beziehungsweise der
+konstanten Funktion $1$.
+Um einen Ausdruck für $ a_0 $ zu erhalten, wird wiederum auf beiden Seiten
+der Gleichung \eqref{eq:slp-example-fourier-initial-conditions} das
+Skalarprodukt mit der konstanten Basisfunktion $ 1 $ gebildet:
+\[
+\begin{aligned}
+ \int_{-l}^{l}\hat{u}_c(0, x)dx
+ &=
+ \int_{-l}^{l} a_0
+ +
+ \sum_{n = 1}^{\infty} a_n\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ +
+ \sum_{n = 1}^{\infty} b_n\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)dx
+ \\
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+ &=
+ a_0 \int_{-l}^{l}dx
+ +
+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[a_n\int_{-l}^{l}\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ dx\right] +
+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ dx\right].
+\end{aligned}
+\]
+
+Hier fallen nun alle Terme, die $\sin$ oder $\cos$ beinhalten weg, da jeweils
+über ein Vielfaches der Periode integriert wird.
+Es bleibt also noch
+\[
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+ =
+ a_0 \int_{-l}^{l}dx
+\]
+, was sich wie folgt nach $a_0$ auflösen lässt:
+\[
+\begin{aligned}
+ 2\int_{0}^{l}u(0, x)dx
+ &=
+ a_0 \int_{-l}^{l}dx
+ \\
+ &=
+ a_0 \left[x\right]_{x=-l}^{l}
+ \\
+ &=
+ a_0(l - (-l))
+ \\
+ &=
+ a_0 \cdot 2l
+ \\
+ a_0
+ &=
+ \frac{1}{l} \int_{0}^{l}u(0, x)dx
+\end{aligned}
+\]
+
+\subsubsection{Lösund der Differentialgleichung in t}
Zuletzt wird die zweite Gleichung der Separation
\eqref{eq:slp-example-fourier-separated-t} betrachtet.
Diese wird über das charakteristische Polynom
@@ -546,6 +615,9 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
\]
ergibt.
+Dieses Resultat kann nun mit allen vorhergehenden Resultaten zudammengesetzt
+werden um die vollständige Lösung für das Stab-Problem zu erhalten.
+
\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
\[
\begin{aligned}