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-rw-r--r-- | buch/papers/zeta/euler_product.tex | 86 |
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diff --git a/buch/papers/zeta/euler_product.tex b/buch/papers/zeta/euler_product.tex new file mode 100644 index 0000000..9c08dd2 --- /dev/null +++ b/buch/papers/zeta/euler_product.tex @@ -0,0 +1,86 @@ +\section{Eulerprodukt} \label{zeta:section:eulerprodukt} +\rhead{Eulerprodukt} + +Das Eulerprodukt stellt die gesuchte Verbindung der Zetafunktion und der Primzahlen her. +Wie der Name bereits sagt, wurde das Eulerprodukt bereits 1727 von Euler entdeckt. +Um daraus die Riemannsche Vermutung herzuleiten, wäre aber noch einiges mehr nötig. + +\begin{satz} + Für alle Zahlen $s$ mit $\Re(s) > 1$ ist die Zetafunktion identisch mit dem unendlichen Eulerprodukt + \begin{equation}\label{zeta:eq:eulerprodukt} + \zeta(s) + = + \sum_{n=1}^\infty + \frac{1}{n^s} + = + \prod_{p \in P} + \frac{1}{1-p^{-s}} + \end{equation} + wobei $P$ die Menge aller Primzahlen darstellt. +\end{satz} + +\begin{proof}[Beweis] + Der Beweis startet mit dem Eulerprodukt und stellt dieses so um, dass die Zetafunktion erscheint. + Als erstes ersetzen wir die Faktoren durch geometrische Reihen + \begin{equation} + \prod_{i=1}^{\infty} + \frac{1}{1-p^{-s}} + = + \prod_{p \in P} + \sum_{k_i=0}^{\infty} + \biggl( + \frac{1}{p_i^s} + \biggr)^{k_i} + = + \prod_{p \in P} + \sum_{k_i=0}^{\infty} + \frac{1}{p_i^{s k_i}}, + \end{equation} + dabei iteriert der Index $i$ über alle Primzahlen $p_i$. + Durch Ausschreiben der Multiplikation und Ausklammern der Summen erhalten wir + \begin{align} + \prod_{p \in P} + \sum_{k_i=0}^{\infty} + \frac{1}{p_i^{s k_i}} + &= + \sum_{k_1=0}^{\infty} + \frac{1}{p_1^{s k_1}} + \sum_{k_2=0}^{\infty} + \frac{1}{p_2^{s k_2}} + \ldots + \nonumber \\ + &= + \sum_{k_1=0}^{\infty} + \sum_{k_2=0}^{\infty} + \ldots + \biggl( + \frac{1}{p_1^{k_1}} + \frac{1}{p_2^{k_2}} + \ldots + \biggr)^s. + \label{zeta:equation:eulerprodukt2} + \end{align} + Der Fundamentalsatz der Arithmetik (Primfaktorzerlegung) besagt, dass jede beliebige Zahl $n \in \mathbb{N}$ durch eine eindeutige Primfaktorzerlegung beschrieben werden kann + \begin{equation} + n = \prod_i p_i^{k_i} \quad \forall \quad n \in \mathbb{N}. + \end{equation} + Jeder Summand der Summen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} ist somit der Kehrwert genau einer natürlichen Zahl $n \in \mathbb{N}$. + Da die Summen alle möglichen Kombinationen von Exponenten und Primzahlen in \eqref{zeta:equation:eulerprodukt2} enthält, haben wir + \begin{equation} + \sum_{k_1=0}^{\infty} + \sum_{k_2=0}^{\infty} + \ldots + \biggl( + \frac{1}{p_1^{k_1}} + \frac{1}{p_2^{k_2}} + \ldots + \biggr)^s + = + \sum_{n=1}^\infty + \frac{1}{n^s} + = + \zeta(s), + \end{equation} + wodurch das Eulerprodukt bewiesen ist. +\end{proof} + |