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-rw-r--r--buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex107
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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
index 943647a..f5de6e7 100644
--- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
+++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex
@@ -110,7 +110,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al
dx,
\end{equation}
wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden.
-Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten
+Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten
\begin{align}
\int_0^{1}
x^{\frac{s}{2}-1}
@@ -148,9 +148,9 @@ Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten
x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
-
x^{\frac{s}{2}-1}
- dx.
+ dx. \label{zeta:equation:integral3}
\end{align}
-Dabei kann das zweite integral gelöst werden als
+Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als
\begin{equation}
\frac{1}{2}
\int_0^1
@@ -161,5 +161,104 @@ Dabei kann das zweite integral gelöst werden als
=
\frac{1}{s(s-1)}.
\end{equation}
-
+Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form.
+Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$.
+Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$.
+Dies ergibt
+\begin{align}
+ \int_{\infty}^{1}
+ {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{-du}{u^2}
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}}
+ \psi(u)
+ \frac{du}{u^2}
+ \\
+ &=
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ dx,
+\end{align}
+wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen.
+Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind.
+Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten
+\begin{equation}
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ =
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ dx,
+ +
+ \frac{1}{s(s-1)}.
+\end{equation}
+Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich
+\begin{align}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ &=
+ \int_0^{1}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ \nonumber
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{s(s-1)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)}
+ \psi(x)
+ dx,
+ +
+ \int_1^{\infty}
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \psi(x)
+ dx
+ \\
+ &=
+ \frac{1}{s(s-1)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}}
+ +
+ x^{\frac{s}{2}-1}
+ \right)
+ \psi(x)
+ dx
+ \\
+ &=
+ \frac{-1}{s(1-s)}
+ +
+ \int_{1}^{\infty}
+ \left(
+ x^{\frac{1-s}{2}}
+ +
+ x^{\frac{s}{2}}
+ \right)
+ \frac{\psi(x)}{x}
+ dx,
+\end{align}
+zu erhalten.
+Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird.
+Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als
+\begin{equation}\label{zeta:equation:functional}
+ \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}}
+ \zeta(s)
+ =
+ \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}}
+ \zeta(1-s).
+\end{equation}