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| -rw-r--r-- | buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex | 107 |
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diff --git a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex index 943647a..f5de6e7 100644 --- a/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex +++ b/buch/papers/zeta/analytic_continuation.tex @@ -110,7 +110,7 @@ Zunächst teilen wir nun das Integral aus \eqref{zeta:equation:integral1} auf al dx, \end{equation} wobei wir uns nun auf den ersten Teil konzentrieren werden. -Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten +Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:psi} ein und erhalten \begin{align} \int_0^{1} x^{\frac{s}{2}-1} @@ -148,9 +148,9 @@ Dabei setzen wir das Wissen aus \eqref{zeta:equation:integral2} ein und erhalten x^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} - x^{\frac{s}{2}-1} - dx. + dx. \label{zeta:equation:integral3} \end{align} -Dabei kann das zweite integral gelöst werden als +Dabei kann das zweite Integral gelöst werden als \begin{equation} \frac{1}{2} \int_0^1 @@ -161,5 +161,104 @@ Dabei kann das zweite integral gelöst werden als = \frac{1}{s(s-1)}. \end{equation} - +Das erste Integral aus \eqref{zeta:equation:integral3} mit $\psi \left(\frac{1}{x} \right)$ ist nicht lösbar in dieser Form. +Deshalb substituieren wir $x = \frac{1}{u}$ und $dx = -\frac{1}{u^2}du$. +Die untere Integralgrenze wechselt ebenfalls zu $x_0 = 0 \rightarrow u_0 = \infty$. +Dies ergibt +\begin{align} + \int_{\infty}^{1} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{-du}{u^2} + &= + \int_{1}^{\infty} + {\frac{1}{u}}^{\frac{s}{2}-\frac{3}{2}} + \psi(u) + \frac{du}{u^2} + \\ + &= + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, +\end{align} +wobei wir durch Multiplikation mit $(-1)$ die Integralgrenzen tauschen dürfen. +Es ist zu beachten das diese Grenzen nun identisch mit den Grenzen des zweiten Integrals von \eqref{zeta:equation:integral2} sind. +Wir setzen beide Lösungen ein in Gleichung \eqref{zeta:equation:integral3} und erhalten +\begin{equation} + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + = + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, + + + \frac{1}{s(s-1)}. +\end{equation} +Dieses Resultat setzen wir wiederum ein in \eqref{zeta:equation:integral2}, um schlussendlich +\begin{align} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + &= + \int_0^{1} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \nonumber + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + x^{(-1) \left(\frac{s}{2}+\frac{1}{2}\right)} + \psi(x) + dx, + + + \int_1^{\infty} + x^{\frac{s}{2}-1} + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{1}{s(s-1)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{-\frac{s}{2}-\frac{1}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}-1} + \right) + \psi(x) + dx + \\ + &= + \frac{-1}{s(1-s)} + + + \int_{1}^{\infty} + \left( + x^{\frac{1-s}{2}} + + + x^{\frac{s}{2}} + \right) + \frac{\psi(x)}{x} + dx, +\end{align} +zu erhalten. +Wenn wir dieses Resultat genau anschauen, erkennen wir dass sich nichts verändert wenn $s$ mit $1-s$ ersetzt wird. +Somit haben wir die analytische Fortsetzung gefunden als +\begin{equation}\label{zeta:equation:functional} + \frac{\Gamma \left( \frac{s}{2} \right)}{\pi^{\frac{s}{2}}} + \zeta(s) + = + \frac{\Gamma \left( \frac{1-s}{2} \right)}{\pi^{\frac{1-s}{2}}} + \zeta(1-s). +\end{equation} |