19 files changed, 584 insertions, 0 deletions
diff --git a/buch/papers/common/Makefile.inc b/buch/papers/common/Makefile.inc
index 1e699cc..eb8b8a7 100644
--- a/buch/papers/common/Makefile.inc
+++ b/buch/papers/common/Makefile.inc
@@ -24,6 +24,7 @@ PAPERFILES = \
 	papers/kugel/main.tex \
 	papers/hermite/main.tex \
 	papers/ellfilter/main.tex \
+	papers/dreieck/main.tex \
 	
 buch1-blx.bbl:	buch1-blx.aux
 	bibtex buch1-blx
@@ -76,6 +77,9 @@ buch16-blx.bbl:	buch16-blx.aux
 buch17-blx.bbl:	buch17-blx.aux
 	bibtex buch17-blx
 
+buch18-blx.bbl:	buch18-blx.aux
+	bibtex buch18-blx
+
 BLXFILES = buch.bbl \
 	buch1-blx.bbl \
 	buch2-blx.bbl \
@@ -94,6 +98,7 @@ BLXFILES = buch.bbl \
 	buch15-blx.bbl \
 	buch16-blx.bbl \
 	buch17-blx.bbl \
+	buch18-blx.bbl \
 
 PAPER_DIRECTORIES = \
 	000template \
@@ -112,6 +117,7 @@ PAPER_DIRECTORIES = \
 	kugel \
 	hermite \
 	ellfilter \
+	dreieck \
 	
 PAPER_MAKEFILEINC = \
 	papers/000template/Makefile.inc \
@@ -130,4 +136,5 @@ PAPER_MAKEFILEINC = \
 	papers/kugel/Makefile.inc \
 	papers/hermite/Makefile.inc \
 	papers/ellfilter/Makefile.inc \
+	papers/dreieck/Makefile.inc \
 	
diff --git a/buch/papers/common/addbibresources.tex b/buch/papers/common/addbibresources.tex
index 0d60231..6e354b5 100644
--- a/buch/papers/common/addbibresources.tex
+++ b/buch/papers/common/addbibresources.tex
@@ -19,3 +19,4 @@
 \addbibresource{papers/kugel/references.bib}
 \addbibresource{papers/hermite/references.bib}
 \addbibresource{papers/ellfilter/references.bib}
+\addbibresource{papers/dreieck/references.bib}
diff --git a/buch/papers/common/addpackages.tex b/buch/papers/common/addpackages.tex
index c97ce85..31f7455 100644
--- a/buch/papers/common/addpackages.tex
+++ b/buch/papers/common/addpackages.tex
@@ -19,3 +19,4 @@
 \input{papers/kugel/packages.tex}
 \input{papers/hermite/packages.tex}
 \input{papers/ellfilter/packages.tex}
+\input{papers/dreieck/packages.tex}
diff --git a/buch/papers/common/addpapers.tex b/buch/papers/common/addpapers.tex
index 9e53036..dd2b07a 100644
--- a/buch/papers/common/addpapers.tex
+++ b/buch/papers/common/addpapers.tex
@@ -19,3 +19,4 @@
 \input{papers/kugel/main.tex}
 \input{papers/hermite/main.tex}
 \input{papers/ellfilter/main.tex}
+\input{papers/dreieck/main.tex}
diff --git a/buch/papers/common/includes.inc b/buch/papers/common/includes.inc
index ad8af23..3e064d9 100644
--- a/buch/papers/common/includes.inc
+++ b/buch/papers/common/includes.inc
@@ -14,6 +14,7 @@ include papers/kra/Makefile.inc
 include papers/kugel/Makefile.inc
 include papers/hermite/Makefile.inc
 include papers/ellfilter/Makefile.inc
+include papers/dreieck/Makefile.inc
 
 TEXFILES = \
 	$(dependencies-000template) \
@@ -32,4 +33,5 @@ TEXFILES = \
 	$(dependencies-kugel) \
 	$(dependencies-hermite) \
 	$(dependencies-ellfilter) \
+	$(dependencies-dreieck) \
 
diff --git a/buch/papers/common/paperlist b/buch/papers/common/paperlist
index 6eab61d..d4e5c20 100644
--- a/buch/papers/common/paperlist
+++ b/buch/papers/common/paperlist
@@ -14,3 +14,4 @@ kra
 kugel
 hermite
 ellfilter
+dreieck
diff --git a/buch/papers/dreieck/Makefile b/buch/papers/dreieck/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..f0cb602
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/Makefile
@@ -0,0 +1,9 @@
+#
+# Makefile -- make file for the paper dreieck
+#
+# (c) 2020 Prof Dr Andreas Mueller
+#
+
+images:
+	@echo "no images to be created in dreieck"
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/Makefile.inc b/buch/papers/dreieck/Makefile.inc
new file mode 100644
index 0000000..843da8d
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/Makefile.inc
@@ -0,0 +1,14 @@
+#
+# Makefile.inc -- dependencies for this article
+#
+# (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+dependencies-dreieck =						\
+	papers/dreieck/packages.tex					\
+	papers/dreieck/main.tex					\
+	papers/dreieck/references.bib				\
+	papers/dreieck/teil0.tex					\
+	papers/dreieck/teil1.tex					\
+	papers/dreieck/teil2.tex					\
+	papers/dreieck/teil3.tex
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/Makefile b/buch/papers/dreieck/images/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..3907d13
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/Makefile
@@ -0,0 +1,10 @@
+#
+# Makefile
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+order.pdf:	order.tex orderpath.tex
+	pdflatex order.tex
+
+orderpath.tex:	order.m
+	octave order.m
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.m b/buch/papers/dreieck/images/order.m
new file mode 100644
index 0000000..d37a258
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.m
@@ -0,0 +1,79 @@
+#
+# order.m
+#
+# (c) 2022 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+#
+global N;
+N = 10;
+global subdivisions;
+subdivisions = 100;
+global P;
+P = 0.5
+
+function retval = orderF(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * p^i * (1-p)^(n-i);
+	end
+end
+
+function retval = orderd(p, n, k)
+	retval = 0;
+	for i = (k:n)
+		s = i * p^(i-1) * (1-p)^(n-i);
+		s = s - p^i * (n-i) * (1-p)^(n-i-1);
+		retval = retval + nchoosek(n,i) * s;
+	end
+end
+
+function orderpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\order%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (0:subdivisions)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderF(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+function orderdpath(fn, k, name)
+	fprintf(fn, "\\def\\orderd%s{\n\t(0,0)", name);
+	global N;
+	global subdivisions;
+	for i = (1:subdivisions-1)
+		p = i/subdivisions;
+		fprintf(fn, "\n\t-- ({%.4f*\\dx},{%.4f*\\dy})",
+			p, orderd(p, N, k));
+	end
+	fprintf(fn, "\n\t-- ({1*\\dx},0)");
+	fprintf(fn, "\n}\n");
+end
+
+fn = fopen("orderpath.tex", "w");
+orderpath(fn,   0, "zero");
+orderdpath(fn,  0, "zero");
+orderpath(fn,   1, "one");
+orderdpath(fn,  1, "one");
+orderpath(fn,   2, "two");
+orderdpath(fn,  2, "two");
+orderpath(fn,   3, "three");
+orderdpath(fn,  3, "three");
+orderpath(fn,   4, "four");
+orderdpath(fn,  4, "four");
+orderpath(fn,   5, "five");
+orderdpath(fn,  5, "five");
+orderpath(fn,   6, "six");
+orderdpath(fn,  6, "six");
+orderpath(fn,   7, "seven");
+orderdpath(fn,  7, "seven");
+orderpath(fn,   8, "eight");
+orderdpath(fn,  8, "eight");
+orderpath(fn,   9, "nine");
+orderdpath(fn,  9, "nine");
+orderpath(fn,  10, "ten");
+orderdpath(fn, 10, "ten");
+fclose(fn);
+
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.pdf b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
new file mode 100644
index 0000000..6d9c8c0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.pdf
diff --git a/buch/papers/dreieck/images/order.tex b/buch/papers/dreieck/images/order.tex
new file mode 100644
index 0000000..083f014
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/images/order.tex
@@ -0,0 +1,99 @@
+%
+% order.tex -- Verteilungsfunktion für Ordnungsstatistik
+%
+% (c) 2021 Prof Dr Andreas Müller, OST Ostschweizer Fachhochschule
+%
+\documentclass[tikz]{standalone}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{times}
+\usepackage{txfonts}
+\usepackage{pgfplots}
+\usepackage{csvsimple}
+\usetikzlibrary{arrows,intersections,math}
+\begin{document}
+\def\skala{8}
+\definecolor{darkgreen}{rgb}{0,0.6,0}
+\input{orderpath.tex}
+\begin{tikzpicture}[>=latex,thick,scale=\skala]
+
+\def\dx{1}
+\def\dy{0.5}
+
+\def\pfad#1#2{
+\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+	--
+	#1
+	--
+	({1+0.1/\skala},0.5);
+}
+
+\pfad{\orderzero}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderone}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordertwo}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderthree}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfour}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderfive}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordersix}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordereight}{darkgreen!20}
+\pfad{\ordernine}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderten}{darkgreen!20}
+\pfad{\orderseven}{darkgreen}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={left:$F(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw (\x,{-0.1/\skala}) -- (\x,{0.1/\skala});
+	\node at (\x,{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {0.5,1}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=darkgreen] at (0.65,{0.5*\dy}) [above,rotate=55] {$k=7$};
+
+\begin{scope}[yshift=-0.7cm]
+\def\dy{0.125}
+
+\def\pfad#1#2{
+	\draw[color=#2,line width=1.4pt] ({-0.1/\skala},0) 
+		--
+		#1
+		--
+		({1+0.1/\skala},0.0);
+}
+
+\begin{scope}
+\clip ({-0.1/\skala},{-0.1/\skala})
+	rectangle ({1+0.1/\skala},{0.56+0.1/\skala});
+\pfad{\orderdzero}{red!20}
+\pfad{\orderdone}{red!20}
+\pfad{\orderdtwo}{red!20}
+\pfad{\orderdthree}{red!20}
+\pfad{\orderdfour}{red!20}
+\pfad{\orderdfive}{red!20}
+\pfad{\orderdsix}{red!20}
+\pfad{\orderdeight}{red!20}
+\pfad{\orderdnine}{red!20}
+\pfad{\orderdten}{red!20}
+\pfad{\orderdseven}{red}
+\end{scope}
+
+\draw[->] ({-0.1/\skala},0) -- (1.1,0) coordinate[label={$x$}];
+\draw[->] (0,{-0.1/\skala}) -- (0,0.6) coordinate[label={left:$\varphi(X)$}];
+\foreach \x in {0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}{
+	\draw (\x,{-0.1/\skala}) -- (\x,{0.1/\skala});
+	\node at (\x,{-0.1/\skala}) [below] {$\x$};
+}
+\foreach \y in {1,2,3,4}{
+	\draw ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) -- ({0.1/\skala},{\y*\dy});
+	\node at ({-0.1/\skala},{\y*\dy}) [left] {$\y$};
+}
+
+\node[color=red] at (0.67,{2.7*\dy}) [above] {$k=7$};
+
+\end{scope}
+
+\end{tikzpicture}
+\end{document}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/main.tex b/buch/papers/dreieck/main.tex
new file mode 100644
index 0000000..75ba410
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/main.tex
@@ -0,0 +1,26 @@
+%
+% main.tex -- Paper zum Thema <dreieck>
+%
+% (c) 2020 Hochschule Rapperswil
+%
+\chapter{Dreieckstest und Beta-Funktion\label{chapter:dreieck}}
+\lhead{Dreieckstest und Beta-Funktion}
+\begin{refsection}
+\chapterauthor{Andreas Müller}
+
+\noindent
+Mit dem Dreieckstest kann man feststellen, wie gut ein Geruchs-
+oder Geschmackstester verschiedene Gerüche oder Geschmäcker
+unterscheiden kann.
+Seine wahrscheinlichkeitstheoretische Erklärung benötigt die Beta-Funktion,
+man kann die Beta-Funktion als durchaus als die mathematische Grundlage
+der Weindegustation
+bezeichnen.
+
+\input{papers/dreieck/teil0.tex}
+\input{papers/dreieck/teil1.tex}
+\input{papers/dreieck/teil2.tex}
+\input{papers/dreieck/teil3.tex}
+
+\printbibliography[heading=subbibliography]
+\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/dreieck/packages.tex b/buch/papers/dreieck/packages.tex
new file mode 100644
index 0000000..fd4ebce
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/packages.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+%
+% packages.tex -- packages required by the paper dreieck
+%
+% (c) 2019 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+
+% if your paper needs special packages, add package commands as in the
+% following example
+%\usepackage{packagename}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/references.bib b/buch/papers/dreieck/references.bib
new file mode 100644
index 0000000..d2bbe08
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/references.bib
@@ -0,0 +1,35 @@
+%
+% references.bib -- Bibliography file for the paper dreieck
+%
+% (c) 2020 Autor, Hochschule Rapperswil
+%
+
+@online{dreieck:bibtex,
+	title = {BibTeX},
+	url = {https://de.wikipedia.org/wiki/BibTeX},
+	date = {2020-02-06},
+	year = {2020},
+	month = {2},
+	day = {6}
+}
+
+@book{dreieck:numerical-analysis,
+	title = {Numerical Analysis},
+	author = {David Kincaid and Ward Cheney},
+	publisher = {American Mathematical Society},
+	year = {2002},
+	isbn = {978-8-8218-4788-6},
+	inseries = {Pure and applied undegraduate texts},
+	volume = {2}
+}
+
+@article{dreieck:mendezmueller,
+        author = { Tabea Méndez and Andreas Müller },
+        title = { Noncommutative harmonic analysis and image registration },
+        journal = { Appl. Comput. Harmon. Anal.},
+        year = 2019,
+        volume = 47,
+        pages = {607--627},
+        url = {https://doi.org/10.1016/j.acha.2017.11.004}
+}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil0.tex b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
new file mode 100644
index 0000000..bcf2cf8
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil0.tex
@@ -0,0 +1,9 @@
+%
+% einleitung.tex -- Beispiel-File für die Einleitung
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Testprinzip\label{dreieck:section:testprinzip}}
+\rhead{Testprinzip}
+
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil1.tex b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
new file mode 100644
index 0000000..255c5d0
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil1.tex
@@ -0,0 +1,261 @@
+%
+% teil1.tex -- Beispiel-File für das Paper
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion
+\label{dreieck:section:ordnungsstatistik}}
+\rhead{Ordnungsstatistik und Beta-Funktion}
+In diesem Abschnitt ist $X$ eine Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion
+$F_X(x)$, und $X_i$, $1\le i\le n$ sei ein Stichprobe von unabhängigen
+Zufallsvariablen, die wie $X$ verteilt sind.
+Ziel ist, die Verteilungsfunktion und die Wahrscheinlichkeitsdichte
+des grössten, zweitgrössten, $k$-t-grössten Wertes in der Stichprobe
+zu finden.
+
+\subsection{Verteilung von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ und
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+\label{dreieck:subsection:minmax}}
+Die Verteilungsfunktion von $\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$ hat
+den Wert
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n) \le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x\wedge \dots \wedge X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X_1\le x) \cdot \ldots \cdot P(X_n\le x)
+\\
+&=
+P(X\le x)^n
+=
+F_X(x)^n.
+\end{align*}
+Für die Gleichverteilung ist
+\[
+F_{\text{equi}}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x< 0
+\\
+x&\qquad 0\le x\le 1
+\\
+1&\qquad 1<x.
+\end{cases}
+\]
+In diesem Fall ist Verteilung des Maximums
+\[
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0&\qquad x<0\\
+x^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1&\qquad 1 < x.
+\end{cases}
+\]
+Mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+nx^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0       &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+kann man zum Beispiel den Erwartungswert
+\[
+E(\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n))
+=
+\int_{-\infty}^\infty 
+x
+\varphi_{\operatorname{X_1,\dots,X_n}}(x)
+\,dx
+=
+\int_{0}^1 x\cdot nx^{n-1}\,dt
+=
+\biggl[
+\frac{n}{n+1}x^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{n}{n+1}
+\]
+berechnen.
+
+Ganz analog kann man auch die Verteilungsfunktion von
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$ bestimmen.
+Sie ist
+\begin{align*}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+&=
+P(x\le X_1\vee \dots \vee x\le X_n)
+\\
+&=
+1-
+P(x > X_1\wedge \dots \wedge x > X_n)
+\\
+&=
+1-
+(1-P(x\le X_1)) \cdot\ldots\cdot (1-P(x\le X_n))
+\\
+&=
+1-(1-F_X(x))^n,
+\end{align*}
+Im Speziellen für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die
+Verteilungsfunktion des Minimums
+\[
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)
+=
+\begin{cases}
+0        &\qquad x<0        \\
+1-(1-x)^n&\qquad 0\le x\le 1\\
+1        &\qquad 1 < x
+\end{cases}
+\]
+mit Wahrscheinlichkeitsdichte
+\[
+\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\frac{d}{dx}
+F_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}
+=
+\begin{cases}
+n(1-x)^{n-1}&\qquad 0\le x\le 1\\
+0           &\qquad \text{sonst}
+\end{cases}
+\]
+und Erwartungswert
+\begin{align*}
+E(\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)
+&=
+\int_{-\infty}^\infty x\varphi_{\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)}(x)\,dx
+=
+\int_0^1 x\cdot n(1-x)^{n-1}\,dx
+\\
+&=
+\bigl[ -x(1-x)^n \bigr]_0^1 + \int_0^1 (1-x)^n\,dx
+=
+\biggl[
+-
+\frac{1}{n+1}
+(1-x)^{n+1}
+\biggr]_0^1
+=
+\frac{1}{n+1}.
+\end{align*}
+Es ergibt sich daraus als natürlich Verallgemeinerung die Frage nach
+der Verteilung des zweitegrössten oder zweitkleinsten Wertes unter den
+Werten $X_i$.
+
+\subsection{Der $k$-t-grösste Wert}
+Sie wieder $X_i$ eine Stichprobe von $n$ unabhängigen wie $X$ verteilten
+Zufallsvariablen.
+Diese werden jetzt der Grösse nach sortiert, die sortierten Werte werden
+mit
+\[
+X_{1:n} \le X_{2:n} \le \dots \le X_{(n-1):n} \le X_{n:n}
+\]
+bezeichnet.
+Die Grössen $X_{k:n}$ sind Zufallsvariablen, sie heissen die $k$-ten
+Ordnungsstatistiken.
+Die in Abschnitt~\ref{dreieck:subsection:minmax} behandelten Zufallsvariablen
+$\operatorname{min}(X_1,\dots,X_n)$
+und
+$\operatorname{max}(X_1,\dots,X_n)$
+sind die Fälle
+\begin{align*}
+X_{1:n} &= \operatorname{min}(X_1,\dots,X_n) \\
+X_{n:n} &= \operatorname{max}(X_1,\dots,X_n).
+\end{align*}
+
+Um den Wert der Verteilungsfunktion von $X_{k:n}$ zu berechnen, müssen wir 
+die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass $k$ der $n$ Werte $X_i$ $x$ nicht
+übersteigen.
+Es muss also eine Partition von $[n]=\{1,\dots,n\}$ in eine
+$k$-elementige $I=\{i_1,\dots,i_k\}$ Teilmenge und ihre
+$(n-k)$-elementige Komplementmenge $[n]\setminus I$ geben
+derart, dass die $X_{i} \le x$ sind für $i\in I$ und $X_{j}> x$ für 
+$j\in [n]\setminus I$.
+Daraus kann man ablesen, dass
+\begin{align*}
+F_{X_{k:n}}(x)
+&=
+P\biggl(
+\bigvee_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
+\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x)
+\wedge
+\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x)
+\biggr).
+\intertext{Da die verschiedenen $k$-elementigen Teilmengen $I\subset[n]$
+zu disjunkten Ereignissen gehören, ist die Wahrscheinlichkeit eine Summe}
+&=
+\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
+P\biggl(
+\bigwedge_{i\in I} (X_i\le x)
+\wedge
+\bigwedge_{j\in [n]\setminus I} (X_i > x)
+\biggr)
+\\
+&=
+\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
+\prod_{i\in I}
+P(X_i\le x)
+\cdot
+\prod_{j\in [n]\setminus I}
+P(X_j > x)
+\\
+&=
+\sum_{I\subset[n]\wedge |I|=k}
+F_X(x)^k
+(1-F_X(x))^{n-k}.
+\intertext{Die Anzahl solcher Teilmengen $I$ ist gegeben durch den
+Binomialkoeffizienten gebeben, die Verteilungsfunktion ist daher}
+F_{X_{k:n}}(x)
+&=
+\binom{n}{k}
+F_X(x)^k
+(1-F_X(x))^{n-k}.
+\end{align*}
+Für im Intervall $[0,1]$ gleichverteilte $X_i$ ist die Verteilungsfunktion
+der $k$-ten Ordnungsstatistik
+\[
+F_{X_{k:n}}(x)
+=
+\binom{n}{k} x^k(1-x)^{n-k}.
+\]
+Ihre Ableitung nach $x$ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte und damit
+wird es jetzt auch möglich, den Erwartungswert zu ermitteln:
+\begin{align*}
+E(X_{k:n})
+&=
+\int_{0}^1
+\underbrace{x\llap{\phantom{\bigg|}}\mathstrut}_{\downarrow}
+\underbrace{\frac{d}{dx}\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}}_{\uparrow}
+\,dx
+=
+\biggl[
+x\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}
+\biggr]_0^1
+-
+\int_0^1
+\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}
+\,dx
+\\
+&=
+\binom{n}{k}
+\biggl(
+0^{n-k}
+-
+\int_0^1  x^k(1-x)^{n-k}\,dx
+\biggr)
+\end{align*}
+
+
+
+
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil2.tex b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
new file mode 100644
index 0000000..83ea3cb
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil2.tex
@@ -0,0 +1,9 @@
+%
+% teil2.tex -- Beispiel-File für teil2 
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Wahrscheinlichkeiten im Dreieckstest
+\label{dreieck:section:wahrscheinlichkeiten}}
+\rhead{Wahrscheinlichkeiten}
+
diff --git a/buch/papers/dreieck/teil3.tex b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
new file mode 100644
index 0000000..e2dfd6b
--- /dev/null
+++ b/buch/papers/dreieck/teil3.tex
@@ -0,0 +1,10 @@
+%
+% teil3.tex -- Beispiel-File für Teil 3
+%
+% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
+%
+\section{Erweiterungen
+\label{dreieck:section:erweiterungen}}
+\rhead{Erweiterungen}
+
+