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diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index ee42b64..dbe1171 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -1,6 +1,5 @@ \section{Anwendung \label{kra:section:anwendung}} \rhead{Anwendung} -\newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter. Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. @@ -187,45 +186,23 @@ Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien \end{figure} \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} -Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, -wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. -Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +Die Lösung der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} beschreibt sowohl die zeitliche Entwicklung der Position als auch der Impulse. +Um das System im Phasenraum zu untersuchen, reicht uns aber auch die zeitliche Entwicklung des Phasenwinkels $U(t) = P(t)Q^{-1}(t)$. +Nach Satz~\ref{kra:satz:riccati-matrix-dgl} erhalten wir für Ableitung von $U$ \begin{equation} - \dt - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix} - = - \underbrace{ - \begin{pmatrix} - A & B \\ - C & D - \end{pmatrix} - }_{\displaystyle{\tilde{G}}} - \begin{pmatrix} - Q \\ - P - \end{pmatrix}. -\end{equation} -Ausgeschrieben folgt -\begin{align*} - \dot{Q} = AQ + BP \\ - \dot{P} = CQ + DP -\end{align*} -\begin{equation} - \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} - \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ - &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\ - &= C + DU - UA - UBU + \dt U &= K + 0U(t) - U(t)0 - U(t)MU(t) \\ + &= K + U(t)MU(t), \end{split} \end{equation} -was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. -Wir sehen das sich die Dimension der Differentialgleichung reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. +eine Riccati-Matrix-Differentialgleichung. +Die Matrix $U(t)$ beschreibt, wie man die Impulse $P$ zur Zeit $t$ aus den Positionen $Q$ berechnen kann. +Die Berechnung der Position $Q$ zur Zeit $t$ aus den Anfangsbedingungen ermöglicht die Matrix $Q$. +Die Inverse $Q^{-1}$ rechnet dann von den aktuellen Auslenkungen zurück auf Auslenkungen zur Zeit $t=0$. +Die Matrix-Riccati-Differentialgleichung löst also das Problem die Impulse aus den Positionen zu berechnen, wenn man die Anfangsinpulsverteilung kennt. + +Durch die Beschränkung auf den Phasenwinkel wird die Dimension der Differentialgleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} reduziert, dabei aber gleichzeitig deren Grad erhöht. \subsection{Fazit} -Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. -Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können und wie dabei die Matrix-Riccati-Differentialgleichung in Erscheinung tritt. +Ausserdem haben wir gesehen, dass dabei die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index ef53adc..604a5ec 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -50,6 +50,8 @@ Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man da \subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-Differentialgleichung entsteht und wie sie gelöst werden kann. + +\subsubsection{Entstehung} Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung \begin{equation} \label{kra:equation:matrix-dgl} @@ -63,19 +65,77 @@ Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung A & B \\ C & D \end{pmatrix} - }_{\displaystyle{H}}, + }_{\displaystyle{H}} + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix} \end{equation} -mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogenannte Hamiltonsche-Matrix bilden. -Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$, welche in der sogenannten Hamiltonschen-Matrix $H$ zusammengefasst werden können. +Wir führen eine neue Grösse \[ U(t) = Y(t)X(t)^{-1} \] -und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-Differentialgleichung +ein, für dessen Ableitung $\dt U(t)$ wir mit \[ - \dot{U}(t) = C(t) + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t). + \dot{X}(t) = AX(t) + BY(t) \quad \text{und} \quad \dot{Y}(t) = CX(t) + DY(t) \] +folgendes Ergebnis erhalten +\begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} + \begin{split} + \dt U(t) &= \dot{Y}(t) X(t)^{-1} + Y(t) \dt X(t)^{-1} \\ + &= (CX(t) + DY(t)) X(t)^{-1} - Y(t) (X(t)^{-1} \dot{X}(t) X(t)^{-1}) \\ + &= C\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$} - Y(t)(X(t)^{-1} (AX(t) + BY(t)) X(t)^{-1}) \\ + &= C + DU(t) - \underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}(A\underbrace{X(t)X(t)^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{Y(t)X(t)^{-1}}_\text{$U(t)$}) \\ + &= C + DU(t) - U(t)A - U(t)BU(t). + \end{split} +\end{equation} +\begin{satz} + \label{kra:satz:riccati-matrix-dgl} + Die Ableitung $\dt U(t) = \dt (Y(t)X(t)^{-1})$ ist eine Matrix-Riccati-Differentialgleichung. +\end{satz} -Die Lösung erhalten wir dann mit +\subsubsection{Lösung} +Sei +\[ + V(t) + = + \begin{pmatrix} + X(t) \\ + Y(t) + \end{pmatrix}, + \quad + \dot{V}(t) = HV(t) +\] +eine Matrix-Differentialgleichung 1. Ordnung, dann ist +\[ + V(t) = e^{H(t)} V(0) +\] +eine Lösung. +Die Berechnung des Matrixexpontentials $e^{H(t)}$ kann mittels Diagonalisierung +\[ + H = Q \Lambda Q^{-1} +\] +effizient berechnet werden. +Es folgt dann, dass +\[ + e^{Ht} + = + Q + e^{\Lambda t} + Q^{-1} + = + Q + \begin{pmatrix} + e^{\lambda_1 t} & 0 & \dots & 0 \\ + 0 & e^{\lambda_2 t} & \ddots & \vdots \\ + \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ + 0 & \dots & 0 & e^{\lambda_n t} + \end{pmatrix} + Q^{-1} +\] +ist. Die Lösung der Matrix-Riccati-Differentialgleichung erhalten wir analog mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -108,4 +168,5 @@ Die Lösung erhalten wir dann mit \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist, +welche die Zeitentwicklung der einzelnen Lösungen beschreibt \cite{kra:kalmanisae}. |