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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex13
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index fa96eff..1bfdaef 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -409,7 +409,7 @@ eine neue Funktion
\end{cases}
\]
angenomen, welche $u(0, x)$ auf dem Intervall $[-l, l]$ periodisch fortsetzt.
-Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als
+Das Skalarodukt kann nun geschrieben werden als
\[
\begin{aligned}
\int_{-l}^{l}\hat{u}(0, x)\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx
@@ -428,7 +428,7 @@ Es kann nun das Skalarodukt geschrieben werden als
\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right]
\\
&+
- \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l} \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
+ \sum_{n = 1}^{\infty}\left[b_n\int_{-l}^{l}\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\cos\left(\frac{m \pi}{l}x\right)dx\right].
\end{aligned}
\]
@@ -457,22 +457,21 @@ Und mit dem Resultat \eqref{eq:slp-example-fourier-mu-solution}
\]
ergibt.
-% TODO: Rechenweg
-TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit Enden auf konstanter Temperatur}
\[
\begin{aligned}
u(t,x)
&=
- \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
+ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
\\
- a_{n}
+ b_{n}
&=
\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
\end{aligned}
\]
-TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
+\subsubsection{Lösung für einen Stab mit isolierten Enden}
\[
\begin{aligned}
u(t,x)