diff options
Diffstat (limited to '')
| -rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/images/wasserstoff_model.tex | 58 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/transformation.tex | 31 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex | 142 |
3 files changed, 0 insertions, 231 deletions
diff --git a/buch/papers/laguerre/images/wasserstoff_model.tex b/buch/papers/laguerre/images/wasserstoff_model.tex deleted file mode 100644 index fe838c3..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/images/wasserstoff_model.tex +++ /dev/null @@ -1,58 +0,0 @@ -\documentclass{standalone} - -\usepackage{pgfplots} -\usepackage{tikz-3dplot} - -\tdplotsetmaincoords{60}{115} -\pgfplotsset{compat=newest} - -\begin{document} - -\newcommand{\drawcircle}[4]{ -\shade[ball color=#3, opacity=#4] (#1) circle (#2 cm); -\tdplotsetrotatedcoords{0}{0}{0}; -\draw[dashed, tdplot_rotated_coords, #3!40!black] (#1) circle (#2); -} - -\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords, scale = 2] -\def\r{1.0} -\def\rp{0.2} -\def\rn{0.05} -\def\rvec{1.0} -\def\thetavec{45} -\def\phivec{60} - -\coordinate (O) at (0, 0, 0); -\tdplotsetcoord{P}{\rvec}{\thetavec}{\phivec} - -% Labels -\node[inner sep=1pt] at (0, -4.0*\rp, 1.0*\r) (plabel){Proton}; -\draw (plabel) -- (O); -\node[inner sep=1pt] at (-0.*\r, 1.0*\r, 1.3*\r) (elabel){Elektron}; -\draw (elabel) -- (P); -% Draw proton -\drawcircle{O}{\rp}{red}{1.0} - -% Draw spherical coordinates of electron -\draw (O) -- node[anchor=north west, yshift=4pt]{$r$} (P); -\draw[dashed] (O) -- (Pxy); -\draw[dashed] (P) -- (Pxy); -\tdplotdrawarc{(O)}{0.6}{0}{\phivec}{anchor=north}{$\varphi$} -\tdplotsetthetaplanecoords{\phivec} -\tdplotdrawarc[tdplot_rotated_coords]{(0,0,0)}{0.5}{0}% -{\thetavec}{anchor=south west, xshift=-2pt, yshift=-2pt}{$\vartheta$} - -% Draw electron -\drawcircle{P}{\rn}{blue}{1.0} - -% Draw surrounding sphere -\drawcircle{O}{\r}{gray}{0.3} - -% Draw cartesian coordinate system -\draw[-stealth, thick] (O) -- (1.8*\r,0,0) node[below left] {$x$}; -\draw[-stealth, thick] (O) -- (0,1.3*\r,0) node[below right] {$y$}; -\draw[-stealth, thick] (O) -- (0,0,1.3*\r) node[above] {$z$}; - -\end{tikzpicture} - -\end{document}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/transformation.tex b/buch/papers/laguerre/transformation.tex deleted file mode 100644 index 4de86b6..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/transformation.tex +++ /dev/null @@ -1,31 +0,0 @@ -% -% transformation.tex -% -% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule -% -\section{Laguerre Transformation -\label{laguerre:section:transformation}} -\begin{align} - L \left\{ f(x) \right\} - = - \tilde{f}_\alpha(n) - = - \int_0^\infty e^{-x} x^\alpha L_n^\alpha(x) f(x) dx - \label{laguerre:transformation} -\end{align} - -\begin{align} - L^{-1} \left\{ \tilde{f}_\alpha(n) \right\} - = - f(x) - = - \sum_{n=0}^{\infty} - \begin{pmatrix} - n + \alpha \\ - n - \end{pmatrix}^{-1} - \frac{1}{\Gamma(\alpha + 1)} - \tilde{f}_\alpha(n) - L_n^\alpha(x) - \label{laguerre:inverse_transformation} -\end{align}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex b/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex deleted file mode 100644 index 0da8be3..0000000 --- a/buch/papers/laguerre/wasserstoff.tex +++ /dev/null @@ -1,142 +0,0 @@ -% -% wasserstoff.tex -% -% (c) 2022 Patrik Müller, Ostschweizer Fachhochschule -% -\section{Radialer Schwingungsanteil eines Wasserstoffatoms -\label{laguerre:section:radial_h_atom}} - -Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton im Kern -mit Masse $M$ und Ladung $+e$. -Ein Elektron mit Masse $m$ und Ladung $-e$ umkreist das Proton -(vgl. Abbildung~\ref{laguerre:fig:wasserstoff_model}). -Für das folgende Model werden folgende Annahmen getroffen: - -\begin{figure} -\centering -\includegraphics{papers/laguerre/images/wasserstoff_model.pdf} -\caption{Skizze eines Wasserstoffatoms. -Kartesische, wie auch Kugelkoordinaten sind eingezeichnet. -} -\label{laguerre:fig:wasserstoff_model} -\end{figure} - -\begin{enumerate} -\item -Das Elektron wird als nicht-relativistisches Teilchen betrachtet, -das heisst, -relativistische Effekte sind vernachlässigbar. -\item -Der Spin des Elektrons und des Protons -und das damit verbundene magnetische Moment -wird vernachlässigt. -\item -Fluktuationen des Vakuums werden nicht berücksichtigt. -\item -Wechselwirkung zwischen Elektron und Proton -ist durch die Coulombwechselwirkung gegeben. -Somit entspricht die potentielle Energie der Coulombenergie $V_C(r)$ -und nimmt damit die folgende Form an -\begin{align} - V_C(r) - = - -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} - \text{ mit } - r - = - \lvert\vec{r}\rvert - = - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - . - \label{laguerre:coulombenergie} -\end{align} -Im Falle das der Kern einen endlichen Radius $r_0$ besitzt, -ist die $1/r$-Abhängigkeit in Gleichung \eqref{laguerre:coulombenergie} -als Näherung zu betrachten. -Diese Näherung darf nur angewendet werden, wenn die -Aufenthaltswahrscheinlicheit des Elektrons -innerhalb $r_0$ vernachlässigbar ist. -Für das Wasserstoffatom ist diese Näherung für alle Zustände gerechtfertigt. -\item -Da $M \gg m$, kann das Proton als in Ruhe angenommen werden. -\end{enumerate} - -\subsection{Herleitung zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung} -\label{laguerre:subsection:herleitung_schroedinger} -Das Problem ist kugelsymmetrisch, -darum transformieren wir das Problem in Kugelkoordinaten. -Somit gilt: - -\begin{align*} - r - & = - \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\\ - \vartheta - & = - \arccos\left(\frac{z}{r}\right)\\ - \varphi - & = - \arctan\left(\frac{y}{x}\right) -\end{align*} - -Die potentielle Energie $V_C(r)$ hat keine direkte Zeitabhängigkeit. -Daraus folgt, dass die konstant ist Gesamtenergie $E$ -und es existieren stationäre Zustände - -\begin{align} - \psi(r, \vartheta, \varphi, t) - = - u(r, \vartheta, \varphi) e^{-i E t / h}, -\end{align} -wobei $u(r, \vartheta, \varphi)$ -die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt. - -\begin{align} - -\frac{\hbar^2}{2m} \Delta u(r, \vartheta, \varphi) - + V_C(r) u(r, \vartheta, \varphi) - = - E u(r, \vartheta, \varphi) - \label{laguerre:schroedinger} -\end{align} - -Für Kugelkoordinaten hat der Laplace-Operator $\Delta$ die Form - -\begin{align} - \Delta - = - \frac{1}{r^2} \pdv{}{r} \left( r^2 \pdv{}{r} \right) - + \frac{1}{r^2 \sin\vartheta} \pdv{}{\vartheta} - \left(\sin\vartheta \pdv{}{\vartheta}\right) - + \frac{1}{r^2 \sin^2\vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} - \label{laguerre:laplace_kugel} -\end{align} - -Setzt man nun -\eqref{laguerre:coulombenergie} und \eqref{laguerre:laplace_kugel} -in \eqref{laguerre:schroedinger} ein, -erhält man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für Kugelkoordinaten - -\begin{align} -\nonumber -- \frac{\hbar^2}{2m} -& -\left( -\frac{1}{r^2} \pdv{}{r} -\left( r^2 \pdv{}{r} \right) -+ -\frac{1}{r^2 \sin \vartheta} \pdv{}{\vartheta} -\left( \sin \vartheta \pdv{}{\vartheta} \right) -+ -\frac{1}{r^2 \sin^2 \vartheta} \pdv[2]{}{\varphi} -\right) -u(r, \vartheta, \varphi) -\\ -& - -\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} u(r, \vartheta, \varphi) -= -E u(r, \vartheta, \varphi). -\label{laguerre:pdg_h_atom} -\end{align} - -\subsection{Separation der Schrödinger-Gleichung} -\label{laguerre:subsection:seperation_schroedinger} |