diff options
Diffstat (limited to '')
| -rw-r--r-- | buch/papers/nav/bsp2.tex | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/nav/einleitung.tex | 1 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/nav/flatearth.tex | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex | 4 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/nav/sincos.tex | 7 | ||||
| -rw-r--r-- | buch/papers/nav/trigo.tex | 28 |
6 files changed, 27 insertions, 19 deletions
diff --git a/buch/papers/nav/bsp2.tex b/buch/papers/nav/bsp2.tex index 8ca214f..8d9083b 100644 --- a/buch/papers/nav/bsp2.tex +++ b/buch/papers/nav/bsp2.tex @@ -7,7 +7,7 @@ Wir haben die Deklination, Rektaszension, Höhe der beiden Planeten Deneb und Ar Die Deklinationen und Rektaszensionen sind von einem vergangenen Datum und die Höhe der Gestirne und die Sternzeit wurden digital in einer Stadt in Japan mit den Koordinaten 35.716672 N, 140.233336 E bestimmt. Wir werden nachrechnen, dass wir mit unserer Methode genau auf diese Koordinaten kommen. \subsection{Vorgehen} -Unser vorgehen erschliesst sicht aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. +Unser Vorgehen erschliesst sich aus unserer Methode, die wir im Abschnitt \ref{p} theoretisch erklärt haben. \begin{compactenum} \item Koordinaten der Bildpunkte der Gestirne bestimmen @@ -199,7 +199,7 @@ l Damit wir gleich den Längengrad berechnen können, benötigen wir noch den Winkel $\omega$: \begin{align*} - \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_b)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ + \omega &= \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(h_B)-\cos(c) \cdot \cos(l)}{\sin(c) \cdot \sin(l)}\bigg] \\ &=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(42.572556^\circ)-\cos(70.936778^\circ) \cdot \cos(54.2833404^\circ)}{\sin(70.936778^\circ) \cdot \sin(54.2833404^\circ)}\bigg] \\ &= \underline{\underline{44.6687451^\circ}} \end{align*} diff --git a/buch/papers/nav/einleitung.tex b/buch/papers/nav/einleitung.tex index 8eb4481..c778d5c 100644 --- a/buch/papers/nav/einleitung.tex +++ b/buch/papers/nav/einleitung.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \section{Einleitung} +\rhead{Einleitung} Heutzutage ist die Navigation ein Teil des Lebens. Man sendet dem Kollegen seinen eigenen Standort, um sich das ewige Erklären zu sparen oder gibt die Adresse des Ziels ein, damit man seinen Aufenthaltsort zum Beispiel auf einer riesigen Wiese am See findet. Dies wird durch Technologien wie Funknavigation, welches ein auf Laufzeitmessung beruhendes Hyperbelverfahren mit Langwellen ist, oder die verbreitete Satellitennavigation, welche vier Satelliten für eine Messung zur Standortbestimmung nutzt. diff --git a/buch/papers/nav/flatearth.tex b/buch/papers/nav/flatearth.tex index d1d5a9b..9745cdc 100644 --- a/buch/papers/nav/flatearth.tex +++ b/buch/papers/nav/flatearth.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \section{Warum ist die Erde nicht flach?} - +\rhead{Warum ist die Erde nicht flach?} \begin{figure} \begin{center} \includegraphics[width=10cm]{papers/nav/bilder/projektion.png} diff --git a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex index 36674ee..32d1b8b 100644 --- a/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex +++ b/buch/papers/nav/nautischesdreieck.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section{Das Nautische Dreieck} +\rhead{Das nautische Dreieck} \subsection{Definition des Nautischen Dreiecks} Die Himmelskugel ist eine gedachte Kugel, welche die Erde und dessen Beobachter umgibt und als Rechenfläche für Koordinaten in der Astronomie und Geodäsie dient. Der Zenit ist jener Punkt, der vom Erdmittelpunkt durch denn eigenen Standort an die Himmelskugel verlängert wird. @@ -115,6 +116,7 @@ Auf diese Dreiecke können wir die einfachen Sätze der sphärischen Trigonometr \end{center} Mit unserem erlangten Wissen können wir nun alle Seiten des Dreiecks $ABC$ berechnen. +Dazu sind die folgenden vorbereiteten Berechnungen nötigt: \begin{enumerate} \item Die Seite vom Nordpol zum Bildpunkt $X$ sei $c$, dann ist $c = \frac{\pi}{2} - \delta_1$. @@ -141,7 +143,7 @@ können wir nun die dritte Seitenlänge bestimmen. Es ist darauf zu achten, dass hier natürlich die Seitenlängen in Bogenmass sind und dementsprechend der Kosinus und Sinus verwendet wird. Jetzt fehlen noch die beiden anderen Innenwinkel $\beta$ und\ $\gamma$. -Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}.\bigg]\] +Diese bestimmen wir mithilfe des Kosinussatzes: \[\beta=\cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(b)-\cos(a) \cdot \cos(c)}{\sin(a) \cdot \sin(c)}\bigg]\] und \[\gamma = \cos^{-1} \bigg[\frac{\cos(c)-\cos(b) \cdot \cos(a)}{\sin(a) \cdot \sin(b)}\bigg]\]. Schlussendlich haben wir die Seiten $a$, $b$ und $c$, die Ecken $A$,$B$ und $C$ und die Winkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ bestimmt und somit das ganze Kugeldreieck $ABC$ berechnet. diff --git a/buch/papers/nav/sincos.tex b/buch/papers/nav/sincos.tex index f82a057..b64d100 100644 --- a/buch/papers/nav/sincos.tex +++ b/buch/papers/nav/sincos.tex @@ -2,12 +2,13 @@ \section{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} +\rhead{Sphärische Navigation und Winkelfunktionen} Es gibt Hinweise, dass sich schon die Babylonier und Ägypter vor 4000 Jahren mit Problemen der sphärischen Trigonometrie beschäftigt haben, um den Lauf von Gestirnen zu berechnen. Jedoch konnten sie dieses Problem nicht lösen. -Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach,sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. +Die Geschichte der sphärischen Trigonometrie ist daher eng mit der Astronomie verknüpft. Ca. 350 BCE dachten die Griechen über Kugelgeometrie nach, sie wurde damit zu einer Hilfswissenschaft der Astronomen. -Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom names Hipparchos. -Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chord - Funktionen, auch Chord genannt, beinhalten. +Zwischen 190 v. Chr. und 120 v. Chr. lebte ein griechischer Astronom namens Hipparchos. +Dieser entwickelte unter anderem die Chordentafeln, welche die Chordfunktionen, auch Chord genannt, beinhalten. Chord ist der Vorgänger der Sinusfunktion und galt damals als wichtigste Grundlage der Trigonometrie. In dieser Zeit wurden auch die ersten Sternenkarten angefertigt. Damals kannte man die Sinusfunktionen noch nicht. diff --git a/buch/papers/nav/trigo.tex b/buch/papers/nav/trigo.tex index c96aaa5..483b612 100644 --- a/buch/papers/nav/trigo.tex +++ b/buch/papers/nav/trigo.tex @@ -1,5 +1,7 @@ \section{Sphärische Trigonometrie} +\rhead{Sphärische Trigonometrie} + \subsection{Das Kugeldreieck} Damit man die Definition des Kugeldreiecks versteht, müssen wir zuerst Begriffe wie Grosskreisebene und Grosskreisbögen verstehen. Ein Grosskreis ist ein grösstmöglicher Kreis auf einer Kugeloberfläche. @@ -14,7 +16,7 @@ Man kann bei Kugeldreiecken nicht so einfach unterscheiden, was Innen oder Ausse Wenn man drei Eckpunkte miteinander verbindet, ergeben sich immer 16 Kugeldreiecke. Werden drei voneinander verschiedene Punkte, die sich nicht auf derselben Grosskreisebene befinden, mit Grosskreisbögen verbunden werden, so entsteht ein Kugeldreieck $ABC$. -Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $2\pi$ aber grösser als 0 ist. +Für ein Kugeldreieck gilt, dass die Summe der drei Seiten kleiner als $3\pi$ aber grösser als 0 ist. $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskreisbögen zwischen den Eckpunkten (siehe Abbildung \ref{kugel}). \begin{figure} @@ -27,7 +29,7 @@ $A$, $B$ und $C$ sind die Ecken des Dreiecks und dessen Seiten sind die Grosskre \end{figure} \subsection{Rechtwinkliges Dreieck und rechtseitiges Dreieck} -In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. +In der sphärischen Trigonometrie gibt es eine Symmetrie zwischen Seiten und Winkeln, also zu jedem Satz über Seiten und Winkel gibt es einen entsprechenden Satz, mit dem man Winkel durch Seiten und Seiten durch Winkel ersetzt hat. Wie auch im ebenen Dreieck gibt es beim Kugeldreieck auch ein rechtwinkliges Kugeldreieck, bei dem ein Winkel $\frac{\pi}{2}$ ist. Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine Seitenlänge $\frac{\pi}{2}$ lang sein muss, wie man in der Abbildung \ref{recht} sehen kann. @@ -42,6 +44,7 @@ Ein rechtseitiges Dreieck gibt es jedoch nur beim Kugeldreieck, weil dort eine S \end{figure} \subsection{Winkelsumme und Flächeninhalt} +\label{trigo} %\begin{figure} ----- Brauche das Bild eigentlich nicht! % \begin{center} @@ -66,9 +69,9 @@ beschreibt die Abweichung der Innenwinkelsumme von $\pi$ und ist proportional zu \subsubsection{Flächeninnhalt} Mithilfe des Radius $r$ und dem sphärischen Exzess $\epsilon$ gilt für den Flächeninhalt -\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon\]. +\[ F=\frac{\pi \cdot r^2}{\frac{\pi}{2}} \cdot \epsilon = 2 \cdot r^2 \cdot \epsilon.\] -\cite{nav:winkel} +In diesem Kapitel sind keine Begründungen für die erhaltenen Resultate im Abschnitt \ref{trigo} zu erwarten und können in der Referenz \cite{nav:winkel} nachgeschlagen werden. \subsection{Seiten und Winkelberechnung} Es gibt in der sphärischen Trigonometrie eigentlich gar keinen Satz des Pythagoras, wie man ihn aus der zweidimensionalen Geometrie kennt. Es gibt aber einen Satz, der alle drei Seiten eines rechtwinkligen Kugeldreiecks in eine Beziehung bringt. Dieser Satz gilt jedoch nicht für das rechtseitige Kugeldreieck. @@ -76,7 +79,7 @@ Die Approximation im nächsten Abschnitt wird erklären, warum man dies als eine Es gilt nämlich: \begin{align} \cos c = \cos a \cdot \cos b \quad \text{wenn} \nonumber & - \quad \alpha = \frac{\pi}{2} \nonumber + \quad \alpha = \frac{\pi}{2}. \nonumber \end{align} \subsubsection{Approximation von kleinen Dreiecken} @@ -92,17 +95,18 @@ Es gibt ebenfalls folgende Approximierung der Seiten von der Sphäre in die Eben a &\approx \sin(a) \nonumber \intertext{und} \frac{a^2}{2} &\approx 1-\cos(a). \nonumber \end{align} -Die Korrespondenzen zwischen der ebenen- und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. +Die Korrespondenzen zwischen der ebenen und sphärischen Trigonometrie werden in den kommenden Abschnitten erläutert. \subsubsection{Sphärischer Satz des Pythagoras} -Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter Anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich +Die Korrespondenz \[ a^2 \approx 1- \cos(a)\] liefert unter anderem einen entsprechenden Satz des Pythagoras, nämlich \begin{align*} - \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c) \\ - \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2} \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + \cos(a)\cdot \cos(b) &= \cos(c), \\ + \bigg[1-\frac{a^2}{2}\bigg] \cdot \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg] &= 1-\frac{c^2}{2}. + \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} \xcancel{1}- \frac{a^2}{2} - \frac{b^2}{2} + \xcancel{\frac{a^2b^2}{4}}&= \xcancel{1}- \frac{c^2}{2} \\ -a^2-b^2 &=-c^2\\ - a^2+b^2&=c^2 + a^2+b^2&=c^2. \end{align*} Dies ist der wohlbekannte ebene Satz des Pythagoras. @@ -127,9 +131,9 @@ und den Winkelkosinussatz Analog gibt es auch beim Seitenkosinussatz eine Korrespondenz zu \[ a^2 \leftrightarrow 1-\cos(a),\] die den ebenen Kosinussatz herleiten lässt, nämlich \begin{align} \cos(a)&= \cos(b)\cdot \cos(c) + \sin(b) \cdot \sin(c)\cdot \cos(\alpha) \\ - 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha) \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen} + 1-\frac{a^2}{2} &= \bigg[1-\frac{b^2}{2}\bigg]\bigg[1-\frac{c^2}{2}\bigg]+bc\cdot\cos(\alpha). \intertext{Höhere Potenzen vernachlässigen:} \xcancel{1}-\frac{a^2}{2} &= \xcancel{1}-\frac{b^2}{2}-\frac{c^2}{2} \xcancel{+\frac{b^2c^2}{4}}+bc \cdot \cos(\alpha)\\ - a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha) + a^2&=b^2+c^2-2bc \cdot \cos(\alpha). \end{align} |