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diff --git a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex index 5bc2ead..cf57698 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/einleitung.tex @@ -1,37 +1,48 @@ \section{Einleitung} -Filter sind womöglich eines der wichtigsten Element in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik. +Filter sind womöglich eines der wichtigsten Elementen in der Signalverarbeitung und finden Anwendungen in der digitalen und analogen Elektrotechnik. Besonders hilfreich ist die Untergruppe der linearen Filter. Elektronische Schaltungen mit linearen Bauelementen wie Kondensatoren, Spulen und Widerständen führen immer zu linearen zeitinvarianten Systemen (LTI-System von englich \textit{time-invariant system}). Durch die Linearität werden beim das Filtern keine neuen Frequenzanteile erzeugt, was es erlaubt, einen Frequenzanteil eines Signals verzerrungsfrei herauszufiltern. %TODO review sentence Diese Eigenschaft macht es Sinnvoll, lineare Filter im Frequenzbereich zu beschreiben. -Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also eine Division von zwei Polynomen. -Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die analoge Frequenzeinheit. +Die Übertragungsfunktion eines linearen Filters im Frequenzbereich $H(\Omega)$ ist dabei immer eine rationale Funktion, also ein Quotient von zwei Polynomen. +Dabei ist $\Omega = 2 \pi f$ die Frequenzeinheit. Die Polynome haben dabei immer reelle oder komplex-konjugierte Nullstellen. -Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals über der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen. +Ein breit angewendeter Filtertyp ist das Tiefpassfilter, welches beabsichtigt alle Frequenzen eines Signals oberhalb der Grenzfrequenz $\Omega_p$ auszulöschen. Der Rest soll dabei unverändert passieren. -Ein solches Filter hat idealerweise eine Frequenzantwort +Aus dem Tiefpassifilter können dann durch Transformationen auch Hochpassfilter, Bandpassfilter und Bandsperren realisiert werden. +Ein solches Filter hat idealerweise die Frequenzantwort \begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} H(\Omega) = \begin{cases} 1 & \Omega < \Omega_p \\ 0 & \Omega < \Omega_p - \end{cases}. + \end{cases}, \end{equation} +wie dargestellt in Abbildung \ref{ellfilter:fig:lp} +\begin{figure} + \centering + \input{papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex} + \caption{Frequenzantwort eines Tiefpassfilters.} + \label{ellfilter:fig:lp} +\end{figure} Leider ist eine solche Funktion nicht als rationale Funktion darstellbar. Aus diesem Grund sind realisierbare Approximationen gesucht. -Jede Approximation wird einen kontinuierlichen übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen. +Jede Approximation wird einen kontinuierlichen Übergang zwischen Durchlassbereich und Sperrbereich aufweisen. Oft wird dabei der Faktor $1/\sqrt{2}$ als Schwelle zwischen den beiden Bereichen gewählt. Somit lassen sich lineare Tiefpassfilter mit folgender Funktion zusammenfassen: \begin{equation} \label{ellfilter:eq:h_omega} | H(\Omega)|^2 = \frac{1}{1 + \varepsilon_p^2 F_N^2(w)}, \quad w=\frac{\Omega}{\Omega_p}, \end{equation} -%TODO figure? wobei $F_N(w)$ eine rationale Funktion ist, $|F_N(w)| \leq 1 ~\forall~ |w| \leq 1$ erfüllt und für $|w| \geq 1$ möglichst schnell divergiert. Des weiteren müssen alle Nullstellen und Pole von $F_N$ auf der linken Halbebene liegen, damit das Filter implementierbar und stabil ist. -$N \in \mathbb{N} $ gibt dabei die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen, die zur Komplexitätsmilderung klein gehalten werden soll. -Eine einfache Funktion für $F_N$ ist das Polynom $w^N$. +$w$ ist die normalisierte Frequenz, die es erlaubt ein Filter unabhängig von der Grenzfrequenz zu beschrieben. +Bei $w=1$ hat das Filter eine Dämpfung von $1/(1+\varepsilon^2)$. +$N \in \mathbb{N} $ gibt die Ordnung des Filters vor, also die maximale Anzahl Pole oder Nullstellen. +Je hoher $N$ gewählt wird, desto steiler ist der Übergang in denn Sperrbereich. +Grössere $N$ sind erfordern jedoch aufwendigere Implementierungen und haben mehr Phasenverschiebung. +Eine einfache Funktion, die für $F_N$ eingesetzt werden kann, ist das Polynom $w^N$. Tatsächlich erhalten wir damit das Butterworth Filter, wie in Abbildung \ref{ellfilter:fig:butterworth} ersichtlich. \begin{figure} \centering @@ -46,10 +57,10 @@ Eine Reihe von rationalen Funktionen können für $F_N$ eingesetzt werden, um Ti w^N & \text{Butterworth} \\ T_N(w) & \text{Tschebyscheff, Typ 1} \\ [k_1 T_N (k^{-1} w^{-1})]^{-1} & \text{Tschebyscheff, Typ 2} \\ - R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch (Cauer)} \\ + R_N(w, \xi) & \text{Elliptisch} \\ \end{cases} \end{align} -Mit der Ausnahme vom Butterworth filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. +Mit der Ausnahme vom Butterworth-Filter sind alle Filter nach speziellen Funktionen benannt. Alle diese Filter sind optimal hinsichtlich einer Eigenschaft. Das Butterworth-Filter, zum Beispiel, ist maximal flach im Durchlassbereich. Das Tschebyscheff-1 Filter ist maximal steil für eine definierte Welligkeit im Durchlassbereich, währendem es im Sperrbereich monoton abfallend ist. diff --git a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex index 793fd6c..89a2d7a 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/elliptic.tex @@ -3,10 +3,10 @@ Kommen wir nun zum eigentlichen Teil dieses Papers, den elliptischen rationalen Funktionen \ref{ellfilter:bib:orfanidis} \begin{align} R_N(\xi, w) &= \cd \left(N~f_1(\xi)~\cd^{-1}(w, 1/\xi), f_2(\xi)\right) \label{ellfilter:eq:elliptic}\\ - &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1)\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ + &= \cd \left(N~\frac{K_1}{K}~\cd^{-1}(w, k), k_1\right) , \quad k= 1/\xi, k_1 = 1/f(\xi) \\ &= \cd \left(N~K_1~z , k_1 \right), \quad w= \cd(z K, k) \end{align} -Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tschebyschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. +Beim Betrachten dieser Definition, fällt die Ähnlichkeit zur trigonometrische Darstellung der Tsche\-byschef-Polynome \eqref{ellfilter:eq:chebychef_polynomials} auf. Anstelle vom Kosinus kommt hier die $\cd$-Funktion zum Einsatz. Die Ordnungszahl $N$ kommt auch als Faktor for. Zusätzlich werden noch zwei verschiedene elliptische Moduli $k$ und $k_1$ gebraucht. @@ -29,8 +29,9 @@ Die Idee des elliptischen Filter ist es, diese zwei Equirippel-Zonen abzufahren, \centering \input{papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex} \caption{ - $z_1$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. + $z_1=N\frac{K_1}{K}\cd^{-1}(w, k)$-Ebene der elliptischen rationalen Funktionen. Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. + Als Vereinfachung ist die Funktion nur für $w>0$ dargestellt. } \label{ellfilter:fig:cd2} \end{figure} @@ -39,7 +40,7 @@ Im Durchlassbereich werden wie beim Tschebyscheff-Filter die Nullstellen durchla Statt dass $z_1$ für alle $w>1$ in die imaginäre Richtung geht, bewegen wir uns im Sperrbereich wieder in reeller Richtung, wo Pole durchlaufen werden. Aus dieser Sicht kann der Sperrbereich vom Tschebyscheff-Filter als unendlich langer Übergangsbereich angesehen werden. % Falls es möglich ist diese Werte abzufahren im Stil der Tschebyscheff-Polynome, kann ein Filter gebaut werden, dass Equirippel-Verhalten im Durchlass- und Sperrbereich aufweist. -Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt ist der Übergangsbereich monoton steigend. +Da sich die Funktion im Übergangsbereich nur zur nächsten Reihe bewegt, ist der Übergangsbereich monoton steigend. Theoretisch könnte eine gleiches Durchlass- und Sperrbereichverhalten erreicht werden, wenn die Funktion auf eine andere Reihe ansteigen würde. Dies würde jedoch zu Oszillationen zwischen $1$ und $1/k$ im Übergangsbereich führen. Abbildung \ref{ellfilter:fig:elliptic_freq} zeigt eine elliptisch rationale Funktion und die Frequenzantwort des daraus resultierenden Filters. @@ -61,8 +62,8 @@ Zur Erinnerung, $K$ und $K^\prime$ sind durch elliptische Integrale definiert un \caption{Die Periodizitäten in realer und imaginärer Richtung in Abhängigkeit vom elliptischen Modul $k$.} \label{ellfilter:fig:kprime} \end{figure} -$K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander Gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:degree_eq} zeigt das Problem geometrisch auf, wobei zwei Punkte auf der Ortskurve gesucht sind. +$K$ und $K^\prime$ sind durch die Ortskurve $K + jK^\prime$ aneinander gebunden und benötigen den Zusatzfaktor $K_1/K$ in \eqref{ellfilter:eq:elliptic}, um die genanten Forderungen einzuhalten. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:degree_eq} zeigt das Problem geometrisch auf, wobei zwei Punkte $K+jK^\prime$ und $K_1+jK_1^\prime$ auf der Ortskurve gesucht sind. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/elliptic_transform2.tikz} @@ -87,10 +88,13 @@ Die Herleitung ist sehr umfassend und wird in \ref{ellfilter:bib:orfanidis} im D % \caption{Die Gradgleichung als geometrisches Problem.} % \end{figure} -\subsection{Darstellung als rationale Funktion} +\subsection{Schlussfolgerung} +Die elliptischen Filter können als direkte Erweiterung der Tschebyscheff-Filter verstanden werden. Bei den Tschebyscheff-Polynomen haben wir gesehen, dass die Trigonometrische Formel zu einfachen Polynomen umgewandelt werden kann. -Im Gegensatz zum $\cos^{-1}$ hat der $\cd^{-1}$ nicht nur Nullstellen sondern auch Pole. +Im elliptischen Fall entstehen so rationale Funktionen mit Nullstellen und auch Pole. Somit entstehen bei den elliptischen rationalen Funktionen, wie es der name auch deutet, rationale Funktionen, also ein Bruch von zwei Polynomen. -Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. +% Da Transformationen einer rationalen Funktionen mit Grundrechenarten, wie es in \eqref{ellfilter:eq:h_omega} der Fall ist, immer noch rationale Funktionen ergeben, stellt dies kein Problem für die Implementierung dar. + + diff --git a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex index 3940171..fae6b31 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/jacobi.tex @@ -13,7 +13,7 @@ Zum Beispiel gibt es analog zum Sinus den elliptischen $\sn(z, k)$. Im Gegensatz zum den trigonometrischen Funktionen haben die elliptischen Funktionen zwei parameter. Den \textit{elliptische Modul} $k$, der die Exzentrizität der Ellipse parametrisiert und das Winkelargument $z$. Im Kreis ist der Radius für alle Winkel konstant, bei Ellipsen ändert sich das. -Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbodenstrecke nicht linear zum Winkel verläuft. +Dies hat zur Folge, dass bei einer Ellipse die Kreisbogenlänge nicht linear zum Winkel verläuft. Darum kann hier nicht der gewohnte Winkel verwendet werden. Das Winkelargument $z$ kann durch das elliptische Integral erster Art \begin{equation} @@ -95,37 +95,40 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral = \sn(z, k) = - w + w. \end{equation} -\begin{equation} %TODO remove unnecessary equations - \phi - = - F^{-1}(z, k) - = - \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) - = - \sin^{-1} ( w ) -\end{equation} +% \begin{equation} %TODO remove unnecessary equations +% \phi +% = +% F^{-1}(z, k) +% = +% \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) +% = +% \sin^{-1} ( w ) +% \end{equation} -\begin{equation} - F(\phi, k) - = - z - = - F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k) - = - F( \sin^{-1} ( w ), k) -\end{equation} +% \begin{equation} +% F(\phi, k) +% = +% z +% = +% F( \sin^{-1} \big( \sn (z, k ) \big) , k) +% = +% F( \sin^{-1} ( w ), k) +% \end{equation} -\begin{equation} - \sn^{-1}(w, k) - = - F(\phi, k), - \quad - \phi = \sin^{-1}(w) -\end{equation} +% \begin{equation} +% \sn^{-1}(w, k) +% = +% F(\phi, k), +% \quad +% \phi = \sin^{-1}(w) +% \end{equation} +Beim Tschebyscheff-Filter konnten wir mit Betrachten des Arcuscosinus die Funktionalität erklären. +Für das Elliptische Filter machen wir die gleiche Betrachtung mit der $\sn^{-1}$-Funktion. +Der $\sn^{-1}$ ist durch das elliptische Integral \begin{align} \sn^{-1}(w, k) & = @@ -150,12 +153,22 @@ Mithilfe von $F^{-1}$ kann zum Beispiel $sn^{-1}$ mit dem Elliptischen integral } } \end{align} - +beschrieben. +Dazu betrachten wir wieder den Integranden +\begin{equation} + \frac{ + 1 + }{ + \sqrt{ + (1-t^2)(1-k^2 t^2) + } + }. +\end{equation} Beim $\cos^{-1}(x)$ haben wir gesehen, dass die analytische Fortsetzung bei $x < -1$ und $x > 1$ rechtwinklig in die Komplexen zahlen wandert. -Wenn man das gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. +Wenn man das Gleiche mit $\sn^{-1}(w, k)$ macht, erkennt man zwei interessante Stellen. Die erste ist die gleiche wie beim $\cos^{-1}(x)$ nämlich bei $t = \pm 1$. Der erste Term unter der Wurzel wird dann negativ, während der zweite noch positiv ist, da $k \leq 1$. -Ab diesem Punkt verläuft knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab. +Ab diesem Punkt knickt die Funktion in die imaginäre Richtung ab. Bei $t = 1/k$ ist auch der zweite Term negativ und die Funktion verläuft in die negative reelle Richtung. Abbildung \label{ellfilter:fig:sn} zeigt den Verlauf der Funktion in der komplexen Ebene. \begin{figure} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex index a139fc4..b11c25d 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex @@ -52,9 +52,14 @@ \end{scope} \node[zero] at (4,2) (n) {}; - \node[anchor=west] at (n.east) {Zero}; + \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle}; - \begin{scope}[yshift=-3cm] + \begin{scope}[yshift=-3.25cm] + + \draw[->, thick](0,0) -- node[anchor=center, fill=white]{$z = \cos^{-1}(w)$} (0,1); + + \end{scope} + \begin{scope}[yshift=-4cm] \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$}; diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex index c3f11bb..2cec75f 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex @@ -54,6 +54,23 @@ \end{scope} \node[zero] at (6.5,2) (n) {}; - \node[anchor=west] at (n.east) {Zero}; + \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle}; + + \begin{scope}[xshift=2.75cm, yshift=-2cm] + + \draw[gray, ->] (-5,0) -- (5,0) node[anchor=west]{$w$}; + + \draw[ultra thick, ->, blue] (-4, 0) -- (-2, 0); + \draw[ultra thick, ->, cyan] (-2, 0) -- (0, 0); + \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0); + \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (4, 0); + + \node[anchor=south] at (-4,0) {$-\infty$}; + \node[anchor=south] at (-2,0) {$-1$}; + \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + \node[anchor=south] at (4,0) {$\infty$}; + + \end{scope} \end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex index cc5852c..0cf2417 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd.tikz.tex @@ -67,9 +67,9 @@ \end{scope} \node[zero] at (4,3) (n) {}; - \node[anchor=west] at (n.east) {Zero}; + \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle}; \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {}; - \node[anchor=west] at (n.east) {Pole}; + \node[anchor=west] at (n.east) {Polstelle}; \begin{scope}[yshift=-4cm, xscale=0.75] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex index bba5789..d4187c4 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/cd2.tikz.tex @@ -76,4 +76,19 @@ \end{scope} + \begin{scope}[xshift=1cm , yshift=-3cm, xscale=0.75] + + \draw[gray, ->] (-1,0) -- (6,0) node[anchor=west]{$w$}; + + \draw[ultra thick, ->, darkgreen] (0, 0) -- (2, 0); + \draw[ultra thick, ->, orange] (2, 0) -- (3, 0); + \draw[ultra thick, ->, red] (3, 0) -- (5, 0); + + \node[anchor=south] at (0,0) {$0$}; + \node[anchor=south] at (2,0) {$1$}; + \node[anchor=south] at (3,0) {$1/k$}; + \node[anchor=south] at (5,0) {$\infty$}; + + \end{scope} + \end{tikzpicture}
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex index 05b59b9..769602a 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/filter.tikz.tex @@ -4,22 +4,28 @@ \tikzset{pole/.style={cross out, draw=black, minimum size=(0.15cm-\pgflinewidth), inner sep=0pt, outer sep=0pt}} - \begin{scope}[xscale=2, yscale=2] + \begin{scope}[xscale=3, yscale=2.5] - \fill[ gray!20] (0,0) rectangle (1,0.707); + \fill[darkgreen!15] (0,0) rectangle (1,1); + \node[darkgreen] at (0.5,0.5) {Durchlassbereich}; + \fill[orange!15] (1,0) rectangle (2.5,1); + \node[orange] at (1.75,0.5) {Sperrbereich}; - \draw[gray, ->] (0,-0.25) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$|H(\Omega)|$}; - \draw[gray, ->] (-0.25,0) -- (3,0) node[anchor=west]{$\Omega$}; + \draw[gray, ->] (0,0) -- (0,1.25) node[anchor=south]{$|H(\Omega)|$}; + \draw[gray, ->] (0,0) -- (2.75,0) node[anchor=west]{$\Omega$}; - \draw[fill = gray!20] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; + \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; + \draw[dashed] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; - \draw[fill = gray!20] (0,0.707) node[left] {$\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon^2}}$} -| (1,0) node[below] {$\Omega_p$}; + \node[left] at(0,1) {$1$}; - \begin{scope}[] - \draw[thick, domain=0:2.5, variable=\x, smooth, samples=200] plot - ({\x}, {sqrt(abs(1/ (1 + \x^10)))}); + \draw[red, thick] (0,1) -- (1,1) -- (1,0) -- (2.5,0); - \end{scope} + \node[anchor=north, red] at (0.5,1) {Ideal}; + + \draw[thick, domain=0:2.5, variable=\x, smooth, samples=200] plot + ({\x}, {sqrt(abs(1/ (1 + \x^10)))}); + \node[anchor=south] at (0.5,1) {Butterworth ($N=5$)}; \end{scope} diff --git a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex index c3df8d1..0546fda 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tikz/sn.tikz.tex @@ -70,9 +70,9 @@ \end{scope} \node[zero] at (4,3) (n) {}; - \node[anchor=west] at (n.east) {Zero}; + \node[anchor=west] at (n.east) {Nullstelle}; \node[pole, below=0.25cm of n] (n) {}; - \node[anchor=west] at (n.east) {Pole}; + \node[anchor=west] at (n.east) {Polstelle}; \begin{scope}[yshift=-4cm, xscale=0.75] diff --git a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex index 8a82c5f..639c87c 100644 --- a/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex +++ b/buch/papers/ellfilter/tschebyscheff.tex @@ -1,8 +1,8 @@ \section{Tschebyscheff-Filter} -Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwand ist mit dem elliptischen Filter. -Genauer ausgedrückt sind die Tschebyscheff-1 und -2 Filter Spezialfälle davon. -Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ für das Filter relevant sind: +Als Einstieg betrachten wir das Tschebyscheff-Filter, welches sehr verwandt ist mit dem elliptischen Filter. +Genauer ausgedrückt erhält man die Tschebyscheff-1 und -2 Filter bei Grenzwerten von Parametern beim elliptischen Filter. +Der Name des Filters deutet schon an, dass die Tschebyscheff-Polynome $T_N$ (siehe auch Kapitel \label{buch:polynome:section:tschebyscheff}) für das Filter relevant sind: \begin{align} T_{0}(x)&=1\\ T_{1}(x)&=x\\ @@ -27,7 +27,7 @@ Abbildung \ref{ellfilter:fig:chebychef_polynomials} zeigt einige Tschebyscheff-P Da der Kosinus begrenzt zwischen $-1$ und $1$ ist, sind auch die Tschebyscheff-Polynome begrenzt. Geht man aber über das Intervall $[-1, 1]$ hinaus, divergieren die Funktionen mit zunehmender Ordnung immer steiler gegen $\pm \infty$. Diese Eigenschaft ist sehr nützlich für ein Filter. -Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Voraussetzungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. +Wenn wir die Tschebyscheff-Polynome quadrieren, passen sie perfekt in die Forderungen für Filterfunktionen, wie es Abbildung \ref{ellfiter:fig:chebychef} demonstriert. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/python/F_N_chebychev.pgf} @@ -61,9 +61,9 @@ Die invertierte Funktion des Kosinus kann als bestimmtes Integral dargestellt we } } ~dz - + \frac{\pi}{2} + + \frac{\pi}{2}. \end{align} -Der Integrand oder auch die Ableitung +Der Integrand oder auch die Ableitung von $\cos^{-1}(x)$ \begin{equation} \frac{ -1 @@ -73,13 +73,13 @@ Der Integrand oder auch die Ableitung } } \end{equation} -bestimmt dabei die Richtung, in der die Funktion verläuft. +bestimmt dabei die Richtung, in welche die Funktion verläuft. Der reelle Arcuscosinus is bekanntlich nur für $|z| \leq 1$ definiert. Hier bleibt der Wert unter der Wurzel positiv und das Integral liefert reelle Werte. Doch wenn $|z|$ über 1 hinausgeht, wird der Term unter der Wurzel negativ. Durch die Quadratwurzel entstehen für den Integranden zwei rein komplexe Lösungen. Der Wert des Arcuscosinus verlässt also bei $z= \pm 1$ den reellen Zahlenstrahl und knickt in die komplexe Ebene ab. -Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den $\arccos$ in der komplexen Ebene. +Abbildung \ref{ellfilter:fig:arccos} zeigt den Arcuscosinus in der komplexen Ebene. \begin{figure} \centering \input{papers/ellfilter/tikz/arccos.tikz.tex} @@ -98,9 +98,12 @@ Somit passiert $\cos( N~\cos^{-1}(w))$ im Intervall $[-1, 1]$ $N$ Nullstellen, w \input{papers/ellfilter/tikz/arccos2.tikz.tex} \caption{ $z_1=N \cos^{-1}(w)$-Ebene der Tschebyscheff-Funktion. - Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w~\forall~[-\infty, \infty]$ für $N = 4$. - Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert. + Die eingefärbten Pfade sind Verläufe von $w\in(-\infty, \infty)$ für $N = 4$. + Je grösser die Ordnung $N$ gewählt wird, desto mehr Nullstellen werden passiert die zu Equirippel-Verhalten führen. + Die vertikalen Segmente der Funktion sorgen für das Ansteigen der Funktion gegen $\infty$ nach der Grenzfrequenz. + Die eingezeichneten Nullstellen sind vom zurücktransformierenden Kosinus. } \label{ellfilter:fig:arccos2} \end{figure} -Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. +Durch die spezielle Anordnung der Nullstellen hat die Funktion auf der reellen Achse Equirippel-Verhalten und ist dennoch ein Polynom, was sich perfekt für linear Filter eignet. +Equirippel bedeutet, dass alle lokalen Maxima der Betragsfunktion gleich gross sind. |