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diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex index 01a8d59..0996007 100644 --- a/buch/papers/parzyl/main.tex +++ b/buch/papers/parzyl/main.tex @@ -16,7 +16,6 @@ parabolischen Zyplinderkoordinatensystem genauer untersucht. \input{papers/parzyl/teil0.tex} \input{papers/parzyl/teil1.tex} \input{papers/parzyl/teil2.tex} -\input{papers/parzyl/teil3.tex} \printbibliography[heading=subbibliography] \end{refsection} diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex index 650428f..a77398d 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex @@ -68,7 +68,6 @@ und Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem. Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der Ebene gezogen werden. - Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$. Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei @@ -124,3 +123,103 @@ Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren mitgerechnet werden. \dots +\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion} +Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung +\begin{equation} + \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) +\end{equation} +im parabolischen Zylinderkoordinatensystem +\begin{equation} + \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) +\end{equation} +gelöst wird. +Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als +\begin{equation} + \nabla + = + \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left ( + \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} + + + \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} + \right ) + + + \frac{\partial^2}{\partial z^2}. +\end{equation} +Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten +\begin{equation} + \nabla f(\sigma, \tau, z) + = + \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} + \left ( + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2} + \right ) + + + \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2} + = + \lambda f(\sigma,\tau,z) +\end{equation} +Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird +\begin{equation} + f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) +\end{equation} +gesetzt. +Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen +\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1} + g''(\sigma) + - + \left ( + \lambda\sigma^2 + + + \mu + \right ) + g(\sigma) + = + 0, +\end{equation} +\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2} + h''(\tau) + - + \left ( + \lambda\tau^2 + - + \mu + \right ) + h(\tau) + = + 0 +\end{equation} +und +\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3} + i''(z) + + + \left ( + \lambda + + + \mu + \right ) + i(\tau) + = + 0 +\end{equation} +führt. +Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3} +\begin{equation} + i(z) + = + A\cos{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} + + + B\sin{ + \left ( + \sqrt{\lambda + \mu}z + \right )} +\end{equation} +ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. + + + diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex index 0364056..4e44bd6 100644 --- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex +++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex @@ -6,101 +6,3 @@ \section{Teil 3 \label{parzyl:section:teil3}} \rhead{Teil 3} -\subsection{Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem -\label{parzyl:subsection:malorum}} -Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung -\begin{equation} - \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z) -\end{equation} -im parabolischen Zylinderkoordinatensystem -\begin{equation} - \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z) -\end{equation} -gelöst wird. -Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als -\begin{equation} - \nabla - = - \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} - \left ( - \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} - + - \frac{\partial^2}{\partial \tau^2} - \right ) - + - \frac{\partial^2}{\partial z^2}. -\end{equation} -Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten -\begin{equation} - \nabla f(\sigma, \tau, z) - = - \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2} - \left ( - \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2} - + - \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2} - \right ) - + - \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2} - = - \lambda f(\sigma,\tau,z) -\end{equation} -Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird -\begin{equation} - f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z) -\end{equation} -gesetzt. -Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen -\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1} - g''(\sigma) - - - \left ( - \lambda\sigma^2 - + - \mu - \right ) - g(\sigma) - = - 0, -\end{equation} -\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2} - h''(\tau) - - - \left ( - \lambda\tau^2 - - - \mu - \right ) - h(\tau) - = - 0 -\end{equation} -und -\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3} - i''(z) - + - \left ( - \lambda - + - \mu - \right ) - i(\tau) - = - 0 -\end{equation} -führt. -Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3} -\begin{equation} - i(z) - = - A\cos{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} - + - B\sin{ - \left ( - \sqrt{\lambda + \mu}z - \right )} -\end{equation} -ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben. |