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-rw-r--r--buch/papers/parzyl/main.tex1
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil0.tex101
-rw-r--r--buch/papers/parzyl/teil3.tex98
3 files changed, 100 insertions, 100 deletions
diff --git a/buch/papers/parzyl/main.tex b/buch/papers/parzyl/main.tex
index 01a8d59..0996007 100644
--- a/buch/papers/parzyl/main.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/main.tex
@@ -16,7 +16,6 @@ parabolischen Zyplinderkoordinatensystem genauer untersucht.
\input{papers/parzyl/teil0.tex}
\input{papers/parzyl/teil1.tex}
\input{papers/parzyl/teil2.tex}
-\input{papers/parzyl/teil3.tex}
\printbibliography[heading=subbibliography]
\end{refsection}
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil0.tex b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
index 650428f..a77398d 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil0.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil0.tex
@@ -68,7 +68,6 @@ und
Abbildung \ref{parzyl:fig:cordinates} zeigt das Parabolische Koordinatensystem.
Das parabolische Zylinderkoordinatensystem entsteht wenn die Parabeln aus der
Ebene gezogen werden.
-
Um in diesem Koordinatensystem integrieren und differenzieren zu
können braucht es die Skalierungsfaktoren $h_{\tau}$, $h_{\sigma}$ und $h_{z}$.
Der Skalierungsfaktor braucht es, damit die Distanzen zwischen zwei
@@ -124,3 +123,103 @@ Möchte man eine Differentialgleichung im parabolischen
Zylinderkoordinatensystem lösen müssen die Skalierungsfaktoren
mitgerechnet werden.
\dots
+\subsection{Lösung der Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderfunktion}
+Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
+\begin{equation}
+ \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z)
+\end{equation}
+im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
+\begin{equation}
+ \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+gelöst wird.
+Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
+\begin{equation}
+ \nabla
+ =
+ \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+ \left (
+ \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}
+ +
+ \frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
+ \right )
+ +
+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
+\end{equation}
+Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
+\begin{equation}
+ \nabla f(\sigma, \tau, z)
+ =
+ \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
+ \left (
+ \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2}
+ +
+ \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
+ \right )
+ +
+ \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
+ =
+ \lambda f(\sigma,\tau,z)
+\end{equation}
+Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird
+\begin{equation}
+ f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
+\end{equation}
+gesetzt.
+Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
+ g''(\sigma)
+ -
+ \left (
+ \lambda\sigma^2
+ +
+ \mu
+ \right )
+ g(\sigma)
+ =
+ 0,
+\end{equation}
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
+ h''(\tau)
+ -
+ \left (
+ \lambda\tau^2
+ -
+ \mu
+ \right )
+ h(\tau)
+ =
+ 0
+\end{equation}
+und
+\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
+ i''(z)
+ +
+ \left (
+ \lambda
+ +
+ \mu
+ \right )
+ i(\tau)
+ =
+ 0
+\end{equation}
+führt.
+Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
+\begin{equation}
+ i(z)
+ =
+ A\cos{
+ \left (
+ \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \right )}
+ +
+ B\sin{
+ \left (
+ \sqrt{\lambda + \mu}z
+ \right )}
+\end{equation}
+ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.
+
+
+
diff --git a/buch/papers/parzyl/teil3.tex b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
index 0364056..4e44bd6 100644
--- a/buch/papers/parzyl/teil3.tex
+++ b/buch/papers/parzyl/teil3.tex
@@ -6,101 +6,3 @@
\section{Teil 3
\label{parzyl:section:teil3}}
\rhead{Teil 3}
-\subsection{Helmholtz Gleichung im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
-\label{parzyl:subsection:malorum}}
-Die Differentialgleichungen, welche zu den parabolischen Zylinderfunktionen führen tauchen, wie bereits erwähnt, dann auf, wenn die Helmholtz Gleichung
-\begin{equation}
- \Delta f(x,y,z) = \lambda f(x,y,z)
-\end{equation}
-im parabolischen Zylinderkoordinatensystem
-\begin{equation}
- \Delta f(\sigma,\tau,z) = \lambda f(\sigma,\tau,z)
-\end{equation}
-gelöst wird.
-Wobei der Laplace Operator $\Delta$ im parabolischen Zylinderkoordinatensystem gegeben ist als
-\begin{equation}
- \nabla
- =
- \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
- \left (
- \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}
- +
- \frac{\partial^2}{\partial \tau^2}
- \right )
- +
- \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
-\end{equation}
-Die Helmholtz Gleichung würde also wie folgt lauten
-\begin{equation}
- \nabla f(\sigma, \tau, z)
- =
- \frac{1}{\sigma^2 + \tau^2}
- \left (
- \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \sigma^2}
- +
- \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial \tau^2}
- \right )
- +
- \frac{\partial^2 f(\sigma,\tau,z)}{\partial z^2}
- =
- \lambda f(\sigma,\tau,z)
-\end{equation}
-Diese partielle Differentialgleichung kann mit Hilfe von Separation gelöst werden, dazu wird
-\begin{equation}
- f(\sigma,\tau,z) = g(\sigma)h(\tau)i(z)
-\end{equation}
-gesetzt.
-Was dann schlussendlich zu den Differentialgleichungen
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_1}
- g''(\sigma)
- -
- \left (
- \lambda\sigma^2
- +
- \mu
- \right )
- g(\sigma)
- =
- 0,
-\end{equation}
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_2}
- h''(\tau)
- -
- \left (
- \lambda\tau^2
- -
- \mu
- \right )
- h(\tau)
- =
- 0
-\end{equation}
-und
-\begin{equation}\label{parzyl_sep_dgl_3}
- i''(z)
- +
- \left (
- \lambda
- +
- \mu
- \right )
- i(\tau)
- =
- 0
-\end{equation}
-führt.
-Wobei die Lösung von \ref{parzyl_sep_dgl_3}
-\begin{equation}
- i(z)
- =
- A\cos{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
- \right )}
- +
- B\sin{
- \left (
- \sqrt{\lambda + \mu}z
- \right )}
-\end{equation}
-ist und \ref{parzyl_sep_dgl_1} und \ref{parzyl_sep_dgl_2} die sogenannten Weberschen Differentialgleichungen sind, welche die parabolischen Zylinder Funktionen als Lösung haben.