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-rw-r--r--buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex106
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diff --git a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
index 7310186..0c9dd8e 100644
--- a/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
+++ b/buch/papers/sturmliouville/waermeleitung_beispiel.tex
@@ -1,6 +1,5 @@
%
% waermeleitung_beispiel.tex -- Beispiel Wärmeleitung in homogenem Stab.
-%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Erster Entwurf %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
% (c) 2020 Prof Dr Andreas Müller, Hochschule Rapperswil
%
@@ -14,10 +13,10 @@ physikalischen Phänomenes auftritt.
Zunächst wird ein eindimensionaler homogener Stab der Länge $l$ und
Wärmeleitkoeffizient $\kappa$. Somit ergibt sich für das Wärmeleitungsproblem
die partielle Differentialgleichung
-\[
+\begin{equation}
\frac{\partial u}{\partial t} =
\kappa \frac{\partial^{2}u}{{\partial x}^{2}}
-\]
+\end{equation}
wobei der Stab in diesem Fall auf der X-Achse im Intervall $[0,l]$ liegt.
Da diese Differentialgleichung das Problem allgemein für einen homogenen
@@ -32,13 +31,13 @@ Tempreatur gehalten werden.
Die Enden des Stabes auf konstanter Temperatur zu halten bedeutet, dass die
Lösungsfunktion $u(t,x)$ bei $x = 0$ und $x = l$ nur die vorgegebene
Temperatur zurückgeben darf. Es folgen nun
-\[
+\begin{equation}
u(t,0)
=
u(t,l)
=
0
-\]
+\end{equation}
als Randbedingungen.
%%%%%%%%%%%%% Randbedingungen für Stab mit isolierten Enden %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -54,13 +53,13 @@ Temperatur fliesst. Um Wärmefluss zu unterdrücken, muss also dafür gesorgt
werden, dass am Rand des Stabes keine Temperaturdifferenz existiert oder
dass die partiellen Ableitungen von $u(t,x)$ nach $x$ bei $x = 0$ und $x = l$
verschwinden. Somit folgen
-\[
+\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x} u(t, 0)
=
\frac{\partial}{\partial x} u(t, l)
=
0
-\]
+\end{equation}
als Randbedingungen.
%%%%%%%%%%% Lösung der Differenzialgleichung %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
@@ -72,41 +71,40 @@ als Randbedingungen.
Da die Lösungsfunktion von zwei Variablen abhängig ist, wird als Lösungsansatz
die Separationsmethode verwendet. Dazu wird
-\[
+\begin{equation}
u(t,x)
=
T(t)X(x)
-\]
+\end{equation}
in die ursprüngliche Differenzialgleichung eingesetzt. Daraus ergibt sich
-\[
+\begin{equation}
T^{\prime}(t)X(x)
=
\kappa T(t)X^{\prime \prime}(x)
-\]
+\end{equation}
als neue Form.
Nun können alle von $t$ abhängigen Ausdrücke auf die linke Seite, sowie alle
von $x$ abhängigen Ausdrücke auf die rechte Seite gebracht werden und mittels
der neuen Variablen $\mu$ gekoppelt werden:
-\[
+\begin{equation}
\frac{T^{\prime}(t)}{\kappa T(t)}
=
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}
=
\mu
-\]
+\end{equation}
Durch die Einführung von $\mu$ kann das Problem nun in zwei separate
Differenzialgleichungen aufgeteilt werden:
-\[
+\begin{equation}
T^{\prime}(t) - \kappa \mu T(t)
- =
+ &=
0
-\]
-\[
+ \\
X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
- =
+ &=
0
-\]
+\end{equation}
Es ist an dieser Stelle zu bemerken, dass die Gleichung in $x$ in
Sturm-Liouville-Form ist. Erfüllen die Randbedingungen des Stab-Problems auch
@@ -116,108 +114,104 @@ werden.
Widmen wir uns zunächst der ersten Gleichung. Diese Lösen wir über das
charakteristische Polynom
-\[
+\begin{equation}
\lambda - \kappa \mu
=
0.
-\]
+\end{equation}
Es ist direkt ersichtlich, dass $\lambda = \kappa \mu$ gelten muss, was zur
Lösung
-\[
+\begin{equation}
T(t)
=
e^{\kappa \mu t}
-\]
+\end{equation}
führt.
Etwas aufwändiger wird es, die zweite Gleichung zu lösen. Aufgrund der Struktur
der Gleichung
-\[
+\begin{equation}
X^{\prime \prime}(x) - \mu X(x)
=
0
-\]
+\end{equation}
wird ein trigonometrischer Ansatz gewählt. Die Lösungen für $X(x)$ sind also
von der Form
-\[
+\begin{equation}
X(x)
=
A \sin \left( \alpha x\right) + B \cos \left( \beta x\right).
-\]
+\end{equation}
Dieser Ansatz wird nun solange differenziert, bis alle in Gleichung (TODO: ref)
enthaltenen Ableitungen vorhanden sind. Man erhält also
-\[
+\begin{equation}
X^{\prime}(x)
=
A \alpha \cos \left( \alpha x \right) -
B \beta \sin \left( \beta x \right)
-\]
+\end{equation}
und
-\[
+\begin{equation}
X^{\prime \prime}(x)
=
-A \alpha^{2} \sin \left( \alpha x \right) -
B \beta^{2} \cos \left( \beta x \right).
-\]
+\end{equation}
Eingesetzt in Gleichung (TDOD: ref) ergibt dies
-\[
+\begin{equation}
-A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x) -
\mu\left(A\sin(\alpha x) + B\cos(\beta x)\right)
=
0
-\]
+\end{equation}
und durch umformen somit
-\[
+\begin{equation}
-A\alpha^{2}\sin(\alpha x) - B\beta^{2}\cos(\beta x)
=
\mu A\sin(\alpha x) + \mu B\cos(\beta x).
-\]
+\end{equation}
Durch Koeffizientenvergleich von
-\[
+\begin{equation}
-A\alpha^{2}\sin(\alpha x)
- =
+ &=
\mu A\sin(\alpha x)
-\]
-\[
+ \\
-B\beta^{2}\cos(\beta x)
- =
+ &=
\mu B\cos(\beta x)
-\]
+\end{equation}
ist schnell ersichtlich, dass $ \mu = -\alpha^{2} = -\beta^{2} $ gelten muss für
$ A \neq 0 $ und $ B \neq 0 $. Zur Berechnung von $ \mu $ bleiben also noch
$ \alpha $ und $ \beta $ zu bestimmen.
% TODO: Rechenweg
TODO: Rechenweg... Enden auf konstanter Temperatur:
-\[
+\begin{equation}
u(t,x)
- =
+ &=
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
\sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-\]
-\[
+ \\
a_{n}
- =
+ &=
\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
-\]
+\end{equation}
TODO: Rechenweg... Enden isoliert:
-\[
+\begin{equation}
u(t,x)
- =
+ &=
a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}e^{-\frac{n^{2}\pi^{2}\kappa}{l^{2}}t}
\cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right)
-\]
-\[
+ \\
a_{0}
- =
+ &=
\frac{1}{l}\int_{0}^{l}u(0,x) dx
-\]
-\[
+ \\
a_{n}
- =
+ &=
\frac{2}{l}\int_{0}^{l}u(0,x)sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) dx
-\]
+\end{equation}