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diff --git a/buch/papers/kra/anwendung.tex b/buch/papers/kra/anwendung.tex index 6383984..704de43 100644 --- a/buch/papers/kra/anwendung.tex +++ b/buch/papers/kra/anwendung.tex @@ -2,23 +2,25 @@ \rhead{Anwendung} \newcommand{\dt}[0]{\frac{d}{dt}} -Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalmanfilter. -Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. +Die Matrix-Riccati Differentialgleichung findet unter anderem Anwendung in der Regelungstechnik beim RQ- und RQG-Regler oder aber auch beim Kalman-Filter. +Im folgenden Abschnitt möchten wir uns an einem Beispiel anschauen wie wir mit Hilfe der Matrix-Riccati-Differentialgleichung (\ref{kra:equation:matrixriccati}) ein Feder-Masse-System untersuchen können \cite{kra:riccati}. \subsection{Feder-Masse-System} -Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}. -Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$ ,welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. +\label{kra:subsection:feder-masse-system} +Die einfachste Form eines Feder-Masse-Systems ist dargestellt in Abbildung~\ref{kra:fig:simple_mass_spring}. +Es besteht aus einer reibungsfrei gelagerten Masse $m$, welche an eine Feder mit der Federkonstante $k$ gekoppelt ist. Die im System wirkenden Kräfte teilen sich auf in die auf dem hookeschen Gesetz basierenden Rückstellkraft $F_R = k \Delta_x$ und der auf dem Aktionsprinzip basierenden Kraft $F_a = am = \ddot{x} m$. Das Kräftegleichgewicht fordert $F_R = F_a$ woraus folgt, dass \begin{equation*} - k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m} + k \Delta_x = \ddot{x} m \Leftrightarrow \ddot{x} = \frac{k \Delta_x}{m}. \end{equation*} Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingung \begin{equation} - x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} + x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi), \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}. \end{equation} \begin{figure} + \centering % move image to standalone because the physics package is % incompatible with underbrace \includegraphics{papers/kra/images/simple.pdf} @@ -27,38 +29,40 @@ Die Funktion die diese Differentialgleichung löst, ist die harmonische Schwingu \label{kra:fig:simple_mass_spring} \end{figure} \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/multi_mass_spring.tex} \caption{Feder-Masse-System mit zwei Massen und drei Federn.} \label{kra:fig:multi_mass_spring} \end{figure} \subsection{Hamilton-Funktion} +\label{kra:subsection:hamilton-funktion} Die Bewegung der Masse $m$ kann mit Hilfe der hamiltonschen Mechanik im Phasenraum untersucht werden. Die hamiltonschen Gleichungen verwenden dafür die verallgemeinerten Ortskoordinaten $q = (q_{1}, q_{2}, ..., q_{n})$ und die verallgemeinerten Impulskoordinaten $p = (p_{1}, p_{2}, ..., p_{n})$, wobei der Impuls definiert ist als $p_k = m_k \cdot v_k$. -Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamitlon-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. +Liegen keine zeitabhängigen Zwangsbedingungen vor, so entspricht die Hamilton-Funktion der Gesamtenergie des Systems \cite{kra:hamilton}. Im Falle des einfachen Feder-Masse-Systems, Abbildung \ref{kra:fig:simple_mass_spring}, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. \begin{equation} - \label{kra:harmonischer_oszillator} + \label{kra:equation:harmonischer_oszillator} \begin{split} - \mathcal{H}(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ - &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{E_{kin}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{E_{pot}} + H(q, p) &= T(p) + V(q) = E \\ + &= \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\displaystyle{E_{kin}}} + \underbrace{\frac{k q^2}{2}}_{\displaystyle{E_{pot}}} \end{split} \end{equation} Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen liefern \cite{kra:kanonischegleichungen} \begin{equation} - \label{kra:hamilton:bewegungsgleichung} - \dot{q_{k}} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} + \label{kra:equation:bewegungsgleichung} + \dot{q_{k}} = \frac{\partial H}{\partial p_k} \qquad - \dot{p_{k}} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} + \dot{p_{k}} = -\frac{\partial H}{\partial q_k}, \end{equation} daraus folgt \[ \dot{q} = \frac{p}{m} \qquad - \dot{p} = -kq + \dot{p} = -kq. \] -in Matrixschreibweise erhalten wir also +In Matrixschreibweise erhalten wir also \[ \begin{pmatrix} \dot{q} \\ @@ -73,10 +77,11 @@ in Matrixschreibweise erhalten wir also q \\ p \end{pmatrix} + . \] Für das erweiterte Federmassesystem, Abbildung \ref{kra:fig:multi_mass_spring}, können wir analog vorgehen. Die kinetische Energie setzt sich nun aus den kinetischen Energien der einzelnen Massen $m_1$ und $m_2$ zusammen. -Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. +Die potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der einzelnen Federn mit den Federkonstanten $k_1$, $k_c$ und $k_2$. \begin{align*} \begin{split} T &= T_1 + T_2 \\ @@ -85,19 +90,19 @@ Die Potentielle Energie erhalten wir aus der Summe der kinetischen Energien der \\ \begin{split} V &= V_1 + V_c + V_2 \\ - &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} + &= \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2}. \end{split} \end{align*} Die Hamilton-Funktion ist also \begin{align*} \begin{split} - \mathcal{H} &= T + V \\ + H &= T + V \\ &= \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2} + \frac{k_1 q_1^2}{2} + \frac{k_c (q_2 - q_1)^2}{2} + \frac{k_2 q_2^2}{2} \end{split} \end{align*} -Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern +Die Bewegungsgleichungen \eqref{kra:equation:bewegungsgleichung} liefern \begin{align*} - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial p_k} & = \dot{q_k} + \frac{\partial H}{\partial p_k} & = \dot{q_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} @@ -106,18 +111,18 @@ Die Bewegungsgleichungen \ref{kra:hamilton:bewegungsgleichung} liefern \end{alignedat} \right. \\ - -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_k} & = \dot{p_k} + -\frac{\partial H}{\partial q_k} & = \dot{p_k} \Rightarrow \left\{ \begin{alignedat}{2} \dot{p_1} &= -(\frac{2k_1q_1}{2} - \frac{2k_c(q_2-q_1)}{2}) &&= -q_1(k_1+k_c) + q_2k_c \\ - \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2) + \dot{p_1} &= -(\frac{2k_c(q_2-q_1)}{2} - \frac{2k_2q_2}{2}) &&= q_1k_c - (k_c + k_2). \end{alignedat} \right. \end{align*} In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{equation} - \label{kra:hamilton:multispringmass} + \label{kra:equation:hamilton-multispringmass} \begin{pmatrix} \dot{q_1} \\ \dot{q_2} \\ @@ -153,30 +158,38 @@ In Matrixschreibweise erhalten wir \begin{pmatrix} Q \\ P \\ - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} \subsection{Phasenraum} -Der Phasenraum erlaubt die eindeutige Beschreibung aller möglichen Bewegungszustände eines mechanischen Systems durch einen Punkt. +\subsubsection{Motivation} +Die Beschreibung eines klassischen physikalischen Systems führt in der Newtonschen-Mechanik, wie wir in \ref{kra:subsection:feder-masse-system} gesehen haben, auf eine DGL 2. Ordung der Dimension $n$. +Zur Betrachung des Systems verwenden wir dabei den Konfigurationsraum, ein Raum $\mathbb{R}^n$, bei dem ein einziger Punkt die Position aller $n$ Teilchen festlegt. +Der Nachteil des Konfigurationsraums ist dabei, dass dieser nur die Positionen der Teilchen widerspiegelt. +Um den Zustand eines Systems vollständig zu beschreiben, muss man aber nicht nur wissen wo sich die Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt befinden, sondern auch wie sie sich bewegen. + +Im Gegensatz dazu führt die Beschreibung des Systems mit Hilfe der Hamilton-Mechanik \ref{kra:subsection:hamilton-funktion}, auf eine DGL 1. Ordnung der Dimension $2n$. +Die Betrachtung erfolgt im einem Raum $\mathbb{R}^{2n}$, bei dem ein einzelner Punkt den Bewegungszustand vollständig beschreibt, dem sogennanten Phasenraum. Die Phasenraumdarstellung eignet sich somit sehr gut für die systematische Untersuchung der Feder-Masse-Systeme. \subsubsection{Harmonischer Oszillator} -Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \ref{kra:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form +Die Hamiltonfunktion des harmonischen Oszillators \eqref{kra:equation:harmonischer_oszillator} führt auf eine Lösung der Form \begin{equation*} - q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi) + q(t) = A \cos(\omega_0 T + \Phi), \quad p(t) = -m \omega_0 A \sin(\omega_0 t + \Phi), \end{equation*} die Phasenraumtrajektorien bilden also Ellipsen mit Zentrum $q=0, p=0$ und Halbachsen $A$ und $m \omega A$. -Abbildung \ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. +Abbildung~\ref{kra:fig:phasenraum} zeigt Phasenraumtrajektorien mit den Energien $E_{x \in \{A, B, C, D\}}$ und verschiedenen Werten von $\omega$. \begin{figure} + \centering \input{papers/kra/images/phase_space.tex} \caption{Phasenraumdarstellung des einfachen Feder-Masse-Systems.} \label{kra:fig:phasenraum} \end{figure} \subsubsection{Erweitertes Feder-Masse-System} -Wir intressieren uns nun dafür wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, +Wir interessieren uns nun dafür, wie der Phasenwinkel $U = PQ^{-1}$ von der Zeit abhängt, wir suchen also die Grösse $\Theta = \dt U$. -Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir +Ersetzten wir in der Gleichung \eqref{kra:equation:hamilton-multispringmass} die Matrix $G$ mit $\tilde{G}$ so erhalten wir \begin{equation} \dt \begin{pmatrix} @@ -189,27 +202,30 @@ Ersetzten wir in der Gleichung \ref{kra:hamilton:multispringmass} die Matrix $G$ A & B \\ C & D \end{pmatrix} - }_{\tilde{G}} + }_{\displaystyle{\tilde{G}}} \begin{pmatrix} Q \\ P - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} -Mit einsetzten folgt +Ausgeschrieben folgt \begin{align*} \dot{Q} = AQ + BP \\ \dot{P} = CQ + DP \end{align*} \begin{equation} + \label{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} \begin{split} \dt U &= \dot{P} Q^{-1} + P \dt Q^{-1} \\ &= (CQ + DP) Q^{-1} - P (Q^{-1} \dot{Q} Q^{-1}) \\ - &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ - &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{I} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{U}) \\ + &= C\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + D\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$} - P(Q^{-1} (AQ + BP) Q^{-1}) \\ + &= C + DU - \underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}(A\underbrace{QQ^{-1}}_\text{$I$} + B\underbrace{PQ^{-1}}_\text{$U$}) \\ &= C + DU - UA - UBU \end{split} \end{equation} -was uns auf die Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} führt. +was uns direkt auf die Matrix-Riccati Gleichung \eqref{kra:equation:matrixriccati} führt. +Wir sehen das sich die Dimension der DGL reduziert, dabei aber gleichzeitig der Grad erhöht. -% @TODO Einfluss auf anfangsbedingungen, plots? -% @TODO Fazit ? +\subsection{Fazit} +Wir haben gezeigt wie wir ein Federmassesystem mit Hilfe der Hamilton-Funktion Beschreiben und im Phasenraum untersuchen können. +Ausserdem haben wir gesehen, dass sich bei der Entstehung der Riccati-Gleichung \eqref{kra:equation:feder-masse-riccati-matrix} die Dimension auf Kosten des Grades reduziert wird.
\ No newline at end of file diff --git a/buch/papers/kra/einleitung.tex b/buch/papers/kra/einleitung.tex index cde2e66..0503742 100644 --- a/buch/papers/kra/einleitung.tex +++ b/buch/papers/kra/einleitung.tex @@ -11,4 +11,4 @@ Als Riccati Gleichung werden auch Matrixgleichungen der Form \label{kra:equation:matrixriccati} \dot{X}(t) = C + DX(t) - X(t)A -X(t)BX(t) \end{equation} -bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:ethz} \cite{kra:riccati}. +bezeichnet, welche aufgrund ihres quadratischen Terms eine gewisse Ähnlichkeit aufweisen \cite{kra:riccati} \cite{kra:ethz}. diff --git a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex index f255cc8..f31db4c 100644 --- a/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex +++ b/buch/papers/kra/images/multi_mass_spring.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \tikzstyle{mass}=[line width=0.6,red!30!black,fill=red!40!black!10,rounded corners=1,top color=red!40!black!20,bottom color=red!40!black!10,shading angle=20] \tikzstyle{spring}=[line width=0.8,blue!7!black!80,snake=coil,segment amplitude=5,line cap=round] -\begin{tikzpicture}[scale=2] +\begin{tikzpicture}[scale=2, >=latex] \newcommand{\ticks}[3] { % x, y coordinates diff --git a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex index cd51ea4..be445ca 100644 --- a/buch/papers/kra/images/phase_space.tex +++ b/buch/papers/kra/images/phase_space.tex @@ -8,7 +8,7 @@ } } -\begin{tikzpicture}[scale=0.6] +\begin{tikzpicture}[scale=0.6, >=latex] % p(t=0) = 0, q(t=0) = A, max(p) = mwA \tikzmath{ \axh = 5.2; diff --git a/buch/papers/kra/loesung.tex b/buch/papers/kra/loesung.tex index 4e0da1c..18ac853 100644 --- a/buch/papers/kra/loesung.tex +++ b/buch/papers/kra/loesung.tex @@ -7,47 +7,75 @@ Es gibt aber Spezialfälle, in denen sich die Gleichung vereinfachen lässt und Diese wollen wir im folgenden Abschnitt genauer anschauen. \subsubsection{Fall 1: Konstante Koeffizienten} -Sind die Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$ Konstanten, so lässt sich die DGL separieren und reduziert sich auf die Lösung des Integrals \ref{kra:equation:case1_int}. +Im Fall von konstanten Koeffizienten $f(x), g(x), h(x)$, wird die Gleichung \eqref{kra:equation:riccati} zu \begin{equation} - y' = fy^2 + gy + h + y' = fy^2 + gy + h. \end{equation} +Durch Ausschreiben des Differentialquotienten \begin{equation} \frac{dy}{dx} = fy^2 + gy + h \end{equation} +erkennt man, dass die DGL separierbar ist. Die Lösung findet man nun durch die Berechnung des Integrals \begin{equation} \label{kra:equation:case1_int} - \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx + \int \frac{dy}{fy^2 + gy + h} = \int dx. \end{equation} \subsubsection{Fall 2: Bekannte spezielle Lösung} -Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$ so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. +Kennt man eine spezielle Lösung $y_p$, so kann die riccatische DGL mit Hilfe einer Substitution auf eine lineare Gleichung reduziert werden. Wir wählen als Substitution \begin{equation} \label{kra:equation:substitution} - z = \frac{1}{y - y_p} + z = \frac{1}{y - y_p}, \end{equation} -durch Umstellen von \ref{kra:equation:substitution} folgt +durch Umstellen von \eqref{kra:equation:substitution} folgt \begin{equation} y = y_p + \frac{1}{z^2} \label{kra:equation:backsubstitution} \end{equation} \begin{equation} - y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z' + y' = y_p' - \frac{1}{z^2}z', \end{equation} -mit Einsetzten in die DGL \ref{kra:equation:riccati} folgt +mit Einsetzten in die DGL \eqref{kra:equation:riccati} resultiert \begin{equation} y_p' - \frac{1}{z^2}z' = f(x)(y_p + \frac{1}{z}) + g(x)(y_p + \frac{1}{z})^2 + h(x) \end{equation} \begin{equation} - -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{y_p'} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) + -z^{2}y_p' + z' = -z^2\underbrace{(y_{p}f(x) + g(x)y_p^2 + h(x))}_{\displaystyle{y_p'}} - z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -was uns direkt auf eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung führt. +was uns direkt auf die lineare Differentialgleichung 1. Ordnung \begin{equation} z' = -z(f(x) + 2y_{p}g(x)) - g(x) \end{equation} -Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1.Ordnung gelöst werden. -Durch die Rücksubstitution \ref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \ref{kra:equation:riccati}. +führt. +Diese kann nun mit den Methoden zur Lösung von linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung gelöst werden. +Durch die Rücksubstitution \eqref{kra:equation:backsubstitution} erhält man dann die Lösung von \eqref{kra:equation:riccati}. -\subsection{Matrix-Riccati Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} -% Lösung matrix riccati -Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalten wir nach \cite{kra:kalmanisae} folgendermassen +\subsection{Matrix-Riccati-Differentialgleichung} \label{kra:loesung:riccati} +Im Folgenden wollen wir uns anschauen wie die Matrix-Riccati-DGL entsteht und wie sie gelöst werden kann. +Der Ausgangspunkt bildet die Matrix-Differentialgleichung +\begin{equation} + \label{kra:equation:matrix-dgl} + \begin{pmatrix} + \dot{X}(t) \\ + \dot{Y}(t) + \end{pmatrix} + = + \underbrace{ + \begin{pmatrix} + A & B \\ + C & D + \end{pmatrix} + }_{\displaystyle{H}}, +\end{equation} +mit den allgemeinen quadratischen Matrizen $A, B, C$ und $D$ welche zusammen die sogennante Hamilonsche-Matrix bilden. +Betrachten wir das Verhältniss von $Y$ zu $X$ +\[ + P(t) = Y(t)X^{-1} +\] +und deren Ableitung $\dot{P}(t)$, so erhalten wir die Riccati-Matrix-DGL +\[ + \dot{P}(t) = C + DU - UA - UBU. +\] + +Die Lösung erhalten wir dann mit \begin{equation} \label{kra:matrixriccati-solution} \begin{pmatrix} @@ -58,7 +86,7 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \Phi(t_0, t) \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} @@ -67,11 +95,11 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I(t) \\ - U_0(t) + P_0(t) \end{pmatrix} \end{equation} \begin{equation} - U(t) = + P(t) = \begin{pmatrix} \Phi_{21}(t_0, t) + \Phi_{22}(t_0, t) \end{pmatrix} @@ -80,7 +108,4 @@ Die Lösung der Matrix-Riccati Gleichung \ref{kra:equation:matrixriccati} erhalt \end{pmatrix} ^{-1} \end{equation} -wobei $\Phi(t, t_0)$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix ist. -\begin{equation} - \Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)} -\end{equation} +wobei $\Phi(t_0, t) = e^{H(t - t_0)}$ die sogenannte Zustandsübergangsmatrix von \eqref{kra:equation:matrix-dgl} ist \cite{kra:kalmanisae}. |